习题课1 匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式
(教师用书独具)
[学习目标] 1.掌握三个平均速度公式及其适用条件． 2.会应用平均速度公式求解相关问题． 3.会推导Δx＝aT2并会用它解决相关问题．
匀变速直线运动的平均速度公式
1．三个平均速度公式及适用条件
(1)＝，适用于所有运动．
(2)＝，适用于匀变速直线运动．
(3)＝v，即一段时间内的平均速度，等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，适用于匀变速直线运动．
2．对＝v＝的推导
设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为vt.
由x＝v0t＋at 2得，①
平均速度＝＝v0＋at.②
由速度公式vt＝v0＋at知，当t′＝时，
v＝v0＋a，③
由②③得＝v.④
又vt＝v＋a，⑤
由③④⑤解得v＝，所以＝v＝.
【例1】 从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车，共历时20 s，行进50 m，求其最大速度．
思路点拨：汽车先做初速度为零的匀加速直线运动，达到最大速度后，立即改做匀减速直线运动，中间的最大速度既是第一阶段的末速度，又是第二阶段的初速度．
[解析] 法一：(基本公式法)设最大速度为vmax，由题意得x＝x1＋x2＝a1t＋vmaxt2－a2t，
t＝t1＋t2，vmax＝a1t1,0＝vmax－a2t2，
解得vmax＝＝ m/s＝5 m/s.
法二：(平均速度法)由于汽车在前、后两阶段均做匀变速直线运动，故前、后两阶段的平均速度均为最大速度vmax的一半，即
＝＝
由x＝t得vmax＝＝5 m/s.
法三：(图像法)作出运动全过程的v-t图像如图所示，v-t图像与t轴围成的三角形的面积与位移等值，故x＝，则vmax＝＝5 m/s.
[答案] 5 m/s
应用推论＝v＝解题时应注意
(1)推论＝v＝只适用于匀变速直线运动，且该等式为矢量式．
(2)该推论是求瞬时速度的常用方法．
(3)当v0＝0时，v＝；当v＝0时，v＝.
1．飞机在航空母舰上起飞时，在6 s的时间内从30 m/s的弹射速度加速到起飞速度50 m/s，求航空母舰飞行甲板的最小长度．
[解析] 飞机起飞过程的平均速度
＝＝ m/s＝40 m/s
飞行甲板的最小长度x＝t＝40×6 m＝240 m.
[答案] 240 m
位移差公式Δx＝aT2
1．匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等．做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT 2.
2．推导：x1＝v0T＋aT 2，x2＝v0·2T＋a·T 2，x3＝v0·3T＋aT 2…，
所以xⅠ＝x1＝v0T＋aT 2；
xⅡ＝x2－x1＝v0T＋aT 2；
xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT 2…，
故xⅡ－xⅠ＝aT 2，xⅢ－xⅡ＝aT 2…，
所以，Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT 2.
3．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．
(2)求加速度
利用Δx＝aT2，可求得a＝.
【例2】 一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度大小和末速度大小及加速度大小．
思路点拨：①“连续相等的两个时间间隔内”→时间T相同且T＝4 s
[解析] 方法一：基本公式法
x1＝vAT＋aT2
x2＝vA·2T＋a(2T)2－
vC＝vA＋a·2T
将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入以上三式，解得
a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.
方法二：平均速度公式法
连续两段时间T内的平均速度分别为：
＝＝ m/s＝6 m/s，
＝＝ m/s＝16 m/s.
且＝，＝，
由于B是A、C的中间时刻，则
vB＝＝＝ m/s＝11 m/s.
解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.
其加速度为：a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2.
方法三：位移差法
由Δx＝aT2可得
a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2①
又x1＝vAT＋aT2②
vC＝vA＋a·2T③
由①②③式解得：vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.
[答案] 1 m/s 21 m/s 2.5 m/s2
?1?Δx＝aT2只适用于匀变速直线运动，其他性质的运动不能套用推论式来处理问题.
?2?Δx＝aT2常用于实验中，根据打出的纸带求物体的加速度.
2．一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动．开始刹车后的第1 s内和第2 s内位移大小依次为9 m和7 m，则刹车后6 s内的位移是 ( )
A．20 m B．24 m
C．25 m D．75 m
C [设汽车的初速度为v0，加速度为a.根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2得：x2－x1＝aT2
得a＝＝ m/s2＝－2 m/s2.
根据第1 s内的位移：x1＝v0t＋at2，代入数据得，9＝v0×1＋×(－2)×12，解得v0＝10 m/s.
汽车刹车到停止所需的时间t0＝＝ s＝5 s.
则汽车刹车后6 s内的位移等于5 s内的位移，为x＝t0＝×5 m＝25 m．故C正确，A、B、D错误．]
1．(多选)物体从静止开始做匀加速直线运动，第3 s内通过的位移是3 m，则 ( )
A．前3 s的位移是6 m
B．3 s末的速度是3.6 m/s
C．3 s内的平均速度是2 m/s
D．第5 s内的平均速度是5.4 m/s
BD [由位移公式x＝at2知，第3 s内的位移为a×32 m－a×22m＝3 m，故加速度a＝1.2 m/s2，所以前3 s的位移x＝×1.2×32 m＝5.4 m，A错；第3 s末的速度v＝at＝1.2×3 m/s＝3.6 m/s，B对；3 s内的平均速度＝＝ m/s＝1.8 m/s，C错；第5 s内的平均速度等于第4.5 s末的瞬时速度，故v′＝at′＝1.2×4.5 m/s＝5.4 m/s，D对．]
2．(多选)汽车从A点由静止开始沿直线ACB做匀变速直线运动，第4 s末通过C点时关闭发动机做匀减速运动，再经6 s到达B点停止，总共通过的位移是30 m，则下列说法正确的是( )
A．汽车在AC段与BC段的平均速度相同
B．汽车通过C点时的速度为3 m/s
C．汽车通过C点时的速度为6 m/s
D．AC段的长度为12 m
ACD [设汽车通过C点时的速度为vC，由＝可知，汽车在AC段与BC段的平均速度均为＝，A正确；由t1＋t2＝xAB，t1＋t2＝10 s可得vC＝6 m/s，C正确，B错误；由xAC＝t1可得：xAC＝12 m，D正确．]
3．一辆汽车做匀加速直线运动，经过路旁两棵相距50 m的树共用时间5 s，它经过第二棵树时的速度是15 m/s，则它经过第一棵树时的速度是 ( )
A．2 m/s B．10 m/s
C．5 m/s D．2.5 m/s
C [汽车的平均速度为：＝＝ m/s＝10 m/s，因为＝，则汽车经过第一棵树时的速度为：v1＝2－v2＝2×10 m/s－15 m/s＝5 m/s.故C正确，A、B、D错误. ]
4．甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v-t图像如图所示．在这段时间内( )
A．汽车甲的平均速度比乙大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
A [根据v-t图线下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据＝得，汽车甲的平均速度甲大于汽车乙的平均速度乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于，选项B错误；根据v-t图像的斜率的绝对值反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误．]
5．一质点做匀变速直线运动，初速度v0＝2 m/s,4 s内位移为20 m，求：
(1)质点4 s末的速度；
(2)质点2 s末的速度.
[解析] 解法一：利用平均速度公式
4 s内的平均速度＝＝，
代入数据解得，4 s末的速度v4＝8 m/s
2 s末的速度v2＝＝ m/s＝5 m/s.
解法二：利用两个基本公式
由x＝v0t＋at2得
a＝1.5 m/s2
再由v＝v0＋at得
质点4 s末的速度v4＝(2＋1.5×4)m/s＝8 m/s
2 s末的速度v2＝(2＋1.5×2)m/s＝5 m/s.
[答案] (1)8 m/s (2)5 m/s
课件38张PPT。第一章 运动的描述习题课1 匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式2345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637点击右图进入…Thank you for watching !重难强化训练(一) 匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式
(教师用书独具)
(时间：40分钟 分值：90分)
一、选择题(本题共9小题，每小题6分，共54分.1～4为单选，5～9为多选)
1．一质点做匀加速直线运动，依次经过O、A、B、C四点，A、B间的距离为10 m，B、C间的距离为14 m，已知物体通过OA段、AB段、BC段所用的时间相等．则O与A的距离为 ( )
A．8 m B．6 m C．4 m D．2 m
B [OA段、AB段、BC段所用时间相等，由Δx＝x2－x1＝x3－x2＝aT2得，xAB－xOA＝xBC－xAB即10 m－xOA＝14 m－10 m得xOA＝6 m，选项B正确．]
2．一颗子弹以大小为v的速度射进一墙壁但未穿出，射入深度为x，如果子弹在墙内穿行时做匀变速直线运动，则子弹在墙内运动的时间为 ( )
A. B. C. D.
B [子弹在墙中运动的平均速度为＝＝，由＝得t＝＝，故选项B正确．]
3．一物体从斜面上某点由静止开始做匀加速直线运动，经过3 s后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减速直线运动，又经9 s停止，已知物体经过斜面和水平面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的位移与在水平面上的位移之比是( )
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．3∶1
C [由题意知，物体在斜面上和在水平面上运动的平均速度大小相等．由x＝·t得x1∶x2＝t1∶t2＝3∶9＝1∶3，故选项C正确．]
4．一辆汽车从车站由静止开始做匀加速直线运动，一段时间之后，司机发现一乘客未上车，便立即刹车做匀减速运动．已知汽车从启动到停止一共经历了10 s，前进了25 m，在此过程中，汽车的最大速度为 ( )
A．2.5 m/s B．5 m/s
C．7.5 m/s D．10 m/s
B [由＝＝得vm＝＝＝5 m/s，选项B正确．]
5．一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度—时间图像如图所示，那么0～t和t～3t两段时间内 ( )
A．加速度大小之比为3∶1
B．位移大小之比为1∶2
C．平均速度大小之比为2∶1
D．平均速度大小之比为1∶1
BD [在v-t图中图像的斜率表示加速度，由图知两段时间内加速度为2∶1，选项A错误；图像与t轴围成的面积表示位移大小，由图知位移比为1∶2，选项B正确；＝，故两段时间内平均速度相等，选项D正确．]
6．用相同材料做成的A、B两木块的初速度之比为2∶3，它们以相同的加速度在同一粗糙水平面上沿直线滑行直至停止，则它们滑行的 ( )
A．时间之比为1∶1
B．时间之比为2∶3
C．距离之比为4∶9
D．距离之比为2∶3
BC [由于加速度和末速度相同，所以由Δv＝a·Δt知所用时间比为2∶3，选项B正确，A错误；由x＝·Δt得xA∶xB＝4∶9，故选项C正确，D错误．]
7．物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是( )
A．第1 s内速度的变化量小于第2 s内速度的变化量
B．第1 s内的位移小于第2 s内的位移
C．第1 s内速度的变化量等于第2 s内速度的变化量
D．相邻两段相等时间内位移之差等于一个恒量
CD [由v＝v0＋at可知，相同时间内速度的变化量相等，故A错误，C正确；匀加速直线运动相同时间内位移越来越大，匀减速直线运动反之，故B错误；由Δx＝aT2可知，D正确．]
8．一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，那么以下说法正确的是( )
A．第2 s内的位移是2.5 m
B．第3 s末的瞬时速度是2.25 m/s
C．前3 s的平均速度是 m/s
D．质点的加速度是0.5 m/s2
BD [由Δx＝aT2，得a＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，x3－x2＝x4－x3，所以第2 s内的位移x2＝1.5 m，同理第1 s内的位移x1＝1 m，前3 s的平均速度＝＝＝1.5 m/s，A、C错误，D正确；第3 s末的速度等于第2～4 s内的平均速度，所以v3＝＝2.25 m/s，B正确．]
9．汽车自O点出发从静止开始在平直公路上做匀加速直线运动，途中在6 s内分别经过P、Q两根电杆，已知P、Q电杆相距60 m，车经过电杆Q时的速率是15 m/s，则下列说法正确的是 ( )
A．经过P杆时的速率是5 m/s
B．车的加速度是1.5 m/s2
C．P、O间的距离是7.5 m
D．车从出发到Q所用的时间是9 s
ACD [由于汽车在P、Q间的平均速度等于它经过两点时瞬时速度的平均值，即＝，故vP＝－vQ＝5 m/s，A对．车的加速度a＝＝ m/s2，B错．O到P用时t′＝＝3 s，P、Q间距离x1＝·t′＝7.5 m，C对．O到Q用时t′＋t＝3 s＋6 s＝9 s，D对．]
二、非选择题(本题共3小题，共36分)
10.(9分)某次实验得到的一段纸带如图所示(电源频率为50 Hz)，若以每五次打点的时间作为时间单位，得到图示的5个计数点，各点到标号为0的计数点的距离已量出，分别是4 cm、10 cm、18 cm、28 cm，则小车的运动性质是________，当打点计时器打标号为1的计数点时速度v1＝________m/s，加速度a＝ ________m/s2.
[解析] 相邻计数点间时间间隔均为 s＝0.1 s；由于相邻两计数点间的位移差Δx＝2 cm＝恒量．故小车做匀加速直线运动；计数点1为0到2的中间时刻；由v＝＝得v1＝＝0.5 m/s；由Δx＝aT2得a＝＝2 m/s2
[答案] 匀加速直线运动 0.5 2
11．(12分)一些同学乘坐火车外出旅游，当火车在一段平直轨道上匀加速行驶时，一位同学提议说：“我们能否用身边的器材测出火车的加速度？”许多同学参与了测量工作，测量过程如下：他们一边看着窗外每隔100 m的路标，一边用手表记录着时间，他们观测到从第一根路标运动到第二根路标的时间间隔为5 s，从第一根路标运动到第三根路标的时间间隔为9 s，请你根据他们的测量情况，求：(小数点后均保留两位小数)
(1)火车的加速度大小；
(2)他们到第三根路标时的速度大小．
[解析] (1)设t1＝5 s，t2＝(9－5) s＝4 s，根据v＝＝，知他们在第一、二根路标中间时刻的速度v＝20 m/s，
在第二、三根路标中间时刻的速度
vt＝25 m/s，
两中间时刻的时间间隔为
Δt＝＝4.5 s.
所以a＝＝≈1.11 m/s2.
(2)设他们到第三根路标时的速度为v3则
v3＝vt＋a＝27.22 m/s.
[答案] (1)1.11 m/s2 (2)27.22 m/s
12．(15分)从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm.试求：
(1)小球的加速度是多少？
(2)拍摄时小球B的速度是多少？
(3)拍摄时xCD是多少？
[解析] 小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为0.1 s，可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置．
(1)由推论Δx＝aT2可知，小球的加速度为a＝＝
＝ m/s2
＝5 m/s2.
(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知B点的速度等于AC段上的平均速度，即
vB＝AC＝
＝ m/s＝1.75 m/s.
(3)由于连续相等时间内的位移差恒定，所以xCD－xBC＝xBC－xAB
所以xCD＝2xBC－xAB＝2×20×10－2 m－15×10－2 m＝0.25 m.
[答案] (1)5 m/s2 (2)1.75 m/s (3)0.25 m
