(教师用书独具)
1．平衡状态：物体保持静止或匀速直线运动的状态．
2．平衡条件：F合＝0或，其中Fx合和Fy合分别是将力进行正交分解后，物体在x轴和y轴上受的合力．
3．静态平衡与动态平衡
(1)静态平衡是处于静止状态的平衡，合力为零．
(2)动态平衡是匀速直线运动状态的平衡，合力为零．
4．平衡的分类：平衡可以分为稳定平衡、不稳定平衡、随遇平衡三类．
5．稳度的决定因素：重心的高低和支持面的大小.
用“整体法”与“隔离法”解决物体系统的平衡问题
1．整体法的含义：所谓整体法就是对物理问题的整体系统进行分析、研究的方法．
2．整体法的优点：通过整体法分析物理问题，可以弄清系统的整体变化情况，从整体上揭示事物的本质和变化规律，从而避开中间环节的繁琐推算，能灵活地解决问题．
3．隔离法的含义：所谓隔离法就是将某一物理问题的整个系统中的一部分，从系统中隔离出来进行分析、研究的方法．
4．隔离法的优点：可以弄清系统内各个物体间作用的情况，从而对系统内各个物体间的相互作用有详细的理解和掌握．
【例1】 如图所示，两个质量均为m的小环套在一水平放置的粗糙长杆上，两根长度均为l的轻绳一端系在小环上，另一端系在质量为M的木块上，两个小环之间的距离也为l，小环保持静止．试求：
(1)小环对杆的压力大小；
(2)小环与杆之间的动摩擦因数μ至少为多大？
[解析] (1)对两小环和木块整体由平衡条件得
2N－(M＋2m)g＝0，解得N＝Mg＋mg
由牛顿第三定律得，小环对杆的压力为
N′＝N＝Mg＋mg.
(2)对M由平衡条件得2Tcos 30°－Mg＝0
小环刚好不滑动，此时小环受到的静摩擦力达到最大值，则Tsin 30°－μN＝0
解得动摩擦因数μ至少为μ＝.
[答案] (1)Mg＋mg (2)
[一语通关] ?1?当所涉及的物理问题是整体与外界作用时，应用整体分析法可使问题简单明了，而不必考虑内力的作用.
?2?当所涉及的物理问题是物体间的作用时，应用隔离分析法，这时系统中物体间的相互作用的内力就会变为各个独立物体的外力.
1．(多选)如图所示，质量分别为m1、m2的两个物体通过轻弹簧连接，在力F的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动(m1在地面上，m2在空中)，力F与水平方向成θ角．则m1所受支持力N和摩擦力f正确的是( )
A．N＝m1g＋m2g－Fsin θ
B．N＝m1g＋m2g－Fcos θ
C．f＝Fcos θ
D．f＝Fsin θ
AC [将m1、m2、弹簧看作整体，受力分析如图所示，根据平衡条件得f＝Fcos θ，N＋Fsin θ＝(m1＋m2)g，N＝(m1＋m2)g－Fsin θ，故选项A、C正确．]
物体平衡的临界和极值问题1.物体平衡的临界问题
临界状态：当物体从某种特性变化到另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态通常叫做临界状态，出现“临界状态”时，既可理解成“恰好出现”也可理解为“恰好不出现”某种物理现象．物体平衡的临界问题是指当某一物理量变化时，会引起其他几个物理量跟着变化，从而使物体所处的平衡状态恰好出现变化或恰好不出现变化．
2．临界问题的处理方法
(1)极限分析法作为一种预测和处理临界问题的有效方法，是指通过恰当地选取某个变化的物理量将其推向极端(“极大”或“极小”、“极右”或“极左”等)，从而把比较隐蔽的临界现象(或“各种可能性”)暴露出来，使问题明朗化，以便非常简捷地得出结论．
(2)数学解法是指通过对问题的分析，依据物理规律写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法(例如求二次函数极值、讨论公式极值、三角函数极值)求解极值．但需注意：利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对解的合理性及物理意义进行讨论或说明．
【例2】 如图所示，物体的质量为m，两根轻绳AB和AC的一端分别连接在竖直墙上，另一端系在物体上，在物体上施加一个与水平方向成θ＝60°角的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围．(∠BAC＝θ)
[解析] 设AB、AC绳中张力分别为FB和FC，则竖直方向上有FBsin θ＋Fsin θ＝mg
解得FB＝mg－F
AB绳张紧时，FB≥0，得F≤mg
水平方向上有Fcos θ＝FBcos θ＋FC
若AC绳张紧，FC≥0，得Fcos θ≥FBcos θ，即F≥FB
又FB＝mg－F，所以F≥mg
故拉力F的大小范围为mg≤F≤mg.
[答案] mg≤F≤mg
[一语通关] 求解临界问题时，一定要找准临界点，从临界点入手分析物体的受力情况，看哪个力达到了极值或临界值，然后对临界状态应用平衡条件，结合整体法、隔离法等方法列式求解即可.
2．如图所示，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑．已知A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．A与B的质量之比为( )
A. B.
C. D.
B [滑块B刚好不下滑，根据平衡条件得mBg＝μ1F；滑块A恰好不滑动，则滑块A与地面之间的摩擦力等于最大静摩擦力，把A、B看成一个整体，根据平衡条件得F＝μ2(mA＋mB)g，解得＝.选项B正确．]
课件23张PPT。第四章 物体的平衡章末复习课2345678910111213141516171819202122Thank you for watching !章末综合测评(四) 物体的平衡
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分．第1～7题只有一项符合题目要求，第8～12题有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图所示．现对小球a持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对小球b持续施加一个向右偏上30°的同样大的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图可能是 ( )
A [以a、b两小球及它们间的连线为研究对象，因施加的恒力合力为0，重力竖直向下，故平衡时连接a与悬点的细线必须竖直，且其拉力等于两球重力之和，所以A正确．]
2．如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为 ( )
A.∶4 B．4∶
C．1∶2 D．2∶1
D [将两球和弹簧B看成一个整体，整体受到总重力G、弹簧A和C的拉力，如图，设弹簧A、C的拉力分别为F1和F2.由平衡条件得知，F2和G的合力与F1大小相等、方向相反，则得：
F2＝F1sin 30°＝0.5F1.
根据胡克定律得：F＝kx，k相同，则弹簧A、C的伸长量之比等于两弹簧拉力之比，即有xA∶xC＝F1∶F2＝2∶1.]
3．如图所示，质量为M的木板静止在桌面上，木板上有质量为m的滑块在匀速滑行，拉力大小为F.已知滑块与木板间、木板与桌面间的动摩擦因数均为μ，M＝3m，那么木板所受桌面的摩擦力的大小是( )
A．F B．2μmg
C．3μmg D．4μmg
A [m匀速滑行，由平衡条件知F＝μmg，M静止不动，由平衡条件知桌面的摩擦力等于m、M间的摩擦力，大小为μmg，所以A对，B、C、D错．]
4．置于水平地面上的物体受到水平作用力F处于静止状态，如图所示．保持作用力F大小不变，将其沿逆时针方向缓缓转过180°，物体始终保持静止，则在此过程中物体对地面的正压力N和地面给物体的摩擦力f的变化是 ( )
A．N先变小后变大，f不变
B．N不变，f先变小后变大
C．N、f都是先变大后变小
D．N、f都是先变小后变大
D [力F与水平方向的夹角θ先增大后减小．水平方向上，Fcos θ－f＝0，f＝Fcos θ；竖直方向上，N＋Fsin θ－mg＝0，N＝mg－Fsin θ.故随θ变化，f、N都是先变小后变大．]
5．如图所示，左侧是倾角为60°的斜面，右侧是圆弧面的物体固定在水平地面上，圆弧面底端的切线水平，一根两端分别系有质量为m1、m2小球的轻绳跨过其顶点上的小滑轮．当它们处于平衡状态时，连接m2小球的轻绳与水平线的夹角为60°，不计一切摩擦，两小球可视为质点．两小球的质量之比m1∶m2等于( )
A．1∶1 B．2∶3
C．3∶2 D．3∶4
B [设轻绳的张力为F，圆弧面对m2的弹力为FN，由对称性可知，FN＝F，由于m1、m2均静止，由平衡条件可得F＝m1gsin 60°，Fcos 30°＋FNcos 30°＝m2g.联立解得＝，B正确．]
6．如图所示，A、B两物体的质量分别为mA、mB且mA>mB，整个系统处于静止状态．滑轮的质量和一切摩擦均不计，如果绳一端由Q点缓慢地向左移到P点，整个系统重新平衡后，物体A的高度和两滑轮间绳与水平方向的夹角θ变化情况是 ( )
A．物体A的高度升高，θ角变大
B．物体A的高度降低，θ角变小
C．物体A的高度升高，θ角不变
D．物体A的高度不变，θ角变小
C [因为滑轮两边的拉力大小相等且为mAg，对B的受力平衡分析可知2mAgsin θ＝mBg，mAg和mBg为定值，所以sin θ也是定值，即θ大小不变，因为从Q点移到P点，θ不变，所以物体A上升，故选C.]
7．如图所示，有5 000个质量均为m的小球，将它们用长度相等的轻绳依次连接，再将其左端用细绳固定在天花板上，右端施加一水平力使全部小球静止．若连接天花板的细绳与水平方向的夹角为45°.则第2 016个小球与2 017个小球之间的轻绳与水平方向的夹角α的正切值等于 ( )
A. B.
C. D.
A [以5 000个小球组成的整体为研究对象，分析受力情况，如图甲所示，根据平衡条件得F＝5 000mg
甲 乙
再以2 017个到5 000个小球组成的整体为研究对象，分析受力情况，如图乙所示，则有tan α＝＝，故选A.]
8．光滑水平面上放有截面为圆周的柱状物体A，A与墙面之间放一光滑的圆柱形物体B，对A施加一水平向左的力F，整个装置保持静止，若将A的位置向右移动少许，整个装置仍保持平衡，则( )
A．水平外力F增大
B．墙对B的作用力减小
C．地面对A的支持力减小
D．B对A的作用力增大
AD [对物体B受力分析，受到重力mg、物体A对物体B的支持力N′和墙面对B的支持力N，如图所示：
当物体A向右移动后，物体A对物体B的支持力N′的方向不断变化，根据平衡条件结合合成法可以知道物体A对物体B的支持力N′和墙面对物体B的支持力N都在不断增大，故B错误，D正确；再对A和B整体受力分析，受到总重力G、地面支持力N1、推力F和墙面的弹力N，如图所示：
根据平衡条件有F＝N，N1＝G，故地面对A的支持力不变，推力F随着墙面对物体B的支持力N的不断增大而增大，故A正确，C错误．]
9．如图所示，倾角α＝30°的等腰三角形斜面固定在水平面上，质量分别为2m和m的A、B两个滑块用不可伸长的轻绳通过滑轮连接(不计滑轮质量和摩擦)．已知A滑块和左侧斜面的动摩擦因数μ＝，B滑块与右侧斜面间光滑接触．且A、B均处于静止状态，则斜面对A的摩擦力fA的大小和方向为 ( )
A．fA＝mg B．沿斜面向上
C．fA＝mg D．沿斜面向下
AB [B处于静止状态，受力平衡，根据平衡条件得知：绳子的拉力T＝mgsin α，再对A进行研究，设斜面对A的静摩擦力方向沿斜面向下，根据平衡条件得T＝2mgsin α＋fA，联立以上两式得fA＝－mgsin α＝－mg，负号说明斜面对A的静摩擦力方向沿斜面向上．]
10．质量均为m的a、b两木块叠放在水平面上，如图所示，a受到斜向上与水平面成θ角的力F1的作用，b受到斜向下与水平面成θ角等大的力F2的作用，两力在同一竖直平面内，此时两木块保持静止，则( )
A．a一定受到四个力的作用
B．水平面对b的支持力可能大于2 mg
C．a、b之间一定存在静摩擦力
D．b与水平面之间一定存在静摩擦力
AC [a受重力、支持力、拉力以及b对a的静摩擦力而处于平衡状态，故A、C正确．对整体分析，F1与F2大小相等，方向相反，两力相互抵消，则水平面对b无摩擦力，D错误．水平面的支持力N＝2mg，B错误．]
11．如图所示，斜面体置于粗糙水平面上，斜面光滑．小球被轻质细线系住放在斜面上，细线另一端跨过定滑轮，用力拉细线使小球沿斜面缓慢向上移动一小段距离，斜面体始终静止．移动过程中 ( )
A．细线对小球的拉力变大
B．斜面对小球的支持力变大
C．斜面对地面的压力变大
D．地面对斜面体的摩擦力变小
AD [设物体和斜面体的质量分别为m和M，细线与斜面的夹角为θ.取球研究：小球受到重力mg、斜面的支持力N和细线的拉力T，则由平衡条件得
斜面方向：mgsin α＝Tcos θ①
垂直斜面方向：N＋Tsin θ＝mgcos α②
使小球沿斜面缓慢移动时，θ增大，其他量不变，由①式知，T增大．由②知，N变小，故A正确，B错误．对斜面体受力分析：受重力Mg、地面的支持力N1和摩擦力f、小球的压力N′，如图所示，由平衡条件得f＝N′sin α，N′变小，则f变小；N1＝Mg＋N′cos α，N′变小，则N1变小，由牛顿第三定律得知，斜面体对地面的压力也变小．故C错误，D正确．]
12．如图所示，两个倾角相同的滑杆上分别套有A、B两个质量均为m的圆环，两个圆环上分别用细线悬吊两个质量均为M的小球C、D，当它们都沿滑杆向下滑动并保持相对静止时，A的悬线与杆垂直，B的悬线竖直向下．下列结论正确的是 ( )
A．A环受滑杆的作用力大小为(m＋M)gcos θ
B．B环受到的摩擦力f＝mgsin θ
C．C球的加速度a＝gsin θ
D．D球受悬线的拉力T＝Mg
ACD [C球受力，如图甲所示，显然C球的加速度不为0，又A、C保持相对静止，则两者具有相同的加速度，即大小相等，方向沿斜面向下，由牛顿第二定律得Mgsin θ＝Ma①
细线拉力为
T＝Mgcos θ②
A环受力如图乙所示，
根据牛顿第二定律，有mgsin θ－f＝ma③
N＝T′＋mgcos θ④
甲 乙 丙
由①②③④解得
a＝gsin θ，f＝0，N＝(M＋m)gcos θ，故A、C正确；D球受重力和拉力，不可能产生沿斜面向下的加速度，故B环和D球都做匀速运动，细线拉力等于Mg，故D正确；B环受力如图丙，根据平衡条件有
f′＝(M＋m)gsin θ
N′＝(M＋m)cos θ，故B错误．]
二、非选择题(本题共4小题，共52分)
13．(10分)如图所示，质量M＝2 kg的木块套在水平杆上，并用轻绳与质量m＝ kg的小球相连．今用跟水平方向成α＝30°的力F＝10 N拉着球带动木块一起向右匀速运动，运动中M、m相对位置保持不变，取g＝10 m/s2，求木块与水平杆间的动摩擦因数μ.
[解析] 以木块和小球组成的整体为研究对象，分析受力情况，如图所示．由平衡条件得
Fcos 30°＝f
N＋Fsin 30°＝(M＋m)g
又f＝μN
得到μ＝
代入数据解得μ＝.
[答案]
14．(12分)如图所示，BC是一轻杆，可绕C点转动，AB是一连接在墙壁和杆上的轻绳，在杆的B点悬挂一个定滑轮，某人用它匀速地提起重物，重物质量为30 kg，人的质量为50 kg，求：
(1)此时人对地面的压力是多大？
(2)杆BC、水平绳AB所受的力各是多大？(轻绳和滑轮的质量、轻绳和滑轮的摩擦及杆的重力忽略不计，g取10 m/s2)
[解析] (1)人受到重力G、绳子的拉力T和地面的支持力N作用，由平衡条件得N＝G－T＝50×10 N－30×10 N＝200 N
据牛顿第三定律，地面对人的支持力大小等于人对地面
的压力大小，则人对地面的压力为200 N.
(2)杆BC受力FBC＝＝ N＝1 200 N
水平绳AB所受的拉力FAB＝2Tcot 30°＝600 N.
[答案] (1)200 N (2)1 200 N 600 N
15．(14分)一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A和B(中央有孔)，A、B间由轻细绳连接着，它们处于如图所示位置时恰好都能保持静止状态．此情况下，B球与环中心O处于同一水平面上，A、B间的细绳呈伸直状态，与水平线成30°夹角．已知B球的质量为m，求：
(1)细绳对B球的拉力；
(2)A球的质量．
[解析] (1)对B球，受力分析如图所示．设细绳的弹力为T，
则Tsin 30°＝mg，得T＝2mg.
(2)对A球，受力分析如图所示．
在水平方向：Tcos 30°＝NAsin 30°
在竖直方向：NAcos 30°＝mAg＋Tsin 30°
由以上方程解得mA＝2m.
[答案] (1)2mg (2)2m
16．(16分)如图所示，质量为m的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F的水平向右恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角α0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行．试求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)临界角α0.
[解析] (1)“恰能匀速下滑”，满足平衡条件
mgsin 30°＝μmgcos 30°
解得μ＝＝.
(2)设斜面倾角为α，受力情况如图所示，
由平衡条件得
Fcos α＝mgsin α＋f
N＝mgcos α＋Fsin α
f＝μN
F＝
当cos α－μsin α＝0，即cot α＝μ时，F→∞，即“不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”，此时，α＝60°，即临界角α0的大小为60°.
[答案] (1) (2)60°
