课堂检测·素养达标
1.若四边形ABCD满足+=0,则该四边形一定是 ( )
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.平行四边形
【解析】选D.因为+=0,所以=,所以四边形ABCD是平行四边形.
2.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为 ( )
A.v1-v2 B.v1+v2
C.|v1|-|v2| D.
【解析】选B.由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1+v2.注意速度是有方向和大小的,是一个向量.
3.若向量=(2,2),=(-2,3)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为( )
A.(0,5) B.(4,-1) C.2 D.5
【解析】选D.F1+F2=(2,2)+(-2,3)=(0,5),
所以|F1+F2|=5.
4.若点E,F分别是△ABC的边AB,AC的中点,则=______?.
【解析】由题意知EF是中位线,故=.
答案:
课时素养评价 三十一
平面向量线性运算的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三角形为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】选B.=(2,-2),=(-4,-8),
=(-6,-6),
所以||==2,
||==4,
||==6,
所以||2+||2=||2,
所以△ABC为直角三角形.
2.(2019·临沂高一检测)在△ABC中,D为BC边的中点,已知=a,=b,则下列向量中与同方向的是 ( )
【解析】选A.因为D为BC边的中点,则有+=2,所以a+b与共线,又因为 与a+b共线,所以选项A正确.
3.(多选题)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是 ( )
A.|b|=1 B.|a|=1
C.a∥b D.(4a+b)⊥
【解析】选B、D.如图,
由题意,=-=(2a+b)-2a=b,则|b|=2,故A错误;|2a|=2|a|=2,所以|a|=1,故B正确;因为=2a,=b,故a,b不平行,故C错误;设B,C中点为D,则+=2,且⊥,而2=2a+(2a+b)=4a+b,所以(4a+b)⊥,故D正确.
4.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为 ( )
A.40 N B.10 N
C.20 N D. N
【解析】选B.对于两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°,合力的大小为20 N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是10 N;当它们的夹角为120°时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为10 N.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知△ABC的三个顶点A(0,-4),B(4,0),C(-6,2),点D,E,F分别为边BC,CA,AB的中点.则直线DE的方程为________,直线EF的方程为________.?
【解析】由已知得点D(-1,1),E(-3,-1),
设M(x,y)是直线DE上任意一点,则∥.
又=(x+1,y-1),=(-2,-2),
所以(-2)×(x+1)-(-2)×(y-1)=0,
即x-y+2=0为直线DE的方程.
同理可求,直线EF的方程为x+5y+8=0.
答案:x-y+2=0 x+5y+8=0
6.设O是△ABC内部一点,且+=-2,则△AOB与△AOC的面积之比为________.?
【解析】设D为AC的中点,
如图所示,连接OD,
则+=2.又+=-2,
所以=-,即O为BD的中点,
从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2.
答案:1∶2
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知A,B,C三点的坐标为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且=,=,求证:∥.
【证明】设E,F的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
依题意有=(2,2),=(-2,3),
=(4,-1).
因为=,所以(x1+1,y1)=(2,2).
所以点E的坐标为.
同理得点F的坐标为,=.
又×(-1)-4×=0,所以∥.
8.(14分)如图,点O是平行四边形ABCD的中心,E,F分别在边CD,AB上,且==.
求证:点E,O,F在同一直线上.
【证明】设=m,=n,
由==知E,F分别是CD,AB的三等分点,
所以=+=+
=-m+(m+n)=m+n,
=+=+
=(m+n)-m=m+n.所以=.
又O为和的公共点,故点E,O,F在同一直线上.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
【解析】选C.由题意得-=λ(+),即=λ(+),根据平行四边形法则,知+是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心.
2.(4分)已知点A(2,0),B(-4,4),C(1,-1),D是线段AB的中点,延长CD到点E使||=2||,则点E的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.由已知得D(-1,2),因为||=2||,所以=2,设E(x,y),则有(-2,3)=2(x+1,y-2),
所以所以
3.(4分)在△ABC所在平面上有一点P,满足++=,则△PAB与△ABC的面积的比值是________. ?
【解析】由题意可得=2,
所以P是线段AC的三等分点(靠近点A),
易知S△PAB=S△ABC,即S△PAB∶S△ABC=1∶3.
答案:1∶3
4.(4分)已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的________.?
【解析】由条件,得-=λ,即=λ,而和分别表示平行于,的单位向量,故+平分∠BAC,即平分∠BAC,所以点P的轨迹必过△ABC的内心.
答案:内心
5.(14分)若平面向量α,β满足|α|≤1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为,求α与β的夹角θ的取值范围.
【解析】因为以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为,所以|α||β|sin θ
=.因为α,β满足|α|≤1,|β|≤1,所以≤sin θ,因为θ∈(0,π),所以θ∈,所以α,β夹角θ的取值范围是.
1.已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为________.?
【解析】方法一:由O,P,B三点共线,
可设=λ=(4λ,4λ),
则=-=(4λ-4,4λ).
又=-=(-2,6),
由与共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,
解得λ=,所以==(3,3),
所以点P的坐标为(3,3).
方法二:设点P(x,y),则=(x,y),
因为=(4,4),且与共线,所以=,
即x=y.
又=(x-4,y),=(-2,6),且与共线,所以(x-4)×6-y×(-2)=0,
解得x=y=3,
所以点P的坐标为(3,3).
答案:(3,3)
2.在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,M是AC边上靠近A点的一个三等分点,试问:在线段BM(端点除外)上是否存在点P使得PC⊥BM?
【解析】以B为原点,BC边所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.由于AB=AC=5,BC=6,所以B(0,0),A(3, 4),C(6,0).则=(3,-4),
由于M点是AC边上靠近A点的一个三等分点.
所以==,于是M,所以=,假设在BM上存在点P使得PC⊥BM,
则设=λ,且0<λ<1,即=λ=,所以=+=(-6,0)+=.
由于PC⊥BM,所以λ×+(4λ-6)×4=0,
λ=?(0,1),所以线段BM上不存在点P使得PC⊥BM.
