6.匀变速直线运动位移与时间的关系
学 习 目 标
知 识 脉 络(教师用书独具)
1.知道匀变速直线运动的位移与v-t图像中梯形面积的对应关系．
2．知道位移公式的推导方法，感受利用极限思想解决物理问题的科学思维方法．(重点)
3．理解什么是x-t图像，能应用x-t图像分析物体的运动．(重点)
4．掌握匀变速直线运动的位移与时间的关系式，并能利用该公式解答实际问题．(重点、难点)
一、匀变速直线运动的位移
1．利用匀变速直线运动v-t图像求位移大小
图线与横轴t所围面积的数值，等于物体在该段时间内的位移．
如图所示，画斜线部分表示时间t内的位移．
2．公式：x＝v0t＋at2.
二、位移—时间图像
1．定义
以时间为横坐标，以位移为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图像．
2．图像意义
匀速直线运动的x-t图像为一条倾斜直线，静止物体的x-t图像为一条平行于t轴的直线．如图所示，A、B表示物体做匀速运动，C表示物体处于静止状态．
1．思考判断
(1)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀变速直线运动．(√)
(2)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大．(×)
(3)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关．(√)
(4)由x-t图像能得出对应时刻物体所在的位置．(√)
(5)x-t图像中的图线就是物体的实际运动轨迹．(×)
2．某质点的位移随时间的变化关系是x＝(4t＋4t2) m，则质点的初速度是v0＝________ m/s，加速度a＝________ m/s2,2 s内的位移为________ m.
[答案] 4 8 24
匀变速直线运动的位移—时间关系式
1．公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动．
2．公式的矢量性：x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向．一般选v0的方向为正方向．
(1)a：匀加速直线运动中，a与v0同向，a取正值；匀减速直线运动中，a与v0反向，a取负值．
(2)若位移的计算结果为正值，说明位移方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移方向与规定的正方向相反．
3．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动，位移x与t2成正比．
(2)当a＝0时，x＝v0t，即匀速直线运动的位移公式．
【例1】 一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离．
思路点拨：①由vt＝v0＋at判断滑行的时间．②由x＝v0t＋at2求x.
[解析] 汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5 m/s2；汽车运动的总时间t＝＝＝4 s.
(1)因为t1＝2 s故x1＝v0t1＋at＝(20×2－×5×22) m＝30 m.
(2)因为t2＝5 s>t，所以汽车5 s时已停止运动
故x2＝v0t＋at2＝(20×4－×5×42) m＝40 m.
[答案] (1)30 m (2)40 m
处理刹车类问题的思路
(1)先确定刹车时间，若车辆从刹车到速度减到零所用的时间为T，则刹车时间为T＝.
(2)将题中所给出的已知时间t与T比较，若Tt，则在利用以上公式进行计算时，公式中的时间应为t.
1．物体做匀减速直线运动，初速度为10 m/s，加速度大小为1 m/s2，则物体在停止运动前1 s内的平均速度为 ( )
A．5.5 m/s B．5 m/s
C．1 m/s D．0.5 m/s
D [对于末速度为0的匀减速直线运动可采用逆向思维法处理，速度公式和位移公式变为v＝at、x＝at2.由题意知最后1 s内的位移x＝at2＝×1×12 m＝0.5 m；故物体停止运动前1 s内的平均速度＝＝＝0.5 m/s，选项D正确．]
位移—时间图像(x-t图像)
1．x-t图像：以时间为横坐标，以位移为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图像叫位移—时间图像．
2．x-t图像的意义
位移
大小
初、末位置的纵坐标差的绝对值
方向
末位置与初位置的纵坐标差的正负，表示方向，正值表示位移沿正方向，负值表示位移沿负方向
速度
大小
斜率的绝对值
方向
斜率为正值时，速度方向沿正方向，斜率为负值时，速度方向沿负方向
运动开始位置
图线起点纵坐标
运动开始时刻
图线起点横坐标
两图线交点的含义
表示两物体在同一位置(相遇)
3.几种常见的位移—时间图像
(1)静止物体的x-t图像是平行于时间轴的直线，如图直线A.
(2)匀速直线运动的x-t图像是一条倾斜的直线，如图直线B和C，其斜率表示速度．其中B沿正方向运动，C沿负方向运动．
(3)匀变速直线运动的x-t图像：由位移x＝v0t＋at2可以看出，x是t的二次函数．当v0＝0时，匀变速直线运动的x-t图像是顶点在坐标原点的一部分曲线，曲线上某点切线的斜率表示那一时刻的速度，图中切线斜率增大，质点的速度逐渐增大．
【例2】 如图甲所示是一个物体沿直线运动的x-t图像．求：
甲 乙
(1)第5秒末的速度大小；
(2)0～60秒内的总路程；
(3)在v-t坐标中作出0～60 s内物体的速度—时间图像．
思路点拨：①0～10 s内物体向正方向做匀速直线运动．②10～40 s内物体静止．③40～60 s内物体向负方向做匀速直线运动．
[解析] (1)0～10 s内匀速运动的速度v1＝＝＝2 m/s，即第5秒末的速度大小为2 m/s.
(2)0～10 s内的路程d1＝20 m
10～40 s内的路程d2＝0
40～60 s内的路程d3＝20 m
所以0～60 s内的路程d＝d1＋d2＋d3＝40 m.
(3)0～10 s内速度v1＝2 m/s
10～40 s内速度为0
40～60 s内速度v2＝＝＝－1 m/s，方向与原速度方向相反，
速度—时间图像如图所示．
[答案] 见解析
分析图像问题要注意
(1)分析图像问题时首先注意坐标轴所对应的物理量，确定是x-t图像还是v-t图像．
(2)不同图像对应斜率的含义不同，x-t图像的斜率表示物体速度的大小和方向，而v-t图像的斜率表示物体加速度的大小和方向．
2．(多选)一遥控玩具小汽车在平直路面上运动的位移—时间图像如图所示，则下列说法错误的是( )
A．前15 s内汽车的位移为30 m
B．20 s末汽车的速度为－1 m/s
C．前10 s内汽车的加速度为3 m/s2
D．前25 s内汽车做单方向直线运动
CD [从图像上可以看出前15 s内汽车的位移为30 m，选项A正确；图像的斜率表示速度，故15～25 s内汽车反向做匀速直线运动，速度为v＝ m/s＝－1 m/s，选项B正确；前10 s内汽车做匀速直线运动，加速度为零，10～15 s内汽车静止，15～25 s内汽车做反向匀速直线运动，选项C、D错误．]
1．根据匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2，关于做匀加速直线运动的物体在t秒内的位移，下列说法正确的是 ( )
A．加速度大的物体位移大
B．初速度大的物体位移大
C．末速度大的物体位移大
D．以上说法都不对
D [由x＝v0t＋at2知，x的大小与初速度、加速度、时间都有关，t一定时，x与两个量有关，不能简单地说初速度大或加速度大，位移一定大，A、B、C均错，D对．]
2．下列图像均能正确反映物体在直线上的运动，在t＝2 s内物体位移最大的是 ( )
B [选项A、C、D中2 s内位移均为0，选项B一直向正方向运动，B正确．]
3．(多选)如图所示为在同一直线上运动的A、B两质点的x-t图像，由图可知 ( )
A．t＝0时，A在B的前面
B．B在t2时刻追上A，并在此后运动到A的前面
C．B开始运动的速度比A的小，t2时刻后才大于A的速度
D．A运动的速度始终比B的大
AB [t＝0时，A在原点正方向x1位置处，B在原点处，A在B的前面，A对．t2时刻两图线相交，表示该时刻B追上A，并在此后运动到A的前面，B对．B开始运动的速度比A的小，t1时刻后A静止，B仍然运动，C、D错．]
4．汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5 m/s2，那么开始刹车后2 s内与开始刹车后6 s内汽车通过的位移之比为( )
A．1∶1 B．1∶3
C．3∶4 D．4∶3
C [汽车从刹车到静止用时：t刹＝＝ s＝4 s，
故刹车后2 s内汽车的位移：x1＝v0t－at2＝20×2 m－×5×22 m＝30 m
刹车后6 s内汽车的位移：x2＝v0t刹－at＝20×4 m－×5×42 m＝40 m，故x1∶x2＝3∶4，故A、B、D错误，C正确．]
5．一物体做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝2 m/s2，求：
(1)第5 s末物体的速度多大？
(2)前4 s的位移多大？
(3)第4 s内的位移多大？
[解析] (1)第5 s末物体的速度由
v1＝v0＋at1
得v1＝0＋2×5 m/s＝10 m/s.
(2)前4 s的位移由x1＝v0t＋at2
得x1＝0＋×2×42 m＝16 m.
(3)物体第3 s末的速度v2＝v0＋at2＝0＋2×3 m/s＝6 m/s
则第4 s内的位移x2＝v2t3＋at＝6×1 m＋×2×12 m＝7 m.
[答案] (1)10 m/s (2)16 m (3)7 m
课件40张PPT。第一章 运动的描述6.匀变速直线运动位移与时间的关系点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(六) 匀变速直线运动位移与时间的关系
(时间：40分钟 分值：100分)
[合格基础练]
一、选择题(本题共6小题，每小题6分)
1．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s末的速度达到4 m/s，物体在第2 s内的位移是 ( )
A．6 m B．8 m C．4 m D．1.6 m
A [设加速度为a，由v＝at得a＝＝＝4 m/s2，则第2 s内的位移x＝v0t＋at2＝ m＝6 m，选项A正确．]
2．下列位移—时间图像中，均表示物体做直线运动，其中表示物体做匀速直线运动的速度为2 m/s的图像是( )
B [由于x-t图像的斜率等于速度，则由图像可得出vA＝ m/s＝ m/s，vB＝ m/s＝2 m/s，vC＝－ m/s＝－2 m/s，D物体做变速运动，由此可得出，B正确，A、C、D均错误．]
3．一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为x，则它从出发开始经过4x的位移所用的时间为( )
A. B. C．2t D．4t
C [由题意知x＝at2，设经过4x位移用时为t′则4x＝at′2，联立两个式子可得t′＝2t，故选项C正确．]
4．汽车以20 m/s的速度做匀速运动，某时刻关闭发动机而做匀减速运动，加速度大小为5 m/s2，则它关闭发动机后通过37.5 m所需时间为 ( )
A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s
A [由x＝v0t＋at2得37.5＝20t－×5×t2解得t1＝3 s或t2＝5 s，而刹车时间为t＝＝ s＝4 s，故t2＝5 s不对，选项A正确．]
5．(多选)a、b、c三个质点在一条直线上运动，它们的位移—时间图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．在0～t3时间内，三个质点位移相同
B．在0～t3时间内，质点c的路程比质点b的路程大
C．质点a在t2时刻改变运动方向，质点c在t1时刻改变运动方向
D．在t2～t3这段时间内，三个质点运动方向相同
ABC [从x-t图像可知，0～t3时间内，三个质点位移大小与方向均相同，选项A正确；0～t3时间内，质点c的路程比质点b的路程大，选项B正确；质点a在t2时刻改变运动方向，质点c在t1时刻改变运动方向，选项C正确；在t2～t3时间内，质点b、c运动方向相同，向正方向运动，质点a向负方向运动，故选项D错误．]
6．(多选)由静止开始做匀加速直线运动的火车，在第10 s末的速度为2 m/s，下列叙述中正确的是 ( )
A．前10 s内通过的位移为10 m
B．每秒速度变化0.2 m/s
C．10 s内平均速度为1 m/s
D．第10 s内的位移为2 m
ABC [由vt＝at，得a＝0.2 m/s2，故前10 s内的位移x＝at2＝×0.2×102 m＝10 m，选项A、B正确.10 s内平均速度＝＝ m/s＝1 m/s，选项C正确．t＝10 s时，x10＝at2－a(t－1)2＝1.9 m，选项D错误．]
二、非选择题(14分)
7．飞机着陆后做匀减速滑行，着陆时的初速度是216 km/h，在最初2 s内(未停下来)滑行114 m．求：
(1)5 s末的速度大小是多少？
(2)飞机着陆后12 s内滑行多远？
[解析] (1)最初2 s内：
x1＝v0t1＋at
解得：a＝－3 m/s2
5 s末的速度：v2＝v0＋at2＝45 m/s.
(2)着陆减速总时间：t＝＝20 s
飞机着陆后12 s内的位移：
x2＝v0t3＋at＝504 m.
[答案] (1)45 m/s (2)504 m
[等级过关练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分)
1．一滑块以某一速度从斜面底端滑到顶端时，其速度恰好减为零．已知运动中滑块加速度恒定．若设斜面全长为L，滑块通过最初L所需的时间为t，则滑块从斜面底端滑到顶端所用时间为( )
A.t B．(2＋)t
C．3t D．2t
B [利用“逆向思维法”把滑块的运动看成逆向的初速度为0的匀加速直线运动．
设前所需时间为t′，则＝at′2
全过程L＝a(t＋t′)2
解得t′＝(＋1)t
所以t总＝t′＋t＝(2＋)t，故B正确．]
2．A、B两质点从同一地点运动的x-t图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．A、B两质点在4 s末速度相等
B．前4 s内A、B之间距离先增大后减小，4 s末两质点相遇
C．前4 s内A质点的位移小于B质点的位移，后4 s内A质点的位移大于B质点的位移
D．A质点一直做匀速运动，B质点先加速后减速，8 s末回到出发点
B [x-t图像中，图线的斜率表示速度，4 s末二者的斜率不同，所以速度不同，故A错误；前4 s内A、B之间距离先增大后减小，4 s末两质点位置坐标相同，表示相遇，故B正确；前4 s内A质点的位移等于B质点的位移，后4 s内A质点的位移与B质点的位移大小相等，方向相反，故C错误；由图像斜率可知，A质点一直做匀速运动，B质点先减速后加速，8 s末回到出发点，故D错误．]
3．一质点的x-t图像如图所示，那么此质点的v-t图像可能是选项中的 ( )
A [x-t图像的切线斜率表示速度，由图像可知：0～时间内图像的斜率为正且越来越小，在时刻图像斜率为0，即物体正向速度越来越小，时刻减为零；从～t1时间内，斜率为负值，数值越来越大，即速度反向增大，故选项A正确．]
4．(多选)物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小为4 m/s,2 s后速度的大小变为10 m/s，在这2 s内该物体的 ( )
A．位移的大小一定是14 m
B．位移的大小可能是6 m
C．加速度的大小可能是3 m/s2
D．加速度的大小可能大于7 m/s2
BC [(1)取初速度方向为正方向，如果末速度与初速度同向，则加速度：
a＝＝ m/s2＝3 m/s2
位移：x＝ t＝×2 m＝14 m.
(2)取初速度方向为正方向，如果末速度与初速度反向，则加速度：
a＝＝ m/s2＝－7 m/s2
位移：x＝t＝×2 m＝－6 m
故位移大小为14 m或6 m，加速度大小为3 m/s2或7 m/s2
故A、D错误，B、C正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)在高速公路上，有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车．某段高速公路的最高车速限制为108 km/h.设某人驾车正以最高时速沿该高速公路匀速行驶，该车刹车时产生的加速度大小为5 m/s2，该人的反应时间(从意识到应该停车到操作刹车的时间)为0.5 s．计算行驶时的安全车距至少为多少？
[解析] 汽车原来的速度v0＝108 km/h＝30 m/s
运动过程如图所示
在反应时间t1＝0.5 s内，汽车做匀速直线运动的位移为x1＝v0t1＝30×0.5 m＝15 m
刹车后，汽车做匀减速直线运动，滑行时间为t2＝ s＝6 s
汽车刹车后滑行的位移为x2＝v0t2＋at＝30×6 m＋×(－5)×62 m＝90 m
所以行驶时的安全车距至少应为
x＝x1＋x2＝15 m＋90 m＝105 m.
[答案] 105 m
6．(14分)矿井里的升降机，由静止开始匀加速上升，经过5 s速度达到4 m/s后，又以这个速度匀速上升20 s，然后匀减速上升，经过4 s停止在井口．
(1)画出升降机运动的v-t图像．
(2)求矿井的深度．
[解析] (1)如图
(2)因为升降机从井底到井口的运动分为三个阶段：匀加速、匀速、匀减速
解法一：①匀加速上升阶段
a1＝＝0.8 m/s2
h1＝a1t＝×0.8×52 m＝10 m.
②匀速上升阶段h2＝vt2＝4×20 m＝80 m.
③匀减速上升阶段a3＝＝ m/s＝1 m/s2
h3＝a3t＝×1×42 m＝8 m
所以矿井深度h＝h1＋h2＋h3＝(10＋80＋8) m＝98 m.
解法二：本题如用平均速度来解就不用求a1、a3，而只要根据＝，x＝t就可求解．
①匀加速上升阶段h1＝1t1＝t1＝×5 m＝10 m.
②匀速上升阶段h2＝vt2＝4×20 m＝80 m.
③匀减速上升阶段h3＝3t3＝t3＝×4 m＝8 m.
所以矿井深度h＝h1＋h2＋h3＝(10＋80＋8) m＝98 m.
[答案] 98 m
