2.共点力平衡条件的应用
3．平衡的稳定性(选学)
学 习 目 标
知 识 脉 络(教师用书独具)
1.知道受力分析的基本方法，培养学生处理力学问题的基本技能．(重点)
2.掌握利用合成法、分解法、三角形法等方法解答平衡类问题．(难点)
3.知道稳度的概念和影响稳度大小的因素.
一、关于移动货物箱的疑问
如图所示，货物箱处于平衡状态，G为货物箱重力，F为拉(推)力，N为地面对货物箱的支持力，f为摩擦力，地面与箱之间的动摩擦因数为μ.
1．向前拉物箱时
水平方向上：Fcos θ＝f
竖直方向上：N＋Fsin_θ＝G
又由于f＝μN，可得F＝
2．向前推物箱时
水平方向上：Fcos θ＝f
竖直方向上：N＝Fsin θ＋G
又由于f＝μN
可得F＝.
比较两次的计算结果可知推动货物箱时需要的力更大．
二、如何选择绳子的粗细
如图甲所示，用绳子把排球网架的直杆拉住，OA、OB两绳的拉力大小相同，夹角为60°.
甲 乙 丙
将立体图改画为平面图(在左上方观察)，O点受力示意图如图乙或丙所示，求FOA、FOB、FOC三力的大小关系，可采用下面两种方法.
1．合成法
如图乙，FOA与FOB的合力与FOC等大、反向，
FOA与FOB大小相等，
2FOAcos 30°＝FOC，得FOC＝FOA.
2．正交分解法
如图丙，在x轴方向上：FOAcos 60°＝FOBcos 60°①
在y轴方向上：FOC＝FOAcos_30°＋FOBcos_30°②
由①②得：FOA＝FOB，FOC＝FOA
如果绳能承受的拉力跟绳的横截面积成正比，那么OC绳的直径大约是OA(OB)绳的1.32倍才合理．
三、平衡的稳定性
1．平衡的分类
种类
稳定平衡
不稳定平衡
随遇平衡
主要区别
自动恢复到原先的状态
不能自动回到原先的状态
在新的位置也能平衡
举例
不倒翁
杂技演员
电动机的转子
2.稳度
稳度指的是物体的稳定程度，物体的稳度大小由重心的高低和支持面的大小两个因素决定，重心越低，支持面越大，稳度就越大．
1．思考判断
(1)静态平衡的充要条件是合力为零、速度为零．(√)
(2)速度不变的物体处于动态平衡状态．(√)
(3)不论地面是否光滑，移动水平面上的货物箱时，“推”都比“拉”费力. (×)
(4)在水平面上“推”、“拉”同一个货物箱时，货物箱受到的摩擦力大小相等．(×)
(5)物体的平衡是根据物体受到外力的微小扰动偏离平衡位置后能否自动恢复到原来状态进行分类的．(√)
2．某物体受到四个力的作用而处于静止状态，保持其中三个力的大小和方向均不变，使另一个大小为F的力方向转过90°，则欲使物体仍能保持静止状态，必须再加上一个大小为多少的力( )
A．F B.F C．2F D．3F
B [物体受到四个力的作用而处于静止状态，由物体的平衡条件可知，力F与另三个力的合力一定等大反向，当力F转过90°时，力F与另三个力的合力大小为F，因此，欲使物体仍能保持静止状态，必须再加一个大小为F的力，故只有B正确．]
3．如图所示，某人静躺在椅子上，椅子的靠背与水平面之间有固定倾斜角θ.若此人所受重力为G，则椅子各部分对他的作用力的合力大小为( )
图4-1-4
A．G B．Gsin θ
C．Gcos θ D．Gtan θ
A [人在重力和椅子各部分对他的作用力下处于平衡状态，所以重力一定与椅子各部分对他的作用力的合力等大反向，故选项A正确．]
求解平衡问题的常用方法
1．合成法与分解法：对于三力平衡问题，具体求解时有两种思路：一是将某两个力进行合成，将三力转化成二力，构成一对平衡力；二是将某个力沿另两个力的反方向进行分解，将三力转化为四力，构成两对平衡力，该法常用于三力中有两个力相互垂直的平衡问题．
2．正交分解法：物体所受的合力为零，则在任一方向上物体所受的合力都为零，如果把物体所受的各个力进行正交分解，即将各力分别分解到x轴和y轴上，则共点力作用下物体的平衡条件还可以表示为：Fx合＝0，Fy合＝0.
3．相似三角形法：“相似三角形”的主要性质是对应边成比例，对应角相等．在物理中，一般当涉及矢量运算，又构建了三角形时，若该三角形与图中的某几何三角形为相似三角形，则可用相似三角形法解题．
4．矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接(如图所示)，构成一个矢量三角形．若三个力的矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零．利用三角形法，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识可求得未知力．矢量三角形作图分析法优点是直观、简便，但它仅适于解决三力平衡问题．
【例1】 在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图所示．仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球．无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度．风力越大，偏角越大．通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力．那么，风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？
思路点拨：金属球处于三力平衡状态，可以应用分解法、合成法或正交分解法求解．
[解析] 取金属球为研究对象，有风时，它受到3个力的作用：重力mg、水平方向的风力F和金属丝的拉力T，如图所示．这3个力是共点力，在这三个共点力的作用下金属球处于平衡状态，则这3个力的合力为零．根据任意两力的合力与第3个力等大反向求解，可以根据力的三角形定则求解，也可以用正交分解法求解．
甲 乙 丙
法一：(力的合成法)
如图甲所示，风力F和拉力T的合力与重力等大反向，由平行四边形定则可得
F＝mgtan θ.
法二：(力的分解法)
重力有两个作用效果：使金属球抵抗风的吹力和使金属丝拉紧，所以可以将重力沿水平方向和金属丝的方向进行分解，如图乙所示，由几何关系可得
F＝F′＝mgtan θ.
法三：(正交分解法)
以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立坐标系，如图丙所示．由水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零，即
Fx合＝Tsin θ－F＝0
Fy合＝Tcos θ－mg＝0
解得F＝mgtan θ
由所得结果可见，当金属球的质量m一定时，风力F只跟偏角θ有关．因此，偏角θ的大小就可以指示出风力的大小．
[答案] F＝mgtan θ
解答平衡问题选取规律的原则
(1)三力平衡往往采用合成法、分解法、三角形法．
(2)正交分解法主要解决三个及三个以上共点力平衡问题，将矢量运算转化为代数运算．
(3)相似三角形法适用于求解力的矢量三角形是一般形状的三角形问题．
1．如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上．物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比为 ( )
甲 乙
A．cos θ＋μsin θ B．cos θ－μsin θ
C．1＋μtan θ D．1－μtan θ
B [F1作用时，物体的受力情况如图甲，根据平衡条件得
甲 乙
F1＝mgsin θ＋μN
N＝mgcos θ
解得F1＝mgsin θ＋μmgcos θ
F2作用时，物体的受力情况如图乙，根据平衡条件得
F2cos θ＝mgsin θ＋μN′
N′＝mgcos θ＋F2sin θ
解得F2＝
所以＝cos θ－μsin θ，故选B.]
【例2】 如图所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O′的正上方固定一小定滑轮，细线一端拴一小球A，另一端绕过定滑轮．今将小球从图中所示的初位置缓慢地拉至B点．在小球到达B点前的过程中，小球对半球的压力N及细线的拉力F1的大小变化是 ( )
A．N变大，F1变小
B．N变小，F1变大
C．N不变，F1变小
D．N变大，F1变大
思路点拨：①对小球受力分析，小球受三个力作用处于平衡状态．②将三个力首尾相接构成矢量三角形．③矢量三角形与几何三角形AO′O相似．
C [由于三力F1、N与G首尾相接构成的矢量三角形与几何三角形AO′O相似，如图所示，所以有＝，＝，所以F1＝mg，N＝mg，由题意知当小球缓慢上移时，OA变小，OO′不变，R不变，故F1变小，N不变．]
相似三角形法的应用原则
如果物体受到三个力的作用，其中的一个大小、方向均不变，另外两个力的方向都发生变化，可以用力三角形与几何三角形相似的方法．
2．一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示．现将细绳缓慢向左拉，使杆BO与AO的夹角逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是( )
A．FN先减小，后增大
B．FN始终不变
C．F先减小，后增大
D．F始终不变
B [以B点为研究对象，它受三个力的作用而处于动态平衡状态，下端绳子的弹力等于悬挂物体的重力mg，还有斜绳AB上的弹力F，由于O点是光滑铰链，因此杆施加的弹力FN沿着杆，根据图形的标量三角形和力的矢量三角形相似，可得比例＝＝，其中OA、OB长度不变，AB逐渐减小，重力mg大小不变，可知F逐渐减小，FN不变，选项B正确．]
动态平衡问题的分析
1．动态平衡问题的特点：通过控制某一物理量，使其他物理量发生缓慢变化，而变化过程中的任何一个状态都看成是平衡状态．
2．处理动态平衡问题常用的方法
(1)解析法：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出应变量与自变量的一般函数式，然后依据自变量的变化确定应变量的变化(也叫代数法)．
(2)图解法：就是对研究对象进行受力分析，根据力的平行四边形定则画出不同状态时的力的矢量图(画在同一个图中)，然后依据有向线段(表示力)的长度变化判断各个力的变化情况．
3．一般解题步骤
(1)确定研究对象．
(2)分析研究对象在原来平衡时的受力情况．
(3)分析变化情况，根据平衡条件找出不变量，利用正交分解法或三角形法，找出各个变量与不变量之间的关系．
(4)列方程或作出受力图分析求解．
【例3】 如图所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间．设墙面对球的压力大小为N1，球对木板的压力大小为N2.以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置．不计摩擦，在此过程中 ( )
A．N1始终减小，N2始终增大
B．N1始终减小，N2始终减小
C．N1先增大后减小，N2始终减小
D．N1先增大后减小，N2先减小后增大
思路点拨：法一：解析法
→→
法二：图解法
甲
B [法一(解析法)：
如图甲所示：由平衡条件得N1＝
N2′＝，随θ逐渐增大到90°，tan θ、sin θ都增大，N1、N2′都逐渐减小，由牛顿第三定律可知N2＝N2′，所以选项B正确．
乙
法二(图解法)：
对球受力分析，球受3个力，分别为重力G、墙对球的弹力N1和板对球的弹力N2′.当板逐渐放至水平的过程中，球始终处于平衡状态，即N1与N2′的合力F始终竖直向上，大小等于球的重力G，如图乙所示，由图可知N1的方向不变，大小逐渐减小，N2′的方向发生变化，大小也逐渐减小，由牛顿第三定律可知N2＝N2′，故选项B正确．]
图解法的应用技巧
(1)在动态平衡问题中，物体受三个力的作用处于平衡状态，其中一个力的大小、方向都不变，这个力往往是重力，第二个力方向不变，第三个力方向变化时，分析第二个和第三个力的大小变化情况．这类题目用图解法更简单、直观．
(2)两分力垂直时出现极值问题．
3．如图所示，一定质量的物块用两根轻绳悬在空中，现保持O点位置不变，使绳OB在竖直平面内由水平方向向上转动，则在绳OB由水平转至竖直的过程中，绳OB的张力的大小将( )
A．一直变大 B．一直变小
C．先变大后变小 D．先变小后变大
D [对O点受力分析，受重力和两个拉力，如图所示，根据平衡条件，合力为零，将两个拉力合成，与重力平衡，从图中可以看出，OB绳子的拉力先减小后增加，OA绳子的拉力逐渐减小；故选D.]
1．如图所示，质量为m的木块A放在斜面体B上，若A和B沿水平方向以相同的速度v0一起向左做匀速直线运动，则A和B之间的相互作用力大小为 ( )
A．mgsin θ B．mgcos θ
C．mg D．0
C [选A为研究对象，则A受到重力、支持力、静摩擦力三个力，由于A和B一起做匀速直线运动，故A处于平衡状态，即A的重力、支持力、静摩擦力三力的合力为0.其中支持力和摩擦力是B作用于A的，故A和B之间的相互作用力的大小就等于支持力和摩檫力的合力的大小．故摩擦力与支持力的合力的大小等于重力的大小．故C正确，A、B、D错误．]
2．如图所示，一重为8 N的球固定在AB杆的上端，今用弹簧测力计水平拉球，使杆发生弯曲，此时测力计的示数为6 N，则AB杆对球作用力的大小为( )
A．6 N B．8 N
C．10 N D．12 N
C [小球受重力mg、弹簧测力计的水平拉力F和杆的弹力N处于平衡状态，其合力为零，故N＝＝ N＝10 N，C正确．]
3．如图所示，质量均为m的两个小球A、B固定在轻杆的两端，将其放入光滑的半圆形碗中，杆的长度等于碗的半径，当杆与碗的竖直半径垂直时，两小球刚好能平衡，则小球A对碗的压力大小为( )
A.mg B.mg
C.mg D．2mg
B [对A受力分析如图所示，由平衡条件可知Ncos 30°＝mg，解得N＝＝mg，故选B.]
4．如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点．现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力N以及绳对小球的拉力T的变化情况是( )
A．N保持不变，T不断增大
B．N不断增大，T不断减小
C．N保持不变，T先增大后减小
D．N不断增大，T先减小后增大
D [由于缓慢地推动斜面体，小球处于动态平衡，小球受到大小、方向不变的重力，方向不变的斜面的支持力，还有绳的拉力，三力构成封闭三角形，如图所示，开始时绳的拉力与支持力的夹角为锐角，随着绳的拉力T按顺时针转动，其大小先减小后增大，而支持力N一直增大，D项正确．]
5．如图所示，质量m＝5 kg的物体置于一粗糙斜面上，用一平行于斜面、大小等于30 N的力F推物体，使物体沿斜面向上匀速运动，斜面体质量M＝10 kg，且始终静止，求地面对斜面的摩擦力及支持力的大小．(g取10 m/s2)
[解析] 运用整体法，利用平衡条件，在水平方向和竖直方向分别有：f＝Fcos 30°＝30× N≈26 N，N＝(M＋m)g－Fsin 30°＝(10＋5)×10 N－30× N＝135 N．即地面对斜面的摩擦力大小为26 N，地面对斜面的支持力大小为135 N.
[答案] 26 N 135 N
课件56张PPT。第四章 物体的平衡2.共点力平衡条件的应用
3．平衡的稳定性(选学)点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十) 共点力平衡条件的应用平衡的稳定性(选学)
(时间：30分钟 分值：60分)
一、选择题(本题共6小题，每小题6分)
1．如图所示，物体M放在水平面上受到两个水平力的作用，F1＝4 N，F2＝8 N，物体处于静止状态．如果将水平力F1增加5 N，则( )
A．物体M仍处于静止状态
B．物体M受到的合力方向向左
C．物体M受到的合力方向向右
D．物体M受到的摩擦力等于5 N
A [当F1＝4 N，F2＝8 N时物体静止，此时物体受向右的摩擦力为4 N，说明fmax≥4 N．当F1增加5 N时，F1与F2的合力为1 N，物体仍能静止．]
2．从图中可以看出，卸下来的沙子呈现一个圆锥形．因为沙粒与沙粒之间的动摩擦因数μ可以看作一个定值，所以沙堆的高与周长之比是定值，也就是说，无论卸下来的沙子是多还是少，沙堆是大还是小，这些沙堆的形状都是相似的．那么，沙堆的高与周长之比为 ( )
A. B. C. D.
A [分析沙堆边缘处一粒沙子的受力，如图所示，由平衡条件得mgsin θ＝μmgcos θ，所以μ＝tan θ
又tan θ＝，周长c＝2πR.所以＝.故选A.]
3．棒AB的一端A固定于地面，可绕A点无摩擦地转动，B端靠在物体C上，物体C靠在光滑的竖直墙上，如图所示．若在C物体上再放上一个小物体，整个装置仍保持平衡，则B端与C物体之间的弹力大小将( )
A．变大 B．变小
C．不变 D．无法确定
A [设B对C的弹力大小为F，AB与竖直方向的夹角为α，则对C在竖直方向有Fcos α＝mg，当在物体C上放置小物体后，则对C和小物体的整体而言，mg变大，则F变大，故选项A正确．]
4．如图所示，一根轻绳跨过定滑轮后系在质量较大的球上，球的大小不可忽略，在轻绳的另一端加一个力F，使球沿斜面由图示位置缓慢拉上顶端，各处的摩擦不计，在这个过程中拉力F( )
A．逐渐增大 B．保持不变
C．先增大后减小 D．先减小后增大
A [将球沿固定的光滑斜面由题图位置缓慢拉到顶端的过程中，顺时针转动过程绳子拉力方向如图中1到2到3的位置(注意开始时绳子拉力与支持力的夹角就是大于90°的)
由图可以看出绳子拉力一直增大，即F一直增大．
]
5．如图所示，吊环运动员将吊绳与竖直方向分开相同的角度，重力大小为G的运动员静止时，左边绳子张力为T1，右边绳子张力为T2.则下列说法正确的是 ( )
A．T1和T2是一对作用力与反作用力
B．运动员两手缓慢撑开时，T1和T2都会变小
C．T2一定大于G
D．T1＋T2＝G
B [T1和T2是两边绳子作用在吊环上的力，不是一对作用力与反作用力，选项A错误；因T1和T2的合力等于G，故当运动员两手缓慢撑开时，绳子与竖直方向的夹角减小，故T1和T2都会变小，选项B正确；因绳子与竖直方向的夹角不确定，故T2与G的关系不能确定，选项C错误；T1和T2的矢量和等于G，故T1＋T2＝G只在当绳子与竖直方向夹角为零时才是成立的，选项D错误．]
6．如图所示，一小球在斜面上处于静止状态，不考虑一切摩擦，如果把竖直挡板由竖直位置缓慢绕O点转至水平位置，则此过程中球对挡板的压力F1和球对斜面的压力F2的变化情况是( )
A．F1先增大后减小，F2一直减小
B．F1先减小后增大，F2一直减小
C．F1和F2都一直减小
D．F1和F2都一直增大
B [小球受重力、挡板弹力F1′和斜面弹力F2′，将F1′与F2′合成为F，如图所示．小球一直处于平衡状态，三个力中的任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，故F1′和F2′的合力F一定与重力等值、反向、共线，从图中可以看出，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，F1′先变小，后变大，F2′越来越小；由牛顿第三定律可知F1先变小，后变大，F2越来越小，故B正确. ]
二、非选择题(本题共2小题，共24分)
7．(12分)如图所示，光滑金属球的重力G＝40 N．它的左侧紧靠竖直的墙壁，右侧置于倾角θ＝37°的斜面体上．已知斜面体处于水平地面上保持静止状态，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)墙壁对金属球的弹力大小；
(2)水平地面对斜面体的摩擦力的大小和方向．
[解析] (1)金属球静止，则它受到的三个力平衡(如图所示)．由平衡条件可得墙壁对金属球的弹力为N1＝Gtan θ＝40tan 37°＝30 N.
(2)斜面体对金属球的弹力为
N2＝＝50 N
由斜面体平衡可知地面对斜面体的摩擦力大小为f＝N2sin 37°＝30 N
摩擦力的方向水平向左．
[答案] (1)30 N (2)30 N 方向水平向左
8．(12分)一物体置于粗糙的斜面上，给该物体施加一个平行于斜面的力，当此力为100 N且沿斜面向上时，物体恰能沿斜面向上匀速运动；当此力为20 N且沿斜面向下时，物体恰能在斜面上向下匀速运动，求施加此力前物体在斜面上受到的摩擦力．
甲
[解析] 物体沿斜面向上运动时受力分析如图甲所示．
由共点力的平衡条件得
x轴：F1－f1－mgsin α＝0
y轴：mgcos α－N1＝0
又f1＝μN1
物体沿斜面向下运动时受力分析如图乙所示．
乙
由共点力的平衡条件得
x轴：f2－F2－mgsin α＝0
y轴：mgcos α－N2＝0
又f2＝μN2，f1＝f2＝f
以上各式联立得f1＝f2＝f＝
代入数据得f＝ N＝60 N，
mgsin α＝40 N
当不施加此力时，物体受重力沿斜面向下的分力mgsin α故物体静止在斜面上，受到的静摩擦力
f′＝mgsin α＝40 N.
[答案] 40 N
