课堂检测·素养达标
1.下列说法中正确的个数是 ( )
①身高是一个向量
②∠AOB的两条边都是向量
③温度含零上和零下温度,所以温度是向量
④物理学中的加速度是向量
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.只有④物理学中的加速度既有大小又有方向是向量,①②③错误.④正确.
2.下列命题中,正确的是 ( )
A.|a|=|b|?a=b
B.|a|>|b|?a>b
C.a=b?a∥b
D.|a|=0?a=0
【解析】选C.两个向量模相等,方向不一定相同,向量不一定相等,A错;向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小,B错;向量相等,方向相同,一定是共线向量,C正确;若|a|=0?a=0,故D错.
3.设M是等边△ABC的中心,则,,是 ( )
A.有相同起点的向量 B.相等的向量
C.模相等的向量 D.平行向量
【解析】选C.由正三角形的性质知||=||=||.
4.如图,四边形ABCD是菱形,则在向量,,,,和中,相等的有________对.?
【解析】=,=.其余不等.
答案:2
【新情境·新思维】
如图,是中国象棋的半个棋盘,“马走日”是象棋中马的走法.此图中,马可以从A处跳到A1处,用向量表示马走了“一步”,也可以跳到A2处,用向量表示.请在图中画出马在B,C处走了“一步”的所有情况.
【解析】如图,马在B处只有3步可走,马在C处有8步可走,人们常说的马有“八面威风”就是指马在中心处威力最大.
课时素养评价 二十三
向量的概念
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)下列说法不正确的是 ( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
【解析】选A,B,C.向量之间不能比较大小,但向量的模可以比较大小,向量的大小与方向无关.故只有选项D说法正确.
2.(2019·泰安高一检测)如图,在四边形ABCD中,=,则相等的向量是 ( )
A.与 B.与
C.与 D.与
【解析】选D.由=知四边形ABCD是平行四边形.由平行四边形的性质知,||=||,且方向相同.
3.(2019·天水高一检测)四边形ABCD中,若∥,则四边形ABCD是 ( )
A.平行四边形 B.梯形
C.菱形 D.平行四边形或梯形
【解析】选D.因为在四边形ABCD中,∥,且与的大小未知,所以四边形ABCD是平行四边形或梯形.
4.若||=||且=,则四边形ABCD的形状为 ( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
【解析】选C.因为=,所以四边形ABCD为平行四边形,又因为||=||,所以四边形ABCD为菱形.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.若向量a与任意向量b都平行,则a=________;若|a|=1,则向量a是________.?
【解析】由于只有零向量与任意向量平行,故a=0;由于|a|=1,即向量a的长度为1,所以向量a是单位向量.
答案:0 单位向量
6.设O为正六边形ABCDEF的中心,在图所示标出的向量中,与共线的向量有________.?
【解析】根据正六边形的性质,FE∥AO∥BC且共线向量可以同向也可以异向,故图中与共线的向量为,.
答案:,
三、解答题
7.(16分)一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后又改变方向向西偏北50°行驶了200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点.
(1)作出向量,,.(2)求这辆汽车的位移大小.
【解析】(1)如图所示.
(2)由题意,易知与方向相反,故与平行.又||=||,
所以在四边形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD.
所以四边形ABCD为平行四边形.
所以||=||=200 km,即这辆汽车位移的大小为200 km.
(15分钟·30分)
1.(4分)(2019·十堰高一检测)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法错误的是 ( )
A.与相等的向量只有一个(不含)
B.与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰好为的模的倍
D.与不共线
【解析】选D.与相等的向量只有,故A说法正确;在菱形ABCD中,AC= AB=BC=CD=DA,每一条线段可得方向相反的两个向量,它们的模都相等,故有5×2-1=9(个),故B说法正确;计算得DO=DA,所以BD=DA,即||=||,故C说法正确;由AD∥BC知与共线,故D说法错误.
2.(4分)已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点,则的值为 ( )
A. B. C.1 D.2
【解析】选C.因为四边形ABPC是平行四边形,D为对角线BC与AP的交点,所以D为PA的中点,所以的值为1.
3.(4分)如果在一个边长为5的正△ABC中,一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动),则向量长度的最小值为________.?
【解析】根据题意,在正△ABC中,有向线段AD长度最小时,AD应与边BC垂直,有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高,为.
答案:
4.(4分)设W是由一平面内的n(n≥3)个向量组成的集合.若a∈W,且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模.则称a是W的极大向量.有下列命题:
①若W中每个向量的方向都相同,则W中必存在一个极大向量;
②给定平面内两个不共线向量a,b,在该平面内总存在唯一的平面向量c=-a-b,使得W={a,b,c}中的每个元素都是极大向量;
③若W1={a1,a2,a3},W2={b1,b2,b3}中的每个元素都是极大向量,且W1,W2中无公共元素,则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量.
其中真命题的序号是________. ?
【解析】①若有几个方向相同,模相等的向量,则无极大向量,故不正确;②由题意得a,b,c围成闭合三角形,则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模,故正确;③3个向量都是极大向量,等价于3个向量之和为0,故W1={a1,a2,a3}, W2={b1,b2,b3}中的每个元素都是极大向量时,W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量,故正确.
答案:②③
5.(14分)设在平面内给定一个四边形ABCD,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,求证:=.
【解析】如图所示,
连接AC.在△ABC中,由三角形中位线定理知,EF=AC,EF∥AC,同理HG=AC,HG∥AC.所以||=||且和同向,所以=.
