课堂检测·素养达标
1.下列命题中正确的个数为 ( )
(1)如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么(a+b)∥a;
(2)在平行四边形ABCD中,必有=;
(3)若=,则A,B,C,D为平行四边形的四个顶点;
(4)若a,b均为非零向量,则|a+b|≤|a|+|b|.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选D.因为方向相同或相反的向量的和与其原向量共线,故(1)正确;(2)在平行四边形ABCD中,BC∥AD,且BC=AD,所以=,正确;(3)A,B,C,D可能共线,所以错误;(4)为向量的模的关系式,所以正确.
2.若C是线段AB的中点,则+为 ( )
A. B.
C.0 D.以上都错
【解析】选C.因为C为线段AB的中点,所以=,所以+=+=0.
3.在平行四边形ABCD中(如图),对角线AC,BD交于点O,则
①+=________.?
②++=________.?
③++=________.?
④++=________.?
【解析】①+=,
②++=+=.
③++=+=.
④++=++=+=+=0.
答案:① ② ③ ④0
【新情境·新思维】
设P1P2P3…Pn是圆内接正n边形,O为圆心,试用向量求:++…+.
【解析】①当n为偶数时,作图如图所示,
故+=0,+=0,
…,
+=0,
故+++…+=0;
②当n为奇数时,作图如图所示,
取各段弧的中点,
构造正2n边形,
由①知,
+++…++++…+=0;
又因为+++…+=++…+,
所以+++…+=++…+=0;
综上所述,
+++…+=0.
课时素养评价 二十四
向量的加法
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2019·烟台高一检测)如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则++= ( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.++=++=.
2.化简+++的结果等于 ( )
A.0 B. C. D.
【解析】选A.+++=0.
3.在四边形ABCD中,=+,则一定有 ( )
A.四边形ABCD是矩形
B.四边形ABCD是菱形
C.四边形ABCD是正方形
D.四边形ABCD是平行四边形
【解析】选D.由=+得=,即AD=BC,且AD∥BC,所以四边形ABCD一组对边平行且相等,故为平行四边形.
4.在矩形ABCD中,AB=,BC=1,则向量++的长等于 ( )
A.2 B.2 C.3 D.4
【解析】选D.矩形ABCD中,AB=,BC=1,所以AC=2,
因为++=++=+=2,所以其长度为4.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.若|a|=|b|=1,则|a+b|的取值范围为________,当|a+b|取得最大值时,向量a,b的方向________.?
【解析】由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|知0≤|a+b|≤2. 当|a+b|取得最大值时,向量a,b的方向相同.
答案:[0,2] 相同
6.已知平行四边形ABCD,设+++=a,且b是一非零向量,则下列结论:①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|.其中正确的是________.?
【解析】因为在平行四边形ABCD中,+=0,+=0,所以a为零向量,因为零向量和任意向量都平行,零向量和任意向量的和等于这个向量本身,所以①③正确,②④错误.
答案:①③
三、解答题
7.(16分)如图所示,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
【解析】如题图,设,分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km,从B地按南偏东55°的方向飞行800 km,则飞机飞行的路程指的是||+||;两次飞行的位移的和指的是+=.
依题意,有||+||=800+800=1 600(km),
又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°,
所以||===800(km).其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°.
答:飞机飞行的路程是1 600 km,两次飞行的位移和的大小为800 km,方向为北偏东80°.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知O是△ABC内的一点,且++=0,则O是△ABC的 ( )
A.垂心 B.重心
C.内心 D.外心
【解析】选B.因为+是以,为邻边作平行四边形的对角线,且过AB的中点,设为D,则+=2,所以2+=0,所以||=||,故点O为△ABC的重心.
2.(4分)若四边形ABCD为菱形,则下列等式中成立的是 ( )
A.+= B.+=
C.+= D.+=
【解析】选A.因为四边形ABCD为菱形,
所以+=,+≠,
+≠,+≠.
3.(4分)(2019·湖州高一检测)当非零向量a,b满足________时,a+b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角. ?
【解析】当|a|=|b|时,以a与b为邻边的平行四边形为菱形,则其对角线上向量a+b平分此菱形的内角.
答案:|a|=|b|
4.(4分)已知=a,=b,且|a|=|b|=3.∠AOB=60°,则|a+b|=________.?
【解析】如图,根据平行四边形法则,四边形OACB为平行四边形,又因为||=||=3,
所以四边形OACB为菱形.
连接OC,AB,则OC⊥AB,设垂足为D.
因为∠AOB=60°,所以AB=||=3,
所以在Rt△BDC中,CD=,
所以|a+b|=||=×2=3.
答案:3
5.(14分)如图,已知向量a,b,c,d.
(1)求作a+b+c+d.
(2)设|a|=2,e为单位向量,求|a+e|的最大值.
【解析】(1)如图所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,则=a+b+c+d.
(2)在平面内任取一点O,作=a,=e,
则a+e=+=,
因为e为单位向量,
所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示),
由图可知当点B在点B1时,O,A,B1三点共线,
所以||即|a+e|最大,最大值是3.
