习题课2 追及与相遇问题
(教师用书独具)
[学习目标] 1.理解追及与相遇问题的实质． 2.会分析追及问题的临界条件． 3.掌握求解追及问题的思路与方法．
对“追及”与“相遇”问题的认识
1．追及问题
(1)追及的特点：两个物体在同一时刻到达同一位置．
(2)追及问题满足的两个关系
①时间关系：从后面的物体追赶开始，到追上前面的物体时，两物体经历的时间相等.
②位移关系：x2＝x0＋x1，其中x0为开始追赶时两物体之间的距离，x1表示前面被追赶物体的位移，x2表示后面追赶物体的位移．
(3)临界条件：当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追上、恰好避免相撞，相距最远、相距最近等情况，即出现上述四种情况的临界条件为v1＝v2.
2．相遇问题
(1)特点：在同一时刻两物体处于同一位置．
(2)条件：同向运动的物体追上即相遇；相向运动的物体，各自发生的位移的绝对值之和等于开始时两物体之间的距离时即相遇．
(3)临界状态：避免相碰撞的临界状态是两个物体处于相同的位置时，两者的相对速度为零．
【例1】 如图所示，甲、乙两车沿着同一条平直公路同向行驶，甲车以20 m/s的速度匀速运动，乙车原来速度为8 m/s，从距甲车80 m处以大小为4 m/s2的加速度做匀加速运动，问：乙车经多少时间能追上甲车？
思路点拨：①分析两车的运动性质．
②找出两车位移关系，列式求解．
[解析] 设经时间t乙车追上甲车．在这段时间内甲、乙两车位移分别为
x甲＝v甲t，x乙＝v乙t＋at2
追上时的位移条件为x乙＝x甲＋x0
即20t＋80＝8t＋2t2
整理得：t2－6t－40＝0
解得：t1＝10 s，t2＝－4 s(舍)
乙车经10 s能追上甲车．
[答案] 10 s
解决追及与相遇问题的常用方法
(1)物理分析法
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系．
(2)图像法：将两者的速度—时间图像在同一坐标系中画出，然后利用图像求解．
(3)数学分析法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论．
1．一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，另一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过．
(1)汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？
(2)在汽车追上自行车前，当v汽v自时，两者间的距离如何变化？汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多大？
[解析] (1)因为汽车做加速运动，自行车做匀速运动，故汽车一定能追上自行车．汽车追上自行车时，两者位移相等，x汽＝x自，即at2＝v自t
得：t＝＝ s＝4 s
v汽＝at＝3×4 m/s＝12 m/s.
(2)开始阶段，v汽v自，两者间的距离又逐渐减小．所以汽车追上自行车前，当v汽＝v自时，两者距离最大.
设经过时间t1，汽车速度等于自行车速度，则
at1＝v自
代入数据得t1＝2 s
此时x自′＝v自t1＝6×2 m＝12 m
x汽′＝at＝×3×22 m＝6 m
最大距离Δx＝x自′－x汽′＝6 m.
[答案] (1)能 4 s 12 m/s
(2)见解析
追及问题的分析思路及临界条件
1．追及问题中的两个关系和一个条件
(1)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画草图得到．
(2)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．
2．能否追上的判断方法
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0≤xB，则能追上；若vA＝vB时，xA＋x0>xB，则没有追上．
3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．
4．解题思路和方法
分析物体运动过程→画运动示意图→找两物体位移关系→列位移方程
【例2】 某人离公共汽车尾部20 m，以速度v向汽车匀速跑过去，与此同时，汽车以1 m/s2的加速度从静止启动，做匀加速直线运动．试问，此人的速度v分别为下列数值时，能否追上汽车？如果能，要用多长时间？如果不能，则他与汽车之间的最小距离是多少？
(1)v＝6 m/s；(2)v1＝7 m/s.
思路点拨：①分析两者的运动性质，求出达共速所用时间．
②分别求出各自达共速时位移，利用位移关系分析判断能否追上及最小距离．
[解析] (1)当汽车速度达到6 m/s时，所需的时间
t＝＝ s＝6 s
在这段时间内的人的位移x1＝vt＝6×6 m＝36 m
汽车的位移x2＝at2＝×1×62 m＝18 m
因为x1(2)当汽车速度达到7 m/s时，所需的时间t1＝＝ s＝7 s
在这段时间内的人的位移x′1＝v1t1＝7×7 m＝49 m
汽车的位移x2′＝at＝×1×72m＝24.5 m
因为x1′>x2′＋20 m，所以人能追上公共汽车．
设经过t′时间人追上汽车，有
v1t′＝at′2＋20 m
解得t1′＝4 s，t2′＝10 s(舍去)．
[答案] (1)不能 2 m (2)能 4 s
两类追及问题的解题技巧
(1)若速度大的做匀速直线运动的后者追速度小的做匀加速直线运动的前者，v1>v2两者距离减小，v1(2)后面速度小的做匀加速直线运动的物体追前面速度大的匀速运动的物体，一定能追上．v1v2两者距离逐渐减小，即当v1＝v2时，两者具有最大的距离．
2．当交叉路口的绿灯亮时，一辆客车以a＝2 m/s2的加速度由静止启动，在同一时刻，一辆货车以10 m/s的恒定速度从客车旁边同向驶过(不计车长)，则：
(1)客车什么时候追上货车？客车追上货车时离路口多远？
(2)在客车追上货车前，两车的最大距离是多少？
[解析] (1)客车追上货车的过程中，两车所用时间相等，位移也相等，
即v2t1＝at，
代入数据解得t1＝10 s，x＝at＝×2×102 m＝100 m.
(2)两车距离最大时，两车应具有相等的速度，即v2＝at2，代入数据解得t2＝5 s．Δx＝v2t2－at＝10×5 m－×2×52 m＝25 m.
[答案] (1)10 s 100 m (2)25 m
1．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标，在描述两车运动的v-t图像中(如图所示)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s的运动情况，关于两辆车之间的位置关系，下列说法正确的是( )
A．在0～10 s内两车逐渐靠近
B．在10～20 s内两车逐渐远离
C．在5～15 s内两车的位移相等
D．在t＝10 s时两车在公路上相遇
C [由v-t图像知，0～10 s内，v乙>v甲，两车逐渐远离，10～20 s内，v乙2．甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿一条直线运动，它们的v-t图像如图所示，由图可知 ( )
A．甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲
B．t＝20 s时，乙追上甲
C．在t＝20 s之前，甲比乙运动快；在t＝20 s之后，乙比甲运动快
D．由于乙在t＝10 s时才开始运动，所以t＝10 s时，甲在乙前面，它们之间的距离为乙追上甲前的最大距离
C [由图像知t＝20 s时两者达共同速度，此时两者间距最大，故选项B、D错误；20 s后v乙>v甲两者间距越来越小，乙一定会追上甲，故选项A错误，C正确．]
3．(多选)A与B两个质点向同一方向运动，A做初速度为零的匀加速直线运动，B做匀速直线运动．开始计时时，A、B位于同一位置，则当它们再次位于同一位置时( )
A．两质点速度相等
B．A与B在这段时间内的平均速度相等
C．A的瞬时速度是B的2倍
D．A与B的位移相同
BCD [整个过程，质点A、B位移相同，用时相等，故＝vB，选项B、D正确；因质点B做匀速直线运动，所以＝vB；而A做初速为零的匀加速直线运动故＝，故选项A错误，C正确．]
4．汽车正以10 m/s的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6 m/s2的匀减速运动，汽车恰好没碰上自行车，求关闭油门时汽车离自行车多远？
[解析] 运动草图如下：
解法一：用基本公式法求解．汽车减速到4 m/s时发生的位移和运动的时间分别为
x汽＝＝ m＝7 m
t＝＝ s＝1 s
这段时间内自行车发生的位移
x自＝v自t＝4×1 m＝4 m
汽车关闭油门时离自行车的距离
x＝x汽－x自＝7 m－4 m＝3 m.
解法二：利用v-t图像进行求解．如图所示，图线Ⅰ、Ⅱ分别是汽车与自行车的v-t图像，其中阴影部分的面积表示当两车车速相等时汽车比自行车多运动的位移，即汽车关闭油门时离自行车的距离x.
图线Ⅰ的斜率大小的绝对值即为汽车减速运动的加速度大小，所以应有
x＝＝×
＝ m＝3 m.
[答案] 3 m
课件34张PPT。第一章 运动的描述习题课2 追及与相遇问题点击右图进入…Thank you for watching !重难强化训练(二) 追及与相遇问题
(教师用书独具)
(时间：40分钟 分值：90分)
一、选择题(本题共9小题，每小题6分，共54分.1～5为单选，6～9为多选)
1．a、b两车在两条平行的直车道上同方向行驶，它们的v-t图像如图所示，在t＝0时刻，两车间距离为d；t＝5 s时刻它们第一次相遇，关于两车之间的关系，下列说法正确的是 ( )
A．t＝15 s时刻两车第二次相遇
B．t＝20 s时刻两车第二次相遇
C．在5～15 s的时间内，先是a车在前，而后是b车在前
D．在10～15 s的时间内，两车间距离逐渐变大
A [由图可知，a做匀减速运动，而b做匀加速运动；由题意5 s时两车相遇，说明开始时a在后面，5 s时两车的位置相同；5～10 s内a车速度仍大于b车，故a在前；10～15 s时间内，b的速度大于a的速度，但由于开始时落在了a的后面，故还将在a的后面，t＝15 s时b追上了a，故15 s时两车再次相遇，故A正确，B、C错误；t＝5 s时刻两车第一次相遇，在10～15 s的时间内，b的速度大于a的速度，两车间距逐渐变小，故D错误．]
2．甲、乙两物体同时从同一地点沿同一方向做直线运动的速度—时间图像如图所示，则下列说法正确的是 ( )
A．两物体两次相遇的时刻是2 s和6 s
B．4 s后甲在乙前面
C．两物体相距最远的时刻是1 s末
D．乙物体先向前运动2 s，随后向后运动
A [t＝2 s时乙的位移x＝×2×4 m＝4 m，甲的位移x′＝2×2 m＝4 m，两者位移相同，又是从同一地点出发，故2 s末时二者相遇，同理可判断，6 s末二者也是相遇，A正确.4 s时甲的位移x＝4×2 m＝8 m，乙的位移x′＝m＝10 m，甲的位移小于乙的位移，故甲在乙后面，B错误.1 s末两物体相距的距离等于一个小三角形的面积，而4 s末两物体相距的距离等于2～4 s之间三角形的面积，明显4 s末二者的距离最大，C错误．乙的运动方向始终未发生变化，D错误．]
3．如图所示，A、B两物体相距s＝7 m时，A在水平拉力和摩擦力作用下，正以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时正以vB＝10 m/s的速度向右匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，则A追上B所经历时间是( )
A．7 s B．8 s C．9 s D．10 s
B [因为vt＝v0＋at，所以B物体停止运动所需时间t＝＝ s＝5 s，在这一段时间内，B的位移xB＝vBt－at2＝m＝25 m，A的位移xA＝vAt＝4×5 m＝20 m，这时A、B之间的距离是12 m，A物体还需要3 s才能赶上B.所以选项B正确．]
4．甲车以3 m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动，乙车落后2 s在同一地点由静止出发，以4 m/s2的加速度做匀加速直线运动，两车速度方向一致．在乙车追上甲车之前，两车距离的最大值是 ( )
A．18 m B．24 m C．22 m D．28 m
B [乙车从静止开始做匀加速运动，落后甲2 s，则开始阶段甲车在前．当乙车速度小于甲车的速度时，两者距离增大；当乙车速度大于甲车的速度时，两者距离减小，则当两者速度相等时距离最大．即：a甲(t乙＋2)＝a乙t乙，得：t乙＝6 s；两车距离的最大值为Δx＝x甲－x乙＝a甲(t乙＋2)2－a乙t＝24 m，故选B. ]
5．两辆完全相同的汽车，沿平直路一前一后匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住后，后车以前车刹车时的加速度开始刹车．已知前车在刹车过程中行驶的距离为x，若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少为 ( )
A．x B．2x C．3x D．4x
B [由题意作出两辆车的v-t图像，如图所示，前面的车刹车位移为x，此过程中后面的汽车匀速行驶，前面的汽车刚刹住时，后面汽车开始刹车，由图可知，后面汽车共行驶了3x，所以应保持距离为Δx＝3x－x＝2x，故A、C、D均错误，B正确．]
6．有四个运动的物体A、B、C、D，物体A、B运动的x-t图像如图中甲所示；物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v-t图像如图中乙所示．根据图像做出的以下判断，其中正确的是 ( )
甲 乙
A．物体A和B均做匀速直线运动且A的速度比B更大
B．在0～3 s的时间内，物体B运动的位移为15 m
C．t＝3 s时，物体C追上物体D
D．t＝3 s时，物体C与物体D之间有最大间距
AD [由甲图看出：物体A和B位移图像都是倾斜的直线，斜率都不变，速度都不变，说明两物体都做匀速直线运动，A图线的斜率大于B图线的斜率，A的速度比B更大，故A正确．由甲图看出：在0～3 s的时间内，物体B运动的位移为Δx＝10 m，故B错误．由乙图看出：t＝3 s时，D图线所围“面积”大于C图线所围“面积”，说明D的位移大于C的位移，而两物体从同一地点开始运动的，所以物体C还没有追上物体D，故C错误．由乙图看出：前3 s内，D的速度较大，DC间距离增大，3 s后C的速度较大，两者距离减小，t＝3 s时，物体C与物体D之间有最大间距，故D正确．]
7．在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在t＝0时同时经过某一个路标，它们位移x(m)随时间t(s)变化规律为：汽车为x＝10t－t2(m)，自行车为x＝6t(m)，则下列说法正确的是 ( )
A．汽车做减速直线运动，自行车做匀速直线运动
B．不能确定汽车和自行车各做什么运动
C．开始经过路标后较短时间内自行车在前，汽车在后
D．当自行车追上汽车时，它们距路标96 m
AD [根据两者位移x随时间t变化规律表达式可知，汽车做初速度为v0＝10 m/s，加速度大小为a＝0.5 m/s2的匀减速直线运动，自行车做速度为v＝6 m/s的匀速直线运动，故A正确，B错误；由于v0>v，所以开始经过路标后较短时间内汽车在前，自行车在后，故C错误；设汽车速度减小至零，所需时间为t0，由t＝，得t0＝20 s，当自行车追上汽车时，设经过的时间为t，则有：10t－t2＝6t，解得：t＝16 s8．一辆汽车正在以v＝20 m/s的速度匀速行驶．突然，司机看见车的正前方x＝33 m处有一只狗，如图甲所示，若从司机看见狗开始计时(t＝0)，司机采取了一系列动作．整个过程中汽车的运动规律如图乙所示，g取10 m/s2.则下列判断正确的是 ( )
甲 乙
A．汽车先做匀速运动再做反向匀减速运动
B．汽车减速运动的加速度大小为5 m/s2
C．若狗正以v′＝4 m/s的速度与汽车同向奔跑，则不能摆脱被撞的噩运
D．汽车从司机发现狗至停止运动的这段时间内前进的距离为48.4 m
BC [由图像知，汽车先做匀速运动后做匀减速运动，故选项A错误；由a＝知汽车减速运动的加速度a＝ m/s2＝－5 m/s2，故选项B正确；由图像知汽车在发现狗至停止运动的这段时间内的位移为x＝ m＝50 m，故选项D错误；设汽车从开始刹车到与狗达到共速用时为t，则有4 m/s＝20 m/s－5 m/s2×t，解得t＝3.2 s
汽车在司机发现狗到与狗达共速这段时间位移为：x车＝20 m/s×0.5 s＋×3.2 s＝48.4 m
这段时间内，狗的位移为：
x狗＝4 m/s×(3.2＋0.5) s＝14.8 m，x狗＋x＝(14.8＋33) m＝47.8 m9．假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s，距离x0＝100 m，t＝0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间的变化如图甲、乙所示．取运动方向为正方向，下列说法正确的是( )
甲 乙
A．t＝6 s时两车速度相等
B．t＝6 s时两车距离最近
C．0～6 s内两车位移之差为90 m
D．两车在0～9 s内会相撞
ABC [由加速度图像可画出两车的速度随时间变化的图像，如图所示．由图像可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积为0～6 s内两车位移之差，Δx＝×30×3 m＋×30×(6－3) m＝90 m<100 m，所以不会相撞．故A、B、C正确．]
二、非选择题(本题共3小题，共36分)
10．(10分)一辆货车以8 m/s的速度在平直公路上行驶，由于调度失误，在后面600 m处有一辆客车以72 km/h的速度向它靠近．客车司机发觉后立即合上制动器，但客车要滑行2 000 m才能停止．求：
(1)客车滑行的加速度大小；
(2)通过计算分析两车是否会相撞．
[解析] (1)设v2＝72 km/h＝20 m/s，由公式v－v＝2ax得客车刹车的加速度大小为a＝＝ m/s2＝0.1 m/s2.
(2)假设不相撞，设两车达到共同速度用时为t，则
v2－at＝v1，t＝120 s
货车在该时间内的位移
x1＝v1t＝8×120 m＝960 m
客车在该时间内的位移
x2＝ t＝1 680 m
位移大小关系：x2＝1 680 m>600 m＋x1
＝1 560 m，故会相撞．
[答案] (1)0.1 m/s2 (2)见解析
11．(12分)A、B两物体(视为质点)在同一直线上同时出发向同一方向运动，物体A从静止开始做匀加速直线运动，加速度a＝2 m/s2，物体B在A的后面相距L＝32 m处，以v＝12 m/s的速度做匀速运动，两物体追逐时，互从近旁通过，不会相碰，求：
(1)A物体经过多长时间后与B的速度相等？
(2)经过多长时间A、B两物体相遇？
(3)A、B两物体两次相遇之间相距最远的距离是多少？
[解析] (1)由题知A物体做初速度为零的匀加速直线运动．由公式v＝at得：t＝6 s.
(2)设经过t1，B物体追上A物体
则有：L＋at＝vt1
解得：t1＝4 s或t1′＝8 s.
(3)经分析当vA＝vB时，此时A、B在两次相遇之间相距最远，此时经过时间t＝6 s，这段过程中，A的位移xA＝at2＝36 m
B的位移为xB＝vt＝72 m
相距最远的距离是s＝xB－xA－L＝4 m.
[答案] (1)6 s (2)4 s或8 s (3)4 m
12．(14分)Jerry惹恼了Tom，这次Tom发誓一定要在Jerry逃进鼠洞前捉住它．起初Tom、Jerry和鼠洞在同一直线上，Tom距Jerry 3.7 m，Jerry距鼠洞10.4 m，如图所示，已知Tom的最大加速度和最大速度分别为4 m/s2、6 m/s，Jerry的最大加速度和最大速度分别为5 m/s2、4 m/s，设它们同时由静止启动并尽力奔跑，问：
(1)Tom与Jerry各自到达最大速度所需的时间分别是多少？
(2)假设Jerry能逃回鼠洞，则它从启动到逃回鼠洞共需多少时间？
(3)计算Tom需多长时间追到鼠洞，并判断Tom能否在Jerry逃进鼠洞前捉住它．
[解析] (1)Tom达到最大速度经历的时间t1＝＝ s＝1.5 s，Jerry达到最大速度经历的时间t2＝＝ s＝0.8 s.
(2)Jerry达到最大速度经历的位移x1＝＝ m＝1.6 m，
则匀速运动的位移x2＝10.4 m－1.6 m＝8.8 m，匀速运动的时间t2′＝＝ s＝2.2 s，
从启动到逃回鼠洞共需的时间t＝t2＋t2′＝0.8 s＋2.2 s＝3 s.
(3)Tom达到最大速度的位移x1′＝＝ m＝4.5 m，则匀速运动的位移x2′＝10.4 m＋3.7 m－4.5 m＝9.6 m，
匀速运动的时间t1′＝＝ s＝1.6 s，
则Tom跑到洞口的时间t′＝t1＋t1′＝1.5 s＋1.6 s＝3.1 s.
因为t′>t，可知Tom不能在Jerry逃进鼠洞前捉住它．
[答案] (1)1.5 s 0.8 s (2)3 s (3)3.1 s 不能捉住
