习题课5 滑块—木板模型和传送带模型
(教师用书独具)
[学习目标] 1.能正确运用牛顿运动定律处理滑块—木板模型． 2.会对传送带上的物体进行受力分析，正确判断物体的运动情况．
滑块—木板模型
1．模型特点：
上、下叠放两个或多个物体，物体间存在相对滑动．
2．常见的两种位移关系
滑块从木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板向同一方向运动，则滑块的位移和木板的位移之差等于木板的长度；若滑块和木板向相反方向运动，则滑块的位移和木板的位移之和等于木板的长度．
3．解题方法
此类问题涉及两个物体、多个运动过程，并且物体间还存在相对运动，所以应准确求出各物体在各个运动过程中的加速度(注意两过程的连接处加速度可能突变)，找出物体之间的位移(路程)关系或速度关系是解题的突破口．求解中应注意联系两个过程的纽带，每一个过程的末速度是下一个过程的初速度．
【例1】 质量为m、长为L的长木板静止在光滑水平面上，质量也为m的小滑块(可看作质点)放在长木板的左端，如图所示．已知小滑块与长木板间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，给小滑块一水平向右的拉力F，当F取不同值时求解下列问题．(重力加速度为g)
(1)要使滑块与木板发生相对滑动，F至少为多大；
(2)当F＝3μmg时，经过多长时间，力F可使滑块滑至木板的最右端．
思路点拨：①分析滑块和木板的受力情况，根据牛顿第二定律分别求出滑块和木板的加速度．
②对滑块和木板进行运动情况分析，找出各自的位移．
③滑块滑至木板最右端，滑块相对木板位移为木板长度．
[解析] (1)当滑块和木板没有发生相对滑动时，对滑块、木板整体有F＝2ma
当滑块与木板间摩擦力达最大静摩擦力时，对木板有μmg＝ma
联立解得F＝2μmg.
(2)设滑块、木板的加速度分别为a1、a2
由牛顿运动定律得F－μmg＝ma1
μmg＝ma2
解得a1＝2μg，a2＝μg
设经t时间，滑块滑到木板的最右端，则
L＝a1t2－a2t2，解得t＝.
[答案] (1)2μmg (2)
求解“滑块—木板”类问题的方法技巧
(1)搞清各物体初态对地的运动和相对运动(或相对运动趋势)，根据相对运动(或相对运动趋势)情况，确定物体间的摩擦力方向．
(2)正确地对各物体进行受力分析，并根据牛顿第二定律确定各物体的加速度，结合加速度和速度的方向关系确定物体的运动情况．
1．如图所示，厚度不计的薄板A长l＝5 m，质量M＝5 kg，放在水平地面上．在A上距右端x＝3 m处放一物体B(大小不计)，其质量m＝2 kg，已知A、B间的动摩擦因数μ1＝0.1，A与地面间的动摩擦因数μ2＝0.2，原来系统静止．现在板的右端施加一大小恒定的水平力F＝26 N，持续作用在A上，将A从B下抽出．取g＝10 m/s2，求：
(1)A从B下抽出前A、B的加速度各是多大；
(2)B运动多长时间离开A.
[解析] (1)对于B：μ1mg＝maB
解得aB＝1 m/s2
对于A：F－μ1mg－μ2(m＋M)g＝MaA
解得aA＝2 m/s2.
(2)设经时间t抽出，则xA＝aAt2
xB＝aBt2
Δx＝xA－xB＝l－x
解得t＝2 s.
[答案] (1)aA＝2 m/s2 aB＝1 m/s2 (2)2 s
传送带类问题
1．特点：传送带运输是利用货物和传送带之间的摩擦力将货物运送到别的地方去．它涉及摩擦力的判断、运动状态的分析和运动学知识的运用．
2．解题思路：(1)判断摩擦力突变点(含大小和方向)，给运动分段；(2)物体运动速度与传送带运行速度相同，是解题的突破口；(3)考虑物体与传送带共速之前是否滑出．
【例2】 如图所示，水平传送带正在以v＝4 m/s的速度匀速顺时针转动，质量为m＝1 kg的某物块(可视为质点)与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.1，将该物块从传送带左端无初速度地轻放在传送带上(g取10 m/s2)．
(1)如果传送带长度L＝4.5 m，求经过多长时间物块将到达传送带的右端；
(2)如果传送带长度L1＝20 m，求经过多长时间物块将到达传送带的右端．
思路点拨：①根据v物、v带的大小判断摩擦力方向，根据牛顿第二定律求出a.
②求出v物＝v带时所用时间及各自位移，进而判断之后的运动形式．
[解析] 物块放到传送带上后，在滑动摩擦力的作用下先向右做匀加速运动．
由μmg＝ma得a＝μg
若传送带足够长，匀加速运动到与传送带同速后再与传送带一同向右做匀速运动．物块匀加速运动的时间t1＝＝＝4 s
物块匀加速运动的位移
x1＝at＝μgt＝8 m
(1)因为4.5 m<8 m，所以物块一直加速，由L＝at2得t＝3 s.
(2)因为20 m>8 m，所以物块速度达到传送带的速度后，摩擦力变为0，此后物块与传送带一起做匀速运动，物块匀速运动的时间t2＝＝ s＝3 s
故物块到达传送带右端的时间t′＝t1＋t2＝7 s.
[答案] (1)3 s (2)7 s
分析传送带问题的三个步骤
(1)初始时刻，根据v物、v带的关系，确定物体的受力情况，进而确定物体的运动情况．
(2)根据临界条件v物＝v带确定临界状态的情况，判断之后的运动形式．
(3)运用相应规律，进行相关计算．
2．如图所示，水平传送带长L＝16 m，始终以v＝4 m/s的速度运动，现将一个小物体从传送带的左端由静止释放，已知物体与传送带间的动摩擦因数为0.2，g取10 m/s2，求物体从左端运动到右端所需的时间．
[解析] 在物体相对于传送带向左运动时，物体受到的合外力等于摩擦力，该力产生了物体的加速度，所以μmg＝ma，a＝μg＝0.2×10 m/s2＝2 m/s2
设物体做匀加速运动的时间为t1，由匀加速直线运动规律得t1＝＝2 s
设物体做匀加速运动的位移为x1，则有x1＝at＝×2×22 m＝4 m．物体做匀速运动的位移x2＝L－x1＝12 m，做匀速运动的时间t2＝＝3 s
所以物体由左端运动到右端的时间
t＝t1＋t2＝5 s.
[答案] 5 s
【例3】 如图所示，传送带与水平地面的倾角为θ＝37°，AB的长度为64 m，传送带以20 m/s的速度沿逆时针方向转动，在传送带上端A点无初速度地放上一个质量为8 kg的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为0.5，求物体从A点运动到B点所用的时间．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2)
思路点拨：判断摩擦力时要注意比较物体的运动速度与传送带的速度，也就是分析物体在运动位移x(对地)的过程中速度是否和传送带速度相等，物体的速度与传送带速度相等的时刻就是物体所受摩擦力发生突变的时刻．
[解析] 开始时物体下滑的加速度a1＝g(sin 37°＋μcos 37°)＝10 m/s2，运动到与传送带共速的时间为t1＝＝ s＝2 s，下滑的距离x1＝a1t＝20 m；由于tan 37°＝0.75>0.5，故物体加速下滑，且此时a2＝g(sin 37°－μcos 37°)＝2 m/s2，根据x2＝vt2＋a2t，即64－20＝20t2＋×2×t，解得t2＝2 s，故共用时间为t＝4 s.
[答案] 4 s
物体沿着倾斜的传送带向下加速运动到与传送带速度相等时，若μ≥tan θ，物体随传送带一起匀速运动；若μ3．某飞机场利用如图所示的传送带将地面上的货物运送到飞机上，传送带与地面的夹角θ＝30°，传送带两端A、B的距离L＝10 m，传送带以v＝5 m/s的恒定速度匀速向上运动．在传送带底端A轻放上一质量m＝5 kg的货物，货物与传送带间的动摩擦因数μ＝.求货物从A端运送到B端所需的时间．(g取10 m/s2)
[解析] 以货物为研究对象，由牛顿第二定律得μmgcos 30°－mgsin 30°＝ma
解得a＝2.5 m/s2
货物匀加速运动时间t1＝＝2 s
货物匀加速运动位移
x1＝at＝5 m
然后货物做匀速运动，运动位移
x2＝L－x1＝5 m
匀速运动时间
t2＝＝1 s
所以货物从A到B所需的时间
t＝t1＋t2＝3 s.
[答案] 3 s
1．一条足够长的浅色水平传送带自左向右匀速运行．现将一个木炭包无初速度地放在传送带的最左端，木炭包在传送带上将会留下一段黑色的径迹．下列说法中正确的是 ( )
A．黑色的径迹将出现在木炭包的左侧
B．此时木炭包相对于传送带向右运动
C．木炭包的质量越大，径迹的长度越短
D．木炭包与传送带间的动摩擦因数越大，径迹的长度越短
D [刚释放木炭包时，木炭包在摩擦力作用下向右加速，由牛顿第二定律得μmg＝ma，即a＝μg；设经过t时间达到共同速度，则有t＝＝；径迹的长度Δx＝x带－x木炭包＝v带·t－·t＝；则μ越大，Δx越短，故选项D正确．]
2．如图所示，质量为m的木块在质量为M的长木板上受到水平向右的拉力F的作用向右滑行，但长木板保持静止不动．已知木块与长木板之间的动摩擦因数为μ1，长木板与地面之间的动摩擦因数为μ2，下列说法正确的是 ( )
A．长木板受到地面的摩擦力的大小一定为μ1Mg
B．长木板受到地面的摩擦力的大小一定为μ2(m＋M)g
C．只要拉力F增大到足够大，长木板一定会与地面发生相对滑动
D．无论拉力F增加到多大，长木板都不会与地面发生相对滑动
D [对M分析，在水平方向受到m对M的摩擦力和地面对M的摩擦力，两个力平衡，则地面对木板的摩擦力f＝μ1mg，选项A、B错误；无论F大小如何，m在M上滑动时，m对M的摩擦力大小不变，M在水平方向上仍然受到两个摩擦力处于平衡，不可能运动，选项C错误，D正确．]
3．如图所示，质量为M＝1 kg的长木板静止在光滑水平面上，现有一质量为m＝0.5 kg的小滑块(可视为质点)以v0＝3 m/s的初速度从左端沿木板上表面冲上木板，带动木板向前滑动．已知滑块与木板上表面间的动摩擦因数μ＝0.1，重力加速度g取10 m/s2，木板足够长．求：
(1)滑块在木板上滑动过程中，长木板受到的摩擦力大小和方向；
(2)滑块在木板上滑动过程中，滑块相对于地面的加速度a的大小；
(3)滑块与木板A达到的共同速度v的大小．
[解析] (1)滑块所受摩擦力为滑动摩擦力f＝μmg＝0.5 N，方向向左
根据牛顿第三定律，滑块对木板的摩擦力方向向右，大小为0.5 N.
(2)由牛顿第二定律得：
μmg＝ma
得a＝μg＝1 m/s2.
(3)木板的加速度
a′＝μg＝0.5 m/s2
设经过时间t，滑块和长木板达到共同速度v，则满足：
对滑块：v＝v0－at
对长木板：v＝a′t
由以上两式得滑块和长木板达到的共同速度v＝1 m/s.
[答案] (1)0.5 N，方向向右 (2)1 m/s2 (3)1 m/s
4．如图所示，传送带与水平面的夹角θ＝37°，并以v＝10 m/s的速率逆时针转动，在传送带的A端轻轻地放一小物体．若已知物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5，传送带A端到B端的距离L＝16 m，则小物体从A端运动到B端所需的时间为多少？(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
[解析] 设小物体的质量为m，小物体被轻轻地放在传送带A端，小物体沿传送带方向速度为零，但传送带的运动速率为v＝10 m/s，二者速率不相同，它们之间必然存在相对运动．传送带对小物体有沿传送带斜向下的滑动摩擦力作用，小物体的受力情况如图甲所示．设小物体的加速度为a1，则由牛顿第二定律有
甲
mgsin θ＋f1＝ma1①
N＝mgcos θ②
f1＝μN③
联立①②③式并代入数据解得a1＝10 m/s2
小物体速度大小达到传送带速率v＝10 m/s时，所用的时间t1＝＝1 s
在1 s内小物体沿传送带的位移x1＝a1t＝5 m
乙
小物体的速度大小与传送带速率相同的时刻，若要跟随传送带一起运动，即相对传送带静止，它必须受到沿传送带向上的摩擦力f＝mgsin θ＝6m的作用，但是此时刻它受到的摩擦力是f2＝μmgcos θ＝4m，小于f.因此，小物体与传送带仍有相对滑动，设小物体的加速度为a2，这时小物体的受力情况如图乙所示．由牛顿第二定律有mgsin θ－μmgcos θ＝ma2，解得a2＝2 m/s2.
设小物体速度大小达到10 m/s后又运动时间t2才到达B端，则有x2＝L－x1＝vt2＋a2t
代入数据解得t2＝1 s，t2′＝－11 s(舍去)
小物体从A端运动到B端所需的时间t＝t1＋t2＝2 s.
[答案] 2 s
课件44张PPT。第三章 牛顿运动定律习题课5 滑块—木板模型和传送带模型点击右图进入…Thank you for watching !重难强化训练(五) 滑块—木板模型和传送带模型
(教师用书独具)
(时间：40分钟 分值：90分)
一、选择题(本题共9小题，每小题6分，共54分.1～4为单选，5～9为多选)
1．如图所示，质量为m1的足够长木板静止在水平面上，其上放一质量为m2的物块．物块与木板的接触面是光滑的．从t＝0时刻起，给物块施加一水平恒力F.分别用a1、a2和v1、v2表示木板、物块的加速度和速度大小，下列图像符合运动情况的是( )
D [由于物块与木板的接触面光滑，所以物块m2做匀加速直线运动．而木板所受合外力为零，仍静止不动．故选项D正确．]
2．如图所示，物块从传送带的顶端由静止开始下滑，当传送带静止时，物块从A到B所用时间为T1，当皮带顺时转动时，物块从A到B所用时间为T2，下列说法正确的是 ( )
A．T1＝T2 B．T1>T2
C．T1A [皮带顺时针转动时，物块所受的滑动摩擦力不变，合外力不变，即物体的加速度没发生变化，所以物块从A到B用时不变，选项A正确．]
3．如图所示，足够长的水平传送带以v0＝2 m/s的速率顺时针匀速运行．t＝0时，在最左端轻放一个小滑块，t＝2 s时，传送带突然制动停下．已知滑块与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.2，取g＝10 m/s2.下列关于滑块相对地面运动的v-t图像正确的是 ( )
B [刚被放在传送带上时，滑块受到滑动摩擦力作用做匀加速运动，a＝μg＝2 m/s2，滑块运动到与传送带速度相同需要的时间t1＝＝1 s，然后随传送带一起匀速运动的时间t2＝t－t1＝1 s，当传送带突然制动停下时，滑块在传送带摩擦力作用下做匀减速运动直到静止，a′＝－a＝－2 m/s2，运动的时间t3＝＝ s＝1 s，选项B正确．]
4．如图所示，水平传送带A、B两端相距x＝3.5 m，工件与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1.工件滑上A端时速度vA＝4 m/s，达到B端的瞬时速度设为vB，则下列说法中错误的是 ( )
A．若传送带不动，则vB＝3 m/s
B．若传送带逆时针匀速转动，vB一定等于3 m/s
C．若传送带顺时针匀速转动，vB一定等于3 m/s
D．若传送带顺时针匀速转动，vB可能等于3 m/s
C [若传送带不动或逆时针匀速转动时，物体相对传送带向右运动，受到的摩擦力向左，物体做匀减速运动，加速度a＝＝μg＝1 m/s2，到达B点时速度vB，由运动学规律知v－v＝－2ax解得vB＝3 m/s；故选项A、B正确；若传送带顺时针转动，当v带vA时，物体受到的摩擦力向右，物体做a＝1 m/s2的匀加速直线运动，到达B点时vB>4 m/s；故选项D正确，选项C错误．]
5．如图所示，一水平方向足够长的传送带以恒定的速率v1沿顺时针方向运动，把一质量为m的物体无初速度地轻放在左端，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则下列说法正确的是 ( )
A．物体一直受到摩擦力作用，大小为μmg
B．物体最终的速度为v1
C．开始阶段物体做匀加速直线运动
D．物体在匀速阶段受到的静摩擦力向右
BC [在物体加速过程中，所受的摩擦力Ff＝μmg，加速度a＝μg，当速度达到v1时，物体与传送带一起做匀速运动，所受的摩擦力为0，故B、C正确，A、D错误．]
6．如图所示，由相同材料做成的A、B两物体放在长木板上，随长木板一起以速度v向右做匀速直线运动，它们的质量分别为mA和mB，且mA>mB.某时刻木板停止运动，设木板足够长，下列说法中正确的是( )
A．若木板光滑，由于A的惯性较大，A、B间的距离将增大
B．若木板粗糙，由于B的惯性较小，A、B间的距离将减小
C．若木板光滑，A、B间距离保持不变
D．若木板粗糙，A、B间距离保持不变
CD [若木板光滑，A、B的加速度为零，两者将以相同的速度v向右做匀速直线运动，间距保持不变，故选项A错误，C正确；若木板粗糙，由牛顿第二定律知a＝＝μg，两者加速度a相同，间距仍保持不变，故选项B错误，D正确．]
7．如图所示，一足够长的水平传送带以恒定的速度向右传动．将一物体轻轻放在传送带的左端，以v、a、x、f表示物体速度大小、加速度大小、位移大小和所受摩擦力的大小．下列选项正确的是 ( )
AB [在物体加速过程中，加速度a＝μg，物体做匀加速直线运动，当达到共同速度时，不再受摩擦力，a＝0；物体做匀速直线运动，故选项A、B正确．]
8．如图甲所示，倾角为θ的足够长的传送带以恒定的速率v0沿逆时针方向运动．t＝0时将质量m＝1 kg的物体(可视为质点)轻放在传送带上，物体相对地面的v-t图像如图乙所示．设沿传送带向下为正方向，取重力加速度g＝10 m/s2.则 ( )
甲 乙
A．传送带的速率v0＝10 m/s
B．传送带的倾角θ＝30°
C．物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5
D．1.0～2.0 s物体不受摩擦力
AC [当传送带速度v0大于物体速度时，物体受到的摩擦力向下，由牛顿第二定律得加速度a1＝gsin θ＋μgcos θ，向下加速；当传送带速度v0小于物体速度时，物体受到的摩擦力向上，加速度a2＝gsin θ－μgcos θ；由图知当v＝10 m/s时是a发生变化时，即此时v物＝v0＝10 m/s，故选项A正确；由图知a1＝＝10 m/s2，a2＝＝2 m/s，分别代入上面两式得μ＝0.5，θ＝37°，故选项B、D错误，选项C正确．]
9．如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上．A、B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.现对A施加一水平拉力F，则 ( )
A．当F<2μmg时，A、B都相对地面静止
B．当F＝μmg时，A的加速度为μg
C．当F>3μmg时，A相对B滑动
D．无论F为何值，B的加速度不会超过μg
BCD [A、B间的最大静摩擦力为2μmg，B和地面之间的最大静摩擦力为μmg，对A、B整体，只要F>μmg，整体就会运动，选项A错误；当A对B的摩擦力为最大静摩擦力时，A、B将要发生相对滑动，故A、B一起运动的加速度的最大值满足2μmg－μmg＝mamax，B运动的最大加速度amax＝μg，选项D正确；对A、B整体，有F－μmg＝3mamax，则F>3μmg时两者会发生相对运动，选项C正确；当F＝μmg时，两者相对静止，一起滑动，加速度满足F－μmg＝3ma，解得a＝μg，选项B正确．]
二、非选择题(本题共3小题，共36分)
10．(12分)如图所示，一质量为mB＝2 kg的木板B静止在光滑的水平面上，其右端上表面紧靠一固定斜面轨道的底端(斜面底端与木板B右端的上表面之间有一段小圆弧平滑连接)，轨道与水平面的夹角θ＝37°，一质量也为mA＝2 kg的物块A由斜面轨道上距轨道底端x0＝8 m处由静止释放，物块A刚好没有从木板B的左端滑出，已知物块A与斜面轨道间的动摩擦因数为μ1＝0.25，与木板B上表面间的动摩擦因数为μ2＝0.2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，物块A可看作质点．
(1)物块A刚滑上木板B时的速度为多大？
(2)物块A从刚滑上木板B到相对木板B静止共经历了多长时间？木板B有多长？
[解析] (1)设物块A沿斜面下滑的加速度为a1，则
mAgsin θ－μ1mAgcos θ＝mAa1
解得a1＝4 m/s2
物块A滑到木板B上时的速度为
v1＝＝ m/s＝8 m/s.
(2)物块A在木板B上滑动时，它们在水平方向上的受力大小相等，质量也相等，故它们的加速度大小相等，
数值为a2＝＝μ2g＝2 m/s2
设木板B的长度为L，二者相对静止时经历的时间为t2，最终的共同速度为v2，在达到共同速度时，木板B滑行的距离为x，利用位移关系得v1t2－a2t－a2t＝L
对物块A有v2＝v1－a2t2
v－v＝－2a2(x＋L)
对木板B有v＝2a2x
联立解得相对滑行时间和木板B的长度分别为
t2＝2 s，L＝8 m.
[答案] (1)8 m/s (2)2 s 8 m
11．(12分)质量为2 kg的木板B静止在水平面上，可视为质点的物块A从木板的左侧沿木板上表面水平冲上木板，如图甲所示．A和B经过1 s达到同一速度，之后共同减速直至静止，A和B的v-t图像如图乙所示，重力加速度取g＝10 m/s2，求：
甲 乙
(1)A与B上表面之间的动摩擦因数μ1；
(2)B与水平面间的动摩擦因数μ2；
(3)A的质量．
[解析] (1)由题图乙可知，A在0～1 s内的加速度a1＝＝－2 m/s2
对A由牛顿第二定律得
－μ1mg＝ma1
解得μ1＝0.2.
(2)由题图乙知，A、B在1～3 s内的加速度a3＝＝－1 m/s2，
对A、B整体，由牛顿第二定律得
－μ2(M＋m)g＝(M＋m)a3
解得μ2＝0.1.
(3)由题图乙可知B在0～1 s内的加速度a2＝＝2 m/s2
对B由牛顿第二定律得
μ1mg－μ2(M＋m)g＝Ma2
代入数据解得m＝6 kg.
[答案] (1)0.2 (2)0.1 (3)6 kg
12．(12分)如图为火车站使用的传送带示意图，绷紧的传送带水平部分长度L＝4 m，并以v0＝1 m/s的速度匀速向右运动．现将一个可视为质点的旅行包无初速度地轻放在传送带的左端，已知旅行包与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，g取10 m/s2.
(1)求旅行包经过多长时间到达传送带的右端；
(2)若要旅行包从左端运动到右端所用时间最短，传送带速度的大小应满足什么条件？
[解析] (1)旅行包无初速度地轻放在传送带的左端，先在滑动摩擦力作用下做匀加速直线运动，加速度a＝＝μg＝0.2×10 m/s2＝2 m/s2
匀加速运动的时间t1＝＝0.5 s
匀加速运动的位移x＝at＝0.25 m
此后旅行包匀速运动，匀速运动的时间t2＝＝3.75 s
所以旅行包从左端运动到右端所用时间
t＝t1＋t2＝4.25 s.
(2)要使旅行包在传送带上运行时间最短，必须使旅行包在传送带上一直加速，
由v2＝2aL得
v＝＝4 m/s
即传送带速度必须大于等于4 m/s.
[答案] (1)4.25 s (2)v≥4 m/s
