习题课4 简单的连接体问题和临界问题
(教师用书独具)
[学习目标] 1.学会用整体法和隔离法分析简单的连接体问题． 2.进一步巩固利用牛顿第二定律分析解决动力学问题． 3.认识临界问题，能找到几种典型问题的临界条件并能够处理典型的临界问题．
简单的连接体问题
1．连接体
两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同加速度的整体叫连接体．如几个物体叠放在一起，或并排挤放在一起，或用绳子、细杆等连在一起．
2．处理连接体问题的方法
(1)整体法：把整个系统作为一个研究对象来分析的方法．不必考虑系统内力的影响，只考虑系统受到的外力．
(2)隔离法：把系统中的各个部分(或某一部分)隔离，作为一个单独的研究对象来分析的方法．此时系统的内力就有可能成为该研究对象的外力，在分析时要特别注意．
整体法与隔离法在较为复杂的问题中常常需要有机地结合起来联合、交叉运用，这将会更快捷有效．
【例1】 如图所示，一辆汽车A拉着装有集装箱的拖车B，以速度v1＝30 m/s进入向下倾斜的直车道．车道每100 m下降2 m．为使汽车速度在x＝200 m的距离内减到v2＝10 m/s，驾驶员必须刹车．假定刹车时地面的摩擦阻力是恒力，且该力的70%作用于拖车B30%作用于汽车A.已知A的质量m1＝2 000 kg，B的质量m2＝6 000 kg.求汽车与拖车的连接处沿运动方向的相互作用力大小．(重力加速度g取10 m/s2)
思路点拨：先采用整体法求加速度a，再用隔离法分析内力．
[解析] 汽车沿倾斜车道做匀减速运动，用a表示加速度的大小，有v－v＝－2ax①
用F表示刹车时的阻力，根据牛顿第二定律有
F－(m1＋m2)gsin α＝(m1＋m2)a②
式中sin α＝＝2×10－2③
设刹车过程中地面作用于汽车的阻力为F1，根据题意有
F1＝F④
方向与汽车前进方向相反，用N表示拖车作用于汽车的力，设其方向与汽车前进方向相同．以汽车为研究对象，由牛顿第二定律有F1－N－m1gsin α＝m1a⑤
由②④⑤式得
N＝(m1＋m2)(a＋gsin α)－m1(a＋gsin α)⑥
由以上各式，代入有关数据得N＝880 N.
[答案] 880 N
整体法、隔离法应注意的问题
(1)不涉及系统内力时，优先考虑应用整体法，即“能整体、不隔离”．
(2)同样应用“隔离法”，也要先隔离“简单”的物体，如待求量少、或受力少、或处于边缘处的物体．
(3)将“整体法”与“隔离法”有机结合、灵活应用．
(4)各“隔离体”间的关联力，表现为作用力与反作用力，对整体系统则是内力．
1.如图所示，两个用轻线相连的位于光滑水平面上的物块，质量分别为m1和m2.拉力F1和F2方向相反，与轻线沿同一水平直线，且F1>F2.试求在两个物块运动过程中轻线的拉力T的大小．
[解析] 以两物块整体为研究对象，根据牛顿第二定律得
F1－F2＝(m1＋m2)a①
隔离物块m1，由牛顿第二定律得
F1－T＝m1a②
由①②两式解得T＝.
[答案]
动力学中的临界、极值问题
1．概念
(1)临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态．
(2)极值问题：在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况．
2．关键词语
在动力学问题中出现的“最大”、“最小”、“刚好”、“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件．
3．常见类型
动力学中的常见临界问题主要有三类：一是弹力发生突变时接触物体间的脱离与不脱离的问题；二是绳子的绷紧与松弛的问题；三是摩擦力发生突变的滑动与不滑动问题．
4．解题关键
解决此类问题的关键是对物体运动情况的正确描述，对临界状态的判断与分析，找出处于临界状态时存在的独特的物理关系，即临界条件．
常见的三类临界问题的临界条件：
(1)相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零．
(2)绳子松弛的临界条件是：绳的拉力为零．
(3)存在静摩擦力的系统，当系统外力大于最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达到最大值．
【例2】 如图所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球．
(1)当滑块至少以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？
(2)当滑块至少以多大的加速度a1向左运动时，小球对滑块的压力等于零？
(3)当滑块以a′＝2g的加速度向左运动时，线中拉力为多大？
思路点拨：①当绳的拉力为0时，加速度由重力和支持力的合力提供．
②当小球对斜面的压力为0时，加速度由绳拉力和重力提供．
③正确受力分析以及找准临界条件是解题关键．
甲
[解析] (1)对小球受力分析，小球受重力mg、线的拉力T和斜面支持力N作用，如图甲，当T＝0时有Ncos 45°＝mg
Nsin 45°＝ma
解得a＝g.故当向右加速度为g时线上的拉力为0.
乙
(2)假设滑块具有向左的加速度a1时，小球受重力mg、线的拉力T1和斜面的支持力N1作用，如图乙所示．由牛顿第二定律得水平方向：T1cos 45°－N1sin 45°＝ma1，
竖直方向：T1sin 45°＋N1cos 45°－mg＝0.
由上述两式解得
N1＝，
T1＝.
由此两式可以看出，当加速度a1增大时，球所受的支持力N1减小，线的拉力T1增大．
当a1＝g时，N1＝0，此时小球虽与斜面接触但无压力，处于临界状态，这时绳的拉力为FT1＝mg.所以滑块至少以a1＝g的加速度向左运动时小球对滑块的压力等于零．
丙
(3)当滑块加速度大于g时，小球将“飘”离斜面而只受线的拉力和重力的作用，如图丙所示，此时细线与水平方向间的夹角α<45°.由牛顿第二定律得T′cos α＝ma′，T′sin α＝mg，解得T′＝m＝mg.
[答案] (1)g (2)g (3)mg
解决临界、极值问题的一般方法
(1)极限法：极限分析法作为一种预测和处理临界问题的有效方法，是指通过恰当地选取某个变化的物理量．将其推向极端(“极大”或“极小”，“极右”或“极左”等)，从而把比较隐蔽的临界现象(或“各种可能”)暴露出来，使问题明朗化，以便非常简捷地得出结论．
(2)假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类问题，一般用假设法．
(3)数学方法：将物理过程转化为数学公式，根据数学公式求解临界条件．
2．如图所示，质量为4 kg的小球用轻质细绳拴着吊在行驶的汽车后壁上．细绳的延长线通过小球的球心O，且与竖直方向的夹角为θ＝37°，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)汽车匀速运动时，细绳对小球的拉力和车后壁对小球的压力；
(2)若要始终保持θ＝37°，则汽车刹车时的加速度最大不能超过多少？
[解析] (1)对小球受力分析如图，将细绳拉力FT分解有：FTy＝FTcos θ，FTx＝FTytan θ，由二力平衡可得：FTy＝mg，FTx＝FN，解得细绳拉力FT＝＝50 N
车壁对小球的压力
FN＝mgtan θ＝30 N.
(2)设汽车刹车时的最大加速度为a，此时车壁对小球弹力FN′＝0
由牛顿第二定律有FTx＝ma，即mgtan θ＝ma
解得a＝7.5 m/s2，即汽车刹车时的加速度最大不能超过7.5 m/s2.
[答案] (1)50 N 30 N (2)7.5 m/s2
1．如图，小车以加速度a向右匀加速运动，车中小球质量为m，则线对球的拉力大小为 ( )
A．m B．m(a＋g)
C．mg D．ma
A [小球与小车具有相同的加速度，对小球受力分析可得，F＝＝m，故选项A正确．]
2．如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的A、B两个物体，A、B间的最大静摩擦力为μmg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，则拉力F的最大值为( )
A．μmg B．2μmg
C．3μmg D．4μmg
C [要使A、B以同一加速度运动，拉力F最大时，整体具有最大加速度，整体由牛顿第二定律得F＝3ma；此时，A与B间达到最大静摩擦力，对A由牛顿第二定律得μmg＝ma，即a＝μg，则F＝3ma＝3μmg，故选项C正确．]
3．如图所示，质量为2m的物块A与水平地面间的动摩擦因数为μ，质量为m的物块B与地面的摩擦不计，在大小为F的水平推力作用下，A、B一起向右做加速运动，则A和B之间的作用力大小为( )
A. B.
C. D.
D [选A、B整体为研究对象，由牛顿第二定律得，F－2μmg＝3ma①
隔离B，对B由牛顿第二定律得N＝ma②
联立①②得N＝，故选项D正确．]
4．如图所示，质量分别为m1和m2的物块A、B，用劲度系数为k的轻弹簧相连．当用力F沿倾角为θ的固定光滑斜面向上拉使两物块共同加速运动时，弹簧的伸长量为________．
[解析] 对整体有F－(m1＋m2)gsin θ＝(m1＋m2)a
对A有kx－m1gsin θ＝m1a，
解得x＝.
[答案]
5．如图所示，物体A、B用不可伸长的轻绳连接，在恒力F作用下一起向上做匀加速运动，已知mA＝10 kg，mB＝20 kg，F＝600 N，求此时轻绳对物体B的拉力大小(g取10 m/s2)．
[解析] 对A、B整体受力分析和单独对B受力分析，分别如图甲、乙所示：
甲 乙
根据牛顿第二定律
F－(mA＋mB)g＝(mA＋mB)a
物体B受细线的拉力和重力，根据牛顿第二定律，有：T－mBg＝mBa
联立解得T＝400 N.
[答案] 400 N
课件37张PPT。第三章 牛顿运动定律习题课4 简单的连接体问题和临界问题点击右图进入…Thank you for watching !重难强化训练(四) 简单的连接体问题和临界问题
(教师用书独具)
(时间：40分钟 分值：90分)
一、选择题(本题共9小题，每小题6分，共54分.1～6为单选，7～9为多选)
1．如图所示，放在光滑水平面上的物体A和B，质量分别为2m和m，第一次水平恒力F1作用在A上，第二次水平恒力F2作用在B上．已知两次水平恒力作用时，A、B间的作用力大小相等．则 ( )
A．F1
B．F1＝F2
C．F1>F2
D．F1>2F2
C [当恒力F1作用在A上时，对A、B整体有F1＝3ma1；隔离B有N1＝ma1，得F1＝3N1；当恒力F2作用在B上时，对A、B整体，有F2＝3ma2，隔离A，有N2＝2ma2得F2＝N2，而N1＝N2，故F1>F2，选项C正确．]
2．如图所示，质量为M、中间为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑凹槽内有一质量为m的小铁球，现用一水平向右的推力F推动凹槽，小铁球与光滑凹槽相对静止时，凹槽球心和小铁球的连线与竖直方向成α角．则下列说法正确的是 ( )
A．小铁球受到的合外力方向水平向左
B．F＝(M＋m)gtan α
C．系统的加速度为a＝gsin α
D．F＝Mgtan α
B [对整体分析，由牛顿第二定律得F＝(M＋m)a ①，隔离小球，对小球受力分析如图，由牛顿第二定律得mgtan α＝ma即a＝gtan α ②，①②联立得F＝(M＋m)gtan α，故选项B正确．]
3．如图所示，在光滑地面上，水平外力F拉动小车和木块一起做无相对滑动的加速运动．小车质量是M，木块质量是m，外力大小是F，木块和小车之间动摩擦因数是μ，则在这个过程中，木块受到的摩擦力大小是 ( )
A．μmg B.
C．μ(M＋m)g D.
B [对m和M整体，由牛顿第二定律
F＝(M＋m)a①
对m：f＝ma②
由①②得f＝F，故B正确．]
4．如图所示，物体A的质量为mA，放在光滑水平桌面上，如果在绳的另一端通过一个滑轮加竖直向下的力F，则A运动的加速度为a.将力去掉，改系一物体B，B的重力和F的值相等，那么A物体的加速度 ( )
A．仍为a B．比a小
C．比a大 D．无法判断
B [当施加向下的力F时，由牛顿第二定律得F＝mAa；得a＝；当改为物体B时，对A、B整体由牛顿第二定律得F＝(mA＋mB)a1，解得a1＝，即a15．如图所示，50个大小相同、质量均为m的小物块，在平行于斜面向上的恒力F作用下一起沿斜面向上运动．已知斜面足够长，倾角为30°，各物块与斜面间的动摩擦因数相同，重力加速度为g，则第3个小物块对第2个小物块的作用力大小为( )
A.F
B.F
C．24mg＋
D．因为动摩擦因数未知，所以不能确定
B [将50个小物块看作一个整体，根据牛顿第二定律，整体的加速度a＝＝－gsin 30°－μgcos 30°.对1、2两个物块分析有F－2mgsin 30°－μ×2mgcos 30°－N＝2ma，解得N＝F，B正确．]
6．光滑水平地面上有两个叠放在一起的斜面体A、B，两斜面体形状大小完全相同，质量分别为M、m.如图甲、乙所示，对上面或下面的斜面体施加水平方向的恒力F1、F2均可使两斜面体相对静止地做匀加速直线运动，已知两斜面体间的摩擦力为零，则F1与F2之比为( )
甲 乙
A．M∶m B．m∶M
C．m∶(M＋m) D．M∶(M＋m)
A [F1作用于A时，设A和B之间的弹力为N，对A有：Ncos θ＝Mg，对B有：Nsin θ＝ma，对A和B组成的整体有：F1＝(M＋m)a＝gtan θ；F2作用于A时，对B有：mgtan θ＝ma′，对A和B组成的整体有：F2＝(M＋m)a′＝(M＋m)gtan θ，＝.]
7．如图所示，置于水平地面上的相同材料的质量分别为m和m0的两物体用细绳连接，在m0上施加一水平恒力F，使两物体做匀加速直线运动，对两物体间细绳上的拉力，下列说法正确的是 ( )
A．地面光滑时，绳子拉力大小等于
B．地面不光滑时，绳子拉力大小等于
C．地面不光滑时，绳子拉力大于
D．地面不光滑时，绳子拉力小于
AB [当地面光滑时，对m、m0整体分析可得F＝(m＋m0)a，对m分析可得T＝ma，联立解得T＝；当地面不光滑时，将两者看作一个整体，可得F－μ(m＋m0)g＝(m＋m0)a，对m分析可得T－μmg＝ma，联立可得T＝，故A、B正确．]
8．如图所示，劲度系数为k的轻弹簧下端系一个质量为m的小球A，小球被水平挡板P托住使弹簧长度恰为自然长度(小球与挡板不粘连)，然后使挡板P以恒定的加速度a(aA．小球与挡板分离的时间为t＝
B．小球与挡板分离的时间为t＝
C．小球从开始运动直到最低点的过程中，小球速度最大时弹簧的伸长量x＝
D．小球从开始运动直到最低点的过程中，小球速度最大时弹簧的伸长量x＝
BC [小球与挡板之间弹力为零时分离，此时小球的加速度仍为a，由牛顿第二定律得mg－kx＝ma.由匀变速直线运动的位移公式得x＝at2，解得t＝，故选项A错误，B正确．小球速度最大时小球所受合力为零，伸长量x＝，选项C正确，D错误．]
9．如图所示，完全相同的磁铁A、B分别位于铁质车厢竖直面和水平面上，A、B与车厢间的动摩擦因数均为μ，小车静止时，A恰好不下滑，现使小车加速运动，为保证A、B无滑动，则 ( )
A．速度可能向左，加速度可小于μg
B．加速度一定向右，不能超过(1＋μ)g
C．加速度一定向左，不能超过μg
D．加速度一定向左，不能超过(1＋μ)g
AD [当小车处于静止时，A恰好不下滑，此时mg＝f＝μN，要保证A静止，则A与小车之间的弹力不能减小，所以加速度一定向左，要保证B静止，B在水平方向上受到摩擦力，竖直方向上受到小车的支持力、重力和吸引力，磁铁B的合力等于摩擦力，要保证B静止，则受到的摩擦力不能超过最大静摩擦力，即：ma＝μ(mg＋N)，解得a＝(1＋μ)g，故A、D正确．]
二、非选择题(本题共3小题，共36分)
10．(12分)如图所示，质量为M、倾角为θ的光滑斜面静止在粗糙的水平面上，斜面上有一倒扣的直角三角形物块m，现对物块m施加一水平向左的推力F，使物块m与斜面一起向左做加速度为a的匀加速直线运动，已知重力加速度为g.求：
(1)物块对斜面的压力；
(2)水平推力F的大小；
(3)粗糙地面与斜面间的动摩擦因数．
[解析] (1)以m为研究对象，受力分析如图所示，竖直方向受力平衡，得N＝
根据牛顿第三定律，物块对斜面的压力为N′＝N＝.
(2)以m为研究对象，水平方向：
F－Nsin θ＝ma，
得F＝mgtan θ＋ma
(3)以m、M整体为研究对象：F－μ(m＋M)g＝(M＋m)a，可得μ＝
[答案] (1) (2)mgtan θ＋ma
(3)
11．(12分)如图所示，长为L＝2 m、质量mA＝4 kg的木板A放在光滑水平面上，质量mB＝1 kg的小物块(可视为质点)位于A的中点，水平力F作用于A.A、B间的动摩擦因素μ＝0.2(A、B间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10 m/s2)．求：
(1)为使A、B保持相对静止，F不能超过多大？
(2)若拉力F＝12 N，物块B从A板左端滑落时木板A的速度为多大？
[解析] (1)要使A、B保持相对静止，A对B的摩擦力不能超过最大静摩擦力
对B，fm＝μmBg，由fm＝mBa
得a＝μg＝2 m/s2
对A、B整体，F＝(mA＋mB)a＝10 N.
(2)当F＝12 N>10 N，A、B相对滑动
对B，aB＝μg＝2 m/s2
对A，F－fm＝mAaA
得aA＝2.5 m/s2
设B从A上滑落须用时间t，则aAt2－aBt2＝
得t＝2 s
对A：v＝aAt＝5 m/s.
[答案] (1)10 N (2)5 m/s
12．(12分)如图所示，足够长的倾角θ＝37°的光滑斜面体固定在水平地面上，一根轻绳跨过定滑轮，一端与质量为m1＝1 kg的物块A连接，另一端与质量为m2＝3 kg的物块B连接，绳与斜面保持平行．开始时，用手按住A，使B悬于距地面高H＝0.6 m处，而A静止于斜面底端．现释放A，试求A在斜面上向上滑行的最大距离．(设B落地后不再弹起，且所有接触面间的摩擦均忽略不计，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)
[解析] 设B未落地前系统加速度大小为a1，B落地时的速度为v，B落地后A的加速度为a2，则依据题意有：
m2g－T＝m2a1
T－m1gsin 37°＝m1a1
解得a1＝6 m/s2
v2－0＝2a1H
m1gsin 37°＝m1a2
0－v2＝－2a2x
解得a2＝6 m/s2，x＝0.6 m
故A在斜面上向上滑行的最大距离L＝H＋x＝1.2 m.
[答案] 1.2 m
