8.匀变速直线运动规律的应用
学 习 目 标
知 识 脉 络(教师用书独具)
1.了解匀变速直线运动的位移与速度的关系推导方法．
2．理解匀变速直线运动的位移与速度的关系. (重点)
3．掌握匀变速直线运动的位移、速度、加速度和时间之间的相互联系，会用公式解决匀变速直线运动的问题．(难点)
一、位移与速度的关系
1．公式：v－v＝2ax；若v0＝0则v＝2ax.
2．推导：速度公式vt＝v0＋at，位移公式x＝v0t＋at2
由以上两式可得：v－v＝2ax.
二、匀变速直线运动的几个推论
1．中间位置的瞬时速度
(1)公式：v＝.
(2)推导：在匀变速直线运动中，某段位移x的初、末速度分别是v0和vt，加速度为a，中间位置的速度为v，则根据速度与位移关系式，对前一半位移：v2－v＝2a·，对后一半位移v－v2＝2a·，即v2－v＝v－v2，所以v＝.
2．由静止开始的匀加速直线运动的几个重要比例关系
(1)T末，2T末，3T末，…，nT末瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)T内，2T内，3T内，…，nT内的位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内位移之比
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
(4)通过前x，前2x，前3x，…，前nx位移时的速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶.
(5)通过前x，前2x，前3x，…前nx位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶.
(6)通过连续相等的位移所用时间之比
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．
1．思考判断
(1)公式v－v＝2ax适用于所有的直线运动．(×)
(2)公式v－v＝2ax中的四个物理量都是矢量，各量的正、负表示与规定的正方向相同还是相反．(√)
(3)因为v－v＝2ax，则v＝v＋2ax，所以物体的末速度vt一定大于初速度v0.(×)
(4)只有初速度为零的匀加速直线运动，v> v的关系才是成立的. (×)
(5)对于末速度为零的匀减速直线运动，可以把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系进行求解．(√)
2．从静止开始做匀加速直线运动的物体，在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为( )
A．1∶3∶5 B．1∶4∶9
C．1∶2∶3 D．1∶∶
A [由于第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比x1∶x2∶x3＝1∶3∶5，而平均速度v＝，三段时间都是1 s，故三段时间的平均速度之比为1∶3∶5，故A正确．]
位移与速度的关系
1．对公式v－v＝2ax的理解
(1)适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动．
(2)公式的矢量性：公式中v0、vt、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向．
①物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值．
②x>0，说明物体位移的方向与初速度方向相同；x<0，说明物体位移的方向与初速度的方向相反．
2．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，v＝2ax.(初速度为零的匀加速度直线运动)．
(2)当vt＝0时，－v＝2ax.(末速度为零的匀减速直线运动)．
【例1】 我国多地出现了雾霾天气，给交通安全带来了很大的危害，某地雾霾天气中高速公路上的能见度只有72 m，要保证行驶前方突发紧急情况下汽车的安全，汽车行驶的速度不能太大．已知汽车刹车时的加速度大小为5 m/s2.
(1)若前方紧急情况出现的同时汽车开始制动，汽车行驶的速度不能超过多大？(结果可以带根号)
(2)若驾驶员从感知前方紧急情况到汽车开始制动的反应时间为0.6 s，汽车行驶的速度不能超过多大？
思路点拨：①该问题中减速过程中，已知量和未知量都不涉及时间，可用速度和位移的关系式求解．
②在驾驶员的反应时间内，汽车做匀速直线运动．
[解析] (1)汽车刹车的加速度a＝－5 m/s2，要在x＝72 m内停下，设行驶的速度不超过v1，
由运动学公式有：0－v＝2ax
代入题中数据可得：v1＝12 m/s.
(2)设汽车行驶的速度不超过v2，在驾驶员的反应时间t0内汽车做匀速运动的位移为x1，则
x1＝v2t0
刹车减速位移x2＝－
x＝x1＋x2
联立各式代入数据可得：v2＝24 m/s.
[答案] (1)12 m/s (2)24 m/s
运动学问题的一般求解思路
(1)弄清题意．建立一幅物体运动的图景，尽可能地画出草图，并在图中标明一些位置和物理量．
(2)弄清研究对象．明确哪些是已知量，哪些是未知量，据公式特点选用恰当公式．
(3)列方程、求解．必要时要检查计算结果是否与实际情况相符合．
1．美国“肯尼迪”号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统．已知“F－15”型战斗机在跑道上加速时，产生的最大加速度为5 m/s2，起飞的最小速度是50 m/s，弹射系统能够使飞机具有的最大速度为30 m/s，则：
(1)飞机起飞时在跑道上至少加速多长时间才能起飞？
(2)航空母舰的跑道至少应该多长？
[解析] (1)飞机在跑道上运动的过程中，当有最大初速度、最大加速度时，起飞所需时间最短，故有
t＝＝ s＝4 s
则飞机起飞时在跑道上的加速时间至少为4 s.
(2)由v－v＝2ax得
x＝＝ m＝160 m，即航空母舰的跑道至少为160 m.
[答案] (1)4 s (2)160 m
匀变速直线运动的几个推论
1．平均速度：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半．
推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为v.
由x＝v0t＋at2得，①
平均速度＝＝v0＋at②
由速度公式vt＝v0＋at知，
当t′＝时，v＝v0＋a③
由②③得＝v④
又vt＝v＋a⑤
联立以上各式解得v＝，所以＝v＝。
2．逐差相等：
在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2
推导：时间T内的位移x1＝v0T＋aT2①
在时间2T内的位移x2＝v0×2T＋a(2T)2②
则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③
由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2
此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度。
3．中间位置的速度与初末速度的关系
在匀变速直线运动中，某段位移x的初末速度分别是v0和vt，加速度为a，中间位置的速度为v，则根据速度与位移关系式，对前一半位移v2－v＝2a，对后一半位移v－v2＝2a，即v2－v＝v－v2，所以v＝.
4．几个导出公式及特点
(1)x＝t普遍适用于各种运动，而＝＝v只适用于匀变速直线运动，两者相结合可以轻松地求出中间时刻的瞬时速度或者初、末速度．
(2)xⅡ－xⅠ＝aT2适用于匀变速直线运动，进一步的推论有xm－xn＝(m－n)aT2(其中T为连续相等的时间间隔，xm为第m个时间间隔内的位移，xn为第n个时间间隔内的位移)．
(3)无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动均有v>v.
【例2】 (多选)如图所示，光滑斜面AE被分成四个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD＝DE，一物体从A点由静止释放，下列结论中正确的是 ( )
A．物体到达B、C、D、E点的速度之比为1∶2∶3∶4
B．物体到达各点经历的时间tE＝2tB＝tC＝tD
C．物体从A运动到E全过程的平均速度等于vB
D．物体通过每一部分时，其速度增量vB－vA＝vC－vB＝vD－vC＝vE－vD
思路点拨：①物体沿光滑斜面做初速度为零的匀加速直线运动．②从四段位移相等入手，利用对应的比例关系判断求解各物理量的关系．
BC [初速度为零的匀加速运动的推论：tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2，物体到达各点的速率之比为1∶∶∶2，又因为v＝at，故物体到达各点所经历的时间tE＝2tB＝tC＝tD，故A错误，B正确．物体从A运动到E的全过程平均速度等于中间时刻的瞬时速度，AB与BE的位移之比为1∶3，可知B点为AE段的中间时刻，则物体从A运动到E全过程的平均速度＝vB，故C正确．物体通过每一部分时，所用时间不同，故其速度增量不同，故D错误．]
解题时巧选公式的基本方法
(1)如果题目中无位移x，也不需求位移，一般选用速度公式v＝v0＋at.
(2)如果题目中无末速度v，也不需求末速度，一般选用位移公式x＝v0t＋at 2.
(3)如果题中无运动时间t，也不需要求运动时间，一般选用导出公式v2－v＝2ax.
(4)如果题目中没有加速度a，也不涉及加速度的问题，用＝＝计算比较方便．
(5)比例关系只适用于初速度为零的匀加速直线运动．如果物体的初速度不为零，比例关系是不成立的．但末速度为零的匀减速运动可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，所以也可应用比例关系求解，以使问题更简化．
2．完全相同的三木块并排固定在水平面上，一颗子弹以速度v水平射入，若子弹在木块中做匀减速直线运动，恰好射穿三块木块，则子弹依次在每块木块中运动的时间之比为( )
A．3∶2∶1 B.∶∶1
C．1∶∶ D．(－)∶(－1)∶1
D [由初速度为0的匀加速直线运动有x＝at2，由此可得当物体从起始位置开始运动至距起始位置x、2x、3x时(设从开始至上述三时刻的时间为t1、t2、t3)存在关系：x＝at、2x＝at、3x＝at，联立以上三式可得t1∶(t2－t1)∶(t3－t2)＝1∶(－1)∶(－)，题中子弹运动的过程可以看成是初速为0的匀加速运动的反向运动过程，由此可知D正确．]
1．做匀减速直线运动的物体经4 s后停止，若在第1 s内的位移是14 m，则最后1 s内的位移是 ( )
A．3.5 m B．2 m C．1 m D．0
B [物体做匀减速直线运动至停止，可以把这个过程看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7，所以由＝得，所求位移x1＝2 m．]
2．A、B、C三点在同一条直线上，一物体从A点由静止开始做匀加速直线运动，经过B点的速度是v，到C点的速度是3v，则xAB∶xBC等于 ( )
A．1∶8 B．1∶6 C．1∶5 D．1∶3
A [由公式v－v＝2ax，得v2＝2axAB，(3v)2＝2a(xAB＋xBC)，两式相比可得xAB∶xBC＝1∶8.]
3．一个从静止开始做匀加速直线运动的物体，从开始运动起，依次通过三段相邻位移的长度分别是1 m、8 m、27 m，则通过这三段位移的时间之比是 ( )
A．1∶3∶6 B．1∶2∶3
C．1∶2∶2 D．1∶9∶36
B [在初速度为零的匀加速直线运动中，经过相邻的相同的时间内通过的位移之比为1∶3∶5∶7…，因此经过1 s、2 s、3 s内通过的位移之比为1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)＝1∶8∶27，所以一个从静止开始做匀加速直线运动的物体，从开始运动起，依次通过三段相邻位移的长度分别是1 m、8 m、27 m，则通过这三段位移的时间之比是1∶2∶3.故B正确，A、C、D错误．]
4．一竖直的墙壁上AE被分成四个相等的部分，一物体由A点从静止释放做自由落体运动，如图所示，下列结论正确的是( )
A．物体到达各点的速率vB∶vC∶vD∶vE＝1∶2∶3∶4
B．物体通过每一部分时，其速度增量vB－vA＝vC－vB＝vD－vC＝vE－vD
C．物体从A到E的平均速度＝vB
D．物体从A到E的平均速度＝vC
C [物体做加速运动，物体通过每一部分时，所用时间逐渐减少，故速度增量逐渐减小，故A、B错误；根据自由落体运动的前两段相等时间内的位移比为1∶3.故下落到
B点时的时间为总时间的一半，由中间时刻的瞬时速度等于此段时间的平均速度可知，C正确，D错误．]
5．某喷气式飞机起飞滑行时，从静止开始做匀加速运动，加速度大小为4.0 m/s2，飞机速度达到80 m/s时离开地面升空．如果在飞机刚达到起飞速度时，突然接到命令停止起飞，飞行员立即使飞机紧急制动，飞机做匀减速运动，加速度的大小为5.0 m/s2.请你为该类型的飞机设计一条跑道，使在这种特殊的情况下飞机停止起飞而不滑出跑道．那么，设计的跑道至少要多长？
[解析] 由匀变速直线运动速度—位移关系式，可得飞机匀加速和匀减速阶段的位移分别为
x1＝＝ m＝800 m，x2＝＝ m＝640 m
所以，设计的跑道至少长
x＝x1＋x2＝800 m＋640 m＝1 440 m.
[答案] 1 440 m
