5.匀变速直线运动速度与时间的关系
学 习 目 标
知 识 脉 络(教师用书独具)
1.知道什么是匀变速直线运动．
2．知道匀变速直线运动的v-t图像特点．理解图像的物理意义．(重点)
3．理解匀变速直线运动的速度与时间的关系式vt＝v0＋at，会用vt＝v0＋at进行相关的计算．(重点、难点)
一、匀变速直线运动
1．匀变速直线运动
(1)定义：速度随时间均匀变化即加速度恒定的运动．
(2)特点
①任意相等时间内Δv相等，速度均匀变化；
②加速度大小、方向都不变化(填“变化”“不变化”)．
(3)分类：
①匀加速直线运动：速度随时间均匀增加的匀变速直线运动．
②匀减速直线运动：速度随时间均匀减小的匀变速直线运动．
2．速度与时间的关系
(1)速度公式：vt＝v0＋at.
(2)对公式的解释：做匀变速直线运动的物体，在t时刻的速度vt，就等于物体在开始时刻的速度v0再加上在整个过程中速度的变化量at.
二、匀变速直线运动的v-t图像
1．匀变速直线运动的v-t图像
公式vt＝v0＋at表示了匀变速直线运动速度vt是时间t的一次函数，对应的v-t图像是一条倾斜直线(或“斜线”)．
2．斜率的含义
v-t图像的斜率表示加速度的大小和方向．
(1)匀加速直线运动：Δv>0，a＝>0，a与v0同向(填“同向”或“反向”)，如图所示．
(2)匀减速直线运动：Δv<0，a＝<0，a与v0反向(填“同向”或“反向”)，如图所示．
1．思考判断
(1)加速度大小不变的运动就是匀变速直线运动．(×)
(2)匀变速直线运动就是速度均匀变化的直线运动．(√)
(3)在匀变速直线运动中，由公式vt＝v0＋at可知，初速度相同，加速度a越大，则v越大．(×)
(4)匀变速直线运动的v-t图像是一条倾斜直线．(√)
(5)v-t图像的斜率为负值时，物体一定做匀减速直线运动．(×)
2．一质点做直线运动，速度vt＝5＋0.3t(m/s)，则质点的初速度为________m/s，加速度为________m/s2,3 s末的速度为________m/s.
[答案] 5 0.3 5.9
对速度与时间关系式的理解
1．公式的矢量性
(1)公式中的v0、vt、a均为矢量，应用公式解题时，首先要规定正方向，一般取v0的方向为正方向，a、vt与v0的方向相同时取正值，与v0的方向相反时取负值．计算时将各量的数值和正负号一并代入计算．
(2)a与v0同向时物体做匀加速直线运动，a与v0方向相反时，物体做匀减速直线运动．
2．公式的适用条件
公式vt＝v0＋at只适用于匀变速直线运动．
3．公式的特殊形式
(1)当a＝0时，vt＝v0(匀速直线运动)．
(2)当v0＝0时，vt＝at(由静止开始的匀加速直线运动)．
4．速度公式vt＝v0＋at与加速度定义式a＝的比较
速度公式vt＝v0＋at虽然是加速度定义式a＝的变形，但两式的适用条件是不同的：
(1)vt＝v0＋at仅适用于匀变速直线运动；
(2)a＝可适用于任意的运动，包括直线运动和曲线运动．
1．在某汽车4S店，一顾客正在测试汽车加速、减速性能．汽车以36 km/h的速度匀速行驶，现以0.6 m/s2的加速度加速，则10 s后速度能达到多少？若汽车以0.6 m/s2的加速度刹车，则10 s和20 s后速度各为多少？
[解析] 初速度v0＝36 km/h＝10 m/s，
加速度a1＝0.6 m/s2，a2＝－0.6 m/s2.
由速度公式得
v1＝v0＋a1t1＝10 m/s＋0.6×10 m/s＝16 m/s，
开始刹车10 s后汽车的速度
v2＝v0＋a2t2＝10 m/s－0.6×10 m/s＝4 m/s，
开始刹车至汽车停下所需时间
t3＝＝ s＝16.7 s<20 s.
故刹车20 s后汽车早已停止运动，所以车速为0.
[答案] 16 m/s 4 m/s 0
2．一物体从静止开始以2 m/s2的加速度做匀加速直线运动，经5 s后做匀速直线运动，最后2 s的时间内物体做匀减速直线运动直至静止．求：
(1)物体做匀速直线运动的速度的大小；
(2)物体做匀减速直线运动时的加速度．
[解析] 解题关键是画出如下的示意图：
设图中A→B做匀加速直线运动，B→C做匀速直线运动，C→D做匀减速直线运动，匀速运动的速度为AB段的末速度，也为CD段的初速度．
(1)由速度与时间的关系式得
vB＝a1t1＝2×5 m/s＝10 m/s
vC＝vB＝10 m/s
即做匀速直线运动的速度为10 m/s
(2)由vD＝vC＋a2t2得
a2＝＝ m/s2＝－5 m/s2.
负号表示加速度方向与运动方向相反．
[答案] (1)10 m/s (2)－5 m/s2，加速度方向与运动方向相反
匀变速直线运动的v-t图像的理解与应用
1．匀速直线运动的v-t图像
如图甲所示，由于匀速直线运动的速度不随时间改变，因而v-t图线是一条平行于时间轴的直线．从图像中可以直接读出速度的大小和方向．
甲 乙
2．匀变速直线运动的v-t图像
(1)如图乙所示，匀变速直线运动的v-t图像是一条倾斜的直线，直线a反映速度随时间是均匀增加的，为匀加速直线运动的图像；直线b反映速度随时间是均匀减小的，为匀减速直线运动的图像．
(2)若物体做匀减速直线运动，加速度为a，当速度减为零之后，又会反向做匀加速直线运动，如果加速度不变，则整个运动过程也是匀变速直线运动，如图乙中的c所示．
3．非匀变速直线运动的v-t图像
非匀变速直线运动的v-t图像是一条曲线，如图所示．
甲 乙
甲图中，在相等的时间Δt内Δv2>Δv1，加速度增大；乙图中，在相等的时间Δt内Δv2<Δv1，加速度减小．即v-t图像为曲线时，物体的加速度是变化的，曲线上某点的切线斜率等于该时刻物体的加速度．
4．v-t图像的应用
通过v-t图像，可以明确以下信息：
图线上某点的纵坐标
正负号
表示瞬时速度的方向
绝对值
表示瞬时速度的大小
图线的斜率
正负号
表示加速度的方向
绝对值
表示加速度的大小
图线与坐标
轴的交点
纵截距
表示初速度
横截距
表示开始运动或速度为零的时刻
图线的拐点
表示运动性质、加速度改变的时刻
两图线的交点
表示速度相等的时刻
图线与横轴所围图形的面积
表示位移，面积在横轴上方位移为正值，在横轴下方位移为负值
特别提醒：(1)v-t图像只能描述直线运动，不能描述曲线运动．
(2)v-t图像描述的是物体的速度随时间的运动规律，并不表示物体的运动轨迹．
【例1】 如图所示，是A、B两物体做匀变速直线运动的速度—时间图像．问：
(1)A、B各做什么运动？其加速度是多少？
(2)两图线的交点有什么意义？
(3)1 s末A、B的速度各是多少？
(4)5 s末A、B的速度各是多少？
思路点拨：v-t图线
[解析] (1)A物体沿规定的正方向做匀加速直线运动，加速度大小a1＝＝ m/s2＝1 m/s2，方向与规定的正方向相同；B物体前4 s沿规定的正方向做匀减速直线运动，4 s后沿反方向做匀加速直线运动，其加速度a2＝＝ m/s2＝－2 m/s2，负号表示方向与规定的正方向相反．
(2)图像交点表示二者的速度相等．
(3)1 s末vA＝v0＋a1t1＝(2＋1×1)m/s＝3 m/s，vB＝v0′＋a2t1＝(8－2×1)m/s＝6 m/s，方向都与规定的正方向相同．
(4)5 s末vA′＝v0＋a1t2＝(2＋1×5)m/s＝7 m/s，vB＝v0′＋a2t2＝(8－2×5)m/s＝－2 m/s，A的方向与规定的正方向相同，B的方向与初速度方向相反．
[答案] 见解析
v-t图像问题的解题技巧
(1)加速度是否变化看有无拐点：在拐点位置，图线的斜率改变，表示此时刻物体的加速度改变．v-t图像为曲线，可认为曲线上处处是拐点，加速度时刻在改变．
(2)速度方向是否改变看与时间轴有无交点：在与时间轴的交点位置，纵坐标的符号改变，表示物体的速度方向改变．
3．(多选)如图所示是质点做直线运动的v-t图像，则有 ( )
A．在前6 s内物体做匀变速直线运动
B．在2～4 s内质点做匀变速直线运动
C．4 s末质点的速度大小是4 m/s，方向与规定的正方向相反
D．3～4 s内与4～6 s内质点的速度方向相反
BC [质点在0～6 s内速度方向改变，加速度没有保持恒定不变，故整个6 s内质点不是做匀变速直线运动，A错误．质点在2～4 s内，速度图线的斜率不变，即加速度不变，质点做匀变速直线运动，B正确．根据图像可知4 s末质点的速度是－4 m/s，即大小是4 m/s，方向与规定的正方向相反，C正确．质点在3～4 s内和4～6 s内速度均为负值，表明在这两段时间内质点的速度方向相同，都与规定的正方向相反，D错误．]
1．下列关于匀变速直线运动的说法中，正确的是 ( )
A．匀变速直线运动是运动快慢相同的运动
B．匀变速直线运动是速度变化量相同的运动
C．匀变速直线运动的速度一直在增加
D．匀变速直线运动就是速度变化快慢相同的运动
D [匀变速直线运动是速度变化快慢相同的运动，即在相同时间内速度变化量相等的运动，若时间不相同，则速度的变化量不同，因此A、B错误，D正确．匀变速直线运动分为匀加速直线运动和匀减速直线运动，只有加速度方向与速度方向相同时，才做加速运动，C错误．]
2．下列选项中的四个图像表示物体做匀加速直线运动的是 ( )
A [若速度大小随时间的增加而均匀增大，则物体做匀加速直线运动，速度的正负不表示速度是否增加，A正确．]
3．一辆匀加速行驶的汽车，经过路旁两根电线杆共用5 s时间，汽车的加速度为2 m/s2，它经过第2根电线杆时的速度为15 m/s，则汽车经过第1根电线杆的速度为 ( )
A．2 m/s B．10 m/s
C．2.5 m/s D．5 m/s
D [由题意知vt＝15 m/s，a＝2 m/s2，t＝5 s，根据vt＝v0＋at得，v0＝vt－at＝15 m/s－2×5 m/s＝5 m/s，故选D.]
4．(多选)甲、乙、丙是三个在同一直线上运动的物体，它们运动的v-t图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．丙与甲的运动方向相反
B．丙与乙的运动方向相同
C．乙的加速度的大小大于甲的加速度的大小
D．丙的加速度的大小小于乙的加速度的大小
BC [甲、乙、丙三个物体的速度均为正值，运动方向相同，选项A错误，B正确．根据速度图像斜率的绝对值表示加速度的大小，乙的加速度的大小大于甲的加速度的大小，丙的加速度的大小大于乙的加速度的大小，选项C正确，D错误．]
5．在平直公路上，一辆汽车以108 km/h的速度行驶，司机发现前方有危险立即刹车，刹车时加速度大小为6 m/s2，求：
(1)刹车后3 s末汽车的速度大小；
(2)刹车后6 s末汽车的速度大小．
[解析] v0＝108 km/h＝30 m/s，规定v0的方向为正方向，则a＝－6 m/s2，汽车刹车所用的总时间t0＝＝ s＝5 s.
(1)t1＝3 s时的速度v1＝v0＋at＝30 m/s－6×3 m/s＝12 m/s.
(2)由于t0＝5 s＜t2＝6 s，故6 s末时汽车已停止，
即v2＝0.
[答案] (1)12 m/s (2)0
课件42张PPT。第一章 运动的描述5.匀变速直线运动速度与时间的关系点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(五) 匀变速直线运动速度与时间的关系
(时间：40分钟 分值：100分)
[合格基础练]
一、选择题(本题共6小题，每小题6分)
1．高速列车从静止开始做匀加速直线运动，20 s末的速度是30 m/s，列车加速度的大小是 ( )
A．1.5 m/s2 B．2 m/s2
C．3 m/s2 D．6 m/s2
A [由vt＝v0＋at可得，a＝ m/s2＝1.5 m/s2.故选A.]
2．对于匀变速直线运动的速度与时间关系式vt＝v0＋at，以下理解正确的是 ( )
A．v0是时间t开始的速度，vt是时间t内的平均速度
B．vt一定大于v0
C．at是速度的变化量
D．a与匀变速直线运动的v-t图像的倾斜程度无关
C [v0、vt都是瞬时速度，at是速度的变化量，A错，C对；在匀加速直线运动中vt>v0，在匀减速直线运动中vt3．某物体沿直线运动，其v-t图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．第1 s内和第2 s内物体的速度方向相反
B．第1 s内和第2 s内物体的加速度方向相反
C．第3 s内物体的速度方向和加速度方向相反
D．第2 s末物体的加速度为零
B [第1 s内、第2 s内纵坐标为正，速度均为正向，A错误；根据斜率的正、负，第1 s内加速度为正向，第2 s内加速度为负向，B正确；第3 s内速度为负向，加速度为负向，C错误；第2 s末物体的加速度为－2 m/s2，D错误．]
4．一个做匀变速直线运动的质点的v-t图像如图所示，由图线可知其速度与时间的关系为 ( )
A．vt＝(4＋2t) m/s
B．vt＝(－4＋2t) m/s
C．vt＝(－4－2t) m/s
D．vt＝(4－2t) m/s
B [由图像知v0＝－4 m/s；据a＝知a＝ m/s2＝2 m/s2故其速度与时间的关系为vt＝(－4＋2t) m/s，选项B正确．]
5．(多选)物体沿水平直线运动，从A点开始计时，取向右的方向为运动的正方向，其v-t图像如图所示，则物体在最初的4 s内( )
A．前2 s内物体做匀减速直线运动
B．前2 s内物体向左运动，后2 s内物体向右运动
C．t＝2 s时刻，物体与A点距离最远
D．t＝4 s时刻，物体与A点距离最远
ABC [由题图可知，物体前2 s内向左做匀减速直线运动，后2 s内向右做匀加速直线运动，2 s末物体与A点距离最远，故A、B、C正确，D错误．]
6．一辆汽车在平直的公路上从静止开始运动，先后经历匀加速、匀速、匀减速直线运动，最后停止．从汽车启动开始计时，下表记录了汽车某些时刻的瞬时速度，根据数据可判断出汽车运动的v-t图像是 ( )
时刻/s
1.0
2.0
3.0
5.0
7.0
9.5
10.5
速度/ (m/s)
3.0
6.0
9.0
12
12
9.0
3.0
C [匀加速运动过程中，加速度为a1＝＝ m/s2＝3 m/s2，匀加速运动的末速度等于匀速运动的速度，由表格读出末速度大小为v＝12 m/s，则此过程经历时间为t1＝＝ s＝4 s；匀减速运动过程中，加速度为a2＝＝ m/s2＝－6 m/s2，匀减速运动的初速度等于匀速运动的速度，初速度大小为v＝12 m/s，则此过程经历时间为t2＝＝ s＝2 s；故C正确．]
二、非选择题(14分)
7．一辆车由静止开始做匀加速直线运动，在第8 s末开始刹车，经4 s停下来，汽车刹车过程也在做匀变速直线运动，那么前后两段加速度的大小之比是多少？
[解析] 设加速阶段加速度为a1，减速阶段加速度大小为a2，由题意知：加速阶段：v＝a1t1＝8a1①
减速阶段：0＝v－a2t2即v＝4a2②
联立①②得：＝.
[答案] 1∶2
[等级过关练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分)
1．(多选)跳伞运动员做低空跳伞表演，当飞机在离地某一足够高的高度静止时，运动员离开飞机下落，运动一段时间后打开降落伞，展伞后运动员以大小为4 m/s2的加速度匀减速下降，直至安全着地．则运动员打开降落伞运动1 s后至着地前的任1 s内 ( )
A．运动员的末速度比前1 s的末速度小4 m/s
B．运动员的末速度比前1 s的末速度小8 m/s
C．运动员的末速度比前1 s的初速度小4 m/s
D．运动员的末速度比前1 s的初速度小8 m/s
AD [根据匀变速直线运动的速度公式vt＝v0＋at知运动员在任1 s的末速度比前1 s的末速度小4 m/s，比前1 s的初速度小8 m/s.]
2．一辆以12 m/s的速度沿平直公路行驶的汽车，因发现前方有险情而紧急刹车，刹车后获得大小为4 m/s2的加速度，汽车刹车后5 s末的速度为 ( )
A．8 m/s B．－8 m/s
C．0 D．32 m/s
C [汽车匀减速减到停止的时间t＝＝ s＝3 s<5 s，故5 s末速度为0，C正确．]
3．如图是某物体做直线运动的v-t图像，由图像可知 ( )
A．物体在0～2 s内做匀速直线运动
B．物体在2～8 s内静止
C．物体在4 s末的速度为10 m/s
D．物体在6 s末的速度为12 m/s
D [物体在0～2 s内速度随时间均匀增大，做匀加速直线运动，故A错误．物体在2～8 s内速度随时间不变，做匀速直线运动，故B错误．从图像知，物体在4 s末和6 s末的速度都为12 m/s，故C错误，D正确．]
4．一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a-t图像如图所示．下列v-t图像中，可能正确描述此物体运动的是 ( )
D [解答本题的突破口是T～2T时间内的加速度跟0～时间内的加速度大小相等，方向相反，从而排除选项A、B、C，本题选D.]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(13分)如图所示，小球以v0＝6 m/s的速度从中间滑上光滑且足够长的斜面，已知小球在斜面上运动时的加速度大小为2 m/s2，问小球速度大小为3 m/s时需
多少时间．(小球在光滑斜面上运动时，加速度大小、方向不变)
[解析] 小球先减速上升到最高点后再反向匀加速直线运动，整个过程是一个匀变速直线运动．
规定沿斜面向上的方向为正，a＝－2 m/s2.
若上升阶段速度变为3 m/s时，v1＝v0＋at1，取v1＝3 m/s，得t1＝1.5 s；
若下滑阶段速度为3 m/s时，v2＝v0＋at2，取v2＝－3 m/s，得t2＝4.5 s.
[答案] 1.5 s或4.5 s
6．(13分)发射卫星一般应用多级火箭，第一级火箭点火后，使卫星向上匀加速直线运动的加速度为50 m/s2，燃烧30 s后第一级脱离；第二级火箭没有马上点火，所以卫星向上做加速度大小为10 m/s2的匀减速直线运动，10 s后第二级火箭启动，卫星向上匀加速直线运动的加速度为80 m/s2，这样再经过1分半钟第二级火箭脱离时，卫星的速度多大？
[解析] 整个过程中卫星的运动可以分为三个匀变速直线运动处理．
第一级火箭脱离时卫星的速度v1＝a1t1＝50×30 m/s＝1 500 m/s，减速上升10 s后的速度v2＝v1－a2t2＝1 500 m/s－10×10 m/s＝1 400 m/s，第二级火箭脱离时卫星的速度v3＝v2＋a3t3＝1 400 m/s＋80×90 m/s＝8 600 m/s.
[答案] 8 600 m/s
