课堂检测·素养达标
1.下列说法中正确的个数是 ( )
①向量在平面直角坐标系xOy内的坐标是唯一的;
②若=(1,2),则的终点坐标是(1,2);
③若的终点坐标为(1,2),则=(1,2).
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.因为e1,e2为正交基底,所以①正确;向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关,故②③不正确.
2.已知=a,且A,B,又λ=,则λa等于 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.因为a==-=,所以λa=a=.
3.若向量=(1,2),=(3,4),则等于 ( )
A.(4,6) B.(-4,-6)
C.(-2,-2) D.(2,2)
【解析】选A.=+=(1,2)+(3,4)=(4,6).
4.设向量a,b满足|a|=2,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为__________.?
【解析】因为b=(2,1),且a与b的方向相反,
所以设a=(2λ,λ)(λ<0).
因为|a|=2,所以4λ2+λ2=20,λ2=4,λ=-2,
所以a=(-4,-2).
答案:(-4,-2)
【新情境·新思维】
如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,求的坐标.
【解析】由题得A(2,0),B(2,1),由题意知劣弧长为2,∠ABP==2.
设P(x,y),则x=2-1×cos=2-sin 2,y=1+1×sin=1-cos 2,
所以的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).
课时素养评价 三十
平面向量的坐标及其运算
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,=(2,4),=(1,3),则= ( )
A.(2,4) B.(3,5)
C.(1,1) D.(-1,-1)
【解析】选C.=-=-=-(-)=(1,1).
2.已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),则b= ( )
A.(1,-2) B.(1,2) C.(5,6) D.(2,0)
【解析】选A.b=(3,2)-2a=(3,2)-(2,4)=(1,-2).
3.设a=,b=,且a∥b,则锐角α为 ( )
A.30° B.60° C.45° D.75°
【解析】选A.因为a∥b,所以×-tan αcos α=0,即sin α=,α=30°.
4.已知=(1,3),且点A(-2,5),则点B的坐标为 ( )
A.(1,8) B.(-1,8)
C.(3,2) D.(-3,2)
【解析】选B.设B的坐标为(x,y),=(x,y)-(-2,5)=(x+2,y-5)=(1,3),所以解得
所以点B的坐标为(-1,8).
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.平面上三点分别为A(2,-5),B(3,4),C(-1,-3),D为线段BC的中点,则向量的坐标为________.?
【解析】依题意知=(+)=(2,1)=,则=-=(2,-5)-
=.
答案:
【加练·固】
若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则+2=________.?
【解析】因为A(2,-1),B(4,2),C(1,5),
所以=(2,3),=(-3,3).
所以+2=(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9).
答案:(-4,9)
6.与向量a=(1,2)平行,且模等于的向量为________.?
【解析】因为所求向量与向量a=(1,2)平行,所以可设所求向量为x(1,2),又因为其模为,所以x2+(2x)2=5,解得x=±1.
因此所求向量为(1,2)或(-1,-2).
答案:(1,2)或(-1,-2)
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).
设=a,=b,=c.
(1)求3a+b-3c.
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n.
【解析】由已知,得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
所以解得
8.(14分)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4)且=3,=2,求点M,N及的坐标.
【解析】因为A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
所以=(1,8),=(6,3),
所以=3=(3,24),=2=(12,6).
设M(x,y),则有=(x+3,y+4),
所以所以所以M点的坐标为(0,20).
同理可求得N点坐标为(9,2),
因此=(9,-18),故所求点M,N的坐标分别为(0,20),(9,2),的坐标为(9,-18).
(15分钟·30分)
1.(4分)若=i+2j,=(3-x)i+(4-y)j(其中i,j的方向分别与x,y轴正方向相同且为单位向量).与共线,则x,y的值可能分别为 ( )
A.1,2 B.2,2 C.3,2 D.2,4
【解析】选B.因为=(1,2),
=(3-x,4-y),
又∥,所以4-y-2×(3-x)=0,
即2x-y-2=0,代入检验知B合适.
2.(4分)在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内一点,∠AOC=,且|OC|=2,若=λ+μ,则λ+μ等于 ( )
A.2 B. C.2 D.4
【解析】选A.因为|OC|=2,∠AOC=,
所以C(,),又=λ+μ,
所以(,)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),
所以λ=μ=,λ+μ=2.
3.(4分)已知M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+μ(4,5),μ∈R},则M∩N=________. ?
【解析】由题意得(1,2)+λ(3,4)=(-2,-2)+μ(4,5),即(1+3λ,2+4λ)=(-2+
4μ,-2+5μ),
所以解得λ=-1,μ=0,
所以M∩N={(-2,-2)}.
答案:{(-2,-2)}
4.(4分)已知向量i=(1,0),j=(0,1),对坐标平面内的任一向量a,给出下列四个结论:
①存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y);
②若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2;
③若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点O;
④若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y).
其中,正确结论有________个.?
【解析】由平面向量基本定理,可知①正确;例如,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故②错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,故③错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的始点是原点为前提的,故④错误.
答案:1
5.(14分)以原点O及点A(2,-2)为顶点作一个等边△AOB,求点B的坐标及向量的坐标.
【解析】因为△AOB为等边三角形,且A(2,-2),
所以||=||=||=4.
因为在0～2π范围内,以Ox为始边,OA为终边的角为,当点B在OA的上方时,以OB为终边的角为,由三角函数的定义得:==(2,2).
所以=-=(2,2)-(2,-2)=(0,4).
当点B在OA的下方时,以OB为终边的角为,
由三角函数的定义得:=(0,-4),
所以=-=(0,-4)-(2,-2)
=(-2,-2).
综上所述,点B的坐标为(2,2),的坐标为(0,4)或点B的坐标为(0,-4),的坐标为(-2,-2).
1.在四边形ABCD中,==(1,0),+=,则四边形ABCD的面积是
( )
A. B. C. D.
【解析】选D.为在方向上的单位向量,记为e1=,类似地,设=e2 =,=e3=,所以e1+e2=e3,可知四边形BNGM为菱形,且||=||=||,所以∠MBN=120°,从而四边形ABCD也为菱形,||=||=1,所以S菱形ABCD =||·||·sin ∠ABC=.
2.在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),
(1)若++=0,求的坐标.
(2)若=m+n(m,n∈R),且点P在函数y=x+1的图像上,求m-n.
【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),
因为++=0,
又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).
所以解得
所以点P的坐标为(2,2),故=(2,2).
(2)设点P的坐标为(x0,y0),因为A(1,1),B(2,3),C(3,2),
所以=(2,3)-(1,1)=(1,2),
=(3,2)-(1,1)=(2,1),
因为=m+n,
所以(x0,y0)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),所以两式相减得m-n=y0-x0,
又因为点P在函数y=x+1的图像上,
所以y0-x0=1,所以m-n=1.
