5.力的合成
学 习 目 标
知 识 脉 络(教师用书独具)
1.知道合力、分力、力的合成、共点力的概念．
2．掌握力的平行四边形定则，并知道它是矢量运算的普遍规则．(重点)
3．会应用作图法和计算法求合力的大小．(重点、难点)
4．体会合力与分力在作用效果上的等效替代思想．(重点)
一、几个力可用一个力来替代
1．合力与分力
(1)定义：如果一个力的作用效果与几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力，原来的几个力叫作这个力的分力．
(2)合力与分力的关系：合力与分力是作用效果上的一种等效替代关系．
2．力的合成：求几个力的合力叫作力的合成．
3．共点力：作用于物体上同一点，或者力的作用线相交于同一点的几个力称为共点力．
二、互成角度的两个力的合成
1．平行四边形定则
求两个成一定角度的力的合力时，可以用表示这两个力的线段为邻边，作平行四边形，这两邻边所夹的对角线就表示合力的大小和方向．这种方法叫平行四边形定则．
2．互成直角的共点力的合成
如图所示，由几何知识得合力大小F＝，方向tan θ＝.
3．求多个共点力的合力的方法
先求任意两个力的合力，再求这个合力与第三个力的合力，依次进行，最终求得全部共点力的合力．
4．矢量合成规律
矢量既有大小又有方向，在合成时都遵循平行四边形定则．
1．思考判断
(1)合力和分力是同时作用在物体上的力．(×)
(2)共点力一定作用在同一点．(×)
(3)两个力的合力一定等于这两个力的代数和．(×)
(4)两个力的合力不一定大于任一个力的大小．(√)
(5)作用在一个物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，则这两个力一定是共点力．(×)
2．(多选)关于F1、F2及它们的合力F，下列说法正确的是 ( )
A．合力F一定与F1、F2共同作用产生的效果相同
B．两力F1、F2一定是同种性质的力
C．两力F1、F2一定是同一个物体受的力
D．两力F1、F2与F是物体同时受到的三个力
AC [只有同一个物体受到的力才能合成，分别作用在不同物体上的力不能合成，C正确；合力是对原来几个分力的等效替代，各分力可以是不同性质的力，合力与分力不能同时存在，A正确，B、D错误．]
3．如图所示，两个共点力互相垂直，F1＝8 N，F2＝6 N，则它们的合力F＝________N，合力与F1间的夹角θ＝________.
[解析] 以F1，F2为邻边作出平行四边形，如图．
由几何关系得F＝＝ N＝10 N；而tan θ＝＝，所以θ＝37°.
[答案] 10 37°
几个力可用一个力来替代
1．合力与分力的相关性
2．合力与分力间的大小关系
当两分力F1、F2大小一定，夹角θ从0°增大到180°时，合力大小随夹角θ的增大而减小．
(1)最大值：夹角θ＝0°(两力同向)时合力最大，F＝F1＋F2，方向与两力同向；
(2)最小值：夹角θ＝180°(两力反向)时合力最小，F＝|F1－F2|，方向与两力中较大的力同向；
(3)合力范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
3．三个力的合成
(1)三个力进行合成时，若先将其中两个力F1、F2进行合成，则这两个力的合力F12的范围为|F1－F2|≤F12≤F1＋F2.再将F12与第三个力F3合成，则合力F的范围为|F12－F3|≤F≤F12＋F3.
(2)对F的范围进行讨论：①最大值：当三个力方向相同时F12＝F1＋F2，F＝F12＋F3，此时合力最大，大小为Fmax＝F1＋F2＋F3.②最小值：若F3的大小介于F1、F2的和与差之间，F12可以与F3等大小，即|F12－F3|可以等于零，此时三个力合力的最小值就是零；若F3不在F1、F2的和与差之间，合力的最小值等于最大的力减去另外两个较小的力的和的绝对值．③合力范围：Fmin≤F≤Fmax.
1．(多选)已知两个共点力的合力为F，现保持两力之间的夹角θ不变，使其中一个力增大，则( )
A．合力F一定增大
B．合力F的大小可能不变
C．合力F可能增大，也可能减小
D．当0°<θ<90°时，合力F一定减小
BC [设有两个共点力F1、F2，分两种情况讨论．
(1)当0°<θ≤90°时，合力随着其中一个力的增大而增大，如图甲所示，D错误．
甲 乙
(2)当90°<θ≤180°时，若F2增大，其合力先变小，后又逐渐增大，如图乙所示．所以A错误，B、C正确．]
2．两个共点力的大小分别为F1＝15 N，F2＝9 N．它们的合力不可能等于 ( )
A．9 N B．25 N C．6 N D．21 N
B [由题意可知两个力的合力范围为F1－F2≤F≤F1＋F2即6 N≤F≤24 N，只有B选项不在合力范围内，故选B.]
求合力的方法
1．作图法
作图法就是根据平行四边形定则作出标准的平行四边形，然后根据图形用测量工具确定出合力的大小、方向，具体操作流程如下：
2．计算法
(1)两分力共线时：
①若F1、F2两力同向，则合力F＝F1＋F2，方向与两力同向．
②若F1、F2两力反向，则合力F＝|F1－F2|，方向与两力中较大的同向．
(2)两分力不共线时：
可以根据平行四边形定则作出力的示意图，然后根据正、余弦定理，三角函数，几何知识等计算合力．
若两个分力的大小分别为F1、F2，它们之间的夹角为α，由平行四边形定则作出它们的合力F如图所示，则合力F的大小为F＝，合力的方向tan θ＝，θ为合力F与F1之间的夹角．
3．几种特殊情况下力的合成方法
类型
作图
合力的计算
两力互相垂直
F＝
tan θ＝
两力等大，夹角为θ
F＝2F1cos
F与F1夹角为
两力等大且夹角为120°
合力与分力等大
4.三角形法
如图所示，力的平行四边形定则，也可以用力的矢量三角形表示，图甲可用图乙的力的三角形定则表示，即将各分力依次“首”“尾”相接，合力即为起于一个力的“首”，止于另一个力的“尾”的有向线段．
甲 乙
【例1】 在电线杆的两侧常用钢丝绳把它固定在地面上，如图所示．如果钢丝绳与地面的夹角均为60°，每条钢丝绳的拉力都是300 N，试用作图法求出两根钢丝绳作用在电线杆上的合力．
思路点拨：解答本题的基本思路如下：
→→→
[解析] 如图所示，在O点引两条有向线段OA和OB，相互间夹角为60°，设每单位长度代表100 N，则OA和OB的长度都是3个单位长度，作出平行四边形OACB.其对角线OC就表示两个拉力F1、F2的合力F.量得OC长5.2个单位长度，故合力F＝5.2×100 N＝520 N．用量角器量得∠AOC＝∠BOC＝30°，所以合力方向竖直向下．
[答案] 见解析
【例2】 水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B.一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，如图所示，则滑轮受到绳子的作用力大小为(g取10 N/kg)( )
A．50 N B．50 N
C．100 N D．100 N
思路点拨：①同一根绳上的拉力处处相同．②滑轮受到绳子的作用力即为BC、BD段绳子的拉力的合力．
C [以滑轮为研究对象，悬挂重物的绳的拉力F＝mg＝100 N，故小滑轮受到绳的作用力沿BC、BD方向，大小都是100 N．从图中看出∠CBD＝120°，∠CBE＝∠DBE得∠CBE＝∠DBE＝60°，则△CBE是等边三角形，故F合＝100 N．]
“作图法”和“计算法”的优、缺点
“作图法”和“计算法”各有优缺点，“作图法”便于理解矢量的概念，形象直观，但不够精确，会出现误差；“计算法”是先根据平行四边形定则作出力的合成的示意图，然后利用数学知识求出合力，作图时，可通过添加辅助线得到一些特殊的三角形，如直角三角形、等边三角形、等腰三角形等，这样便于计算．
3．杨浦大桥是继南浦大桥之后又一座跨越黄浦江的我国自行设计建造的双塔双索面迭合梁斜拉桥，如图所示．挺拔高耸的208米主塔似一把利剑直刺苍穹，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲．假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？方向如何？
[解析] 把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力．由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下．下面用两种方法计算这个合力的大小：
方法一：作图法(如图甲所示)
自O点引两根有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°.取单位长度为1×104 N，则OA和OB的长度都是3个单位长度．量得对角线OC长为5.2个单位长度，所以合力的大小为F＝5.2×1×104 N＝5.2×104 N.
方法二：计算法(如图乙所示)
根据这个平行四边形是一个菱形的特点，如图乙所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB、OD＝OC.考虑直角三角形AOD，其∠AOD＝30°，而OD＝OC，则有F＝2F1cos 30°＝2×3×104× N≈5.2×104 N.
甲 乙
[答案] 5.2×104 N 方向竖直向下
1．关于两个大小不变的共点力与其合力的关系，下列说法正确的是 ( )
A．合力的大小随两力夹角增大而增大
B．合力的大小不能小于分力中最小者
C．合力的大小一定大于分力中最大者
D．合力的大小随两力夹角减小而增大
D [合力的大小随两力夹角增大而减小，随夹角减小而增大，A错误，D正确．合力的大小可能比分力大，也可能比分力小，还有可能等于分力，B、C错误，故选D.]
2．如图所示，下列情况下日光灯所受的拉力T1、T2及重力G一定不是共点力的是 ( )
甲 乙 丙
A．甲情况下 B．乙情况下
C．丙情况下 D．甲、乙、丙三种情况下
B [共点力是指作用在物体上的同一点，或者力的作用线延长或反向延长交于同一点的几个力，故只有乙情况下不是．]
3．两个力大小分别为2 N和4 N，作用方向在同一直线上，则它们的合力大小可能是 ( )
A．0 B．6 N
C．7 N D．8 N
B [当二力夹角为零时，即两个力在同一直线上，并且方向相同，合力最大，最大值为F1＋F2＝2 N＋4 N＝6 N；当夹角180°时，即两个力在同一直线上，并且方向相反，合力最小，最小值为F1－F2＝4 N－2 N＝2 N；故合力的范围为2 N≤F≤6 N；所以合力可能是6 N，不可能是0 N、7 N、8 N，故A、C、D错误，B正确．]
4．(多选)两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则 ( )
A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍
B．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N
C．F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变
D．若F1、F2中的一个增大，F不一定增大
AD [通过作平行四边形可知A正确，通过分析同一直线的两个力F1、F2的合成可知，B、C错误，D正确．]
5．如图所示，两个人共同用力将一个牌匾拉上墙头．其中一人用了450 N的拉力，另一个人用了600 N的拉力，如果这两个人所用拉力的夹角是90°，求它们的合力．
[解析] 设F1＝450 N，F2＝600 N，合力为F.
由于F1与F2间的夹角为90°，根据勾股定理得
F＝ N＝750 N
合力F与F1的夹角θ的正切tan θ＝＝＝，所以θ＝53°.
[答案] 750 N，与较小拉力的夹角为53°.
