2．功率
学 习 目 标
知 识 脉 络(教师用书独具)
1.理解功率的概念，能运用功率的公式进行有关计算．(重点)
2．了解额定功率和实际功率的概念，理解平均功率和瞬时功率的含义．(重点)
3．根据功率的定义导出公式P＝Fv，能用于分析、计算和解释现象．(重点、难点)
一、功率的含义
1．功率
(1)定义：功W跟完成这些功所用时间t的比值叫功率，功率的符号为P.
(2)公式：P＝.
(3)功率的单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦，符号为W.1 W＝1 J/s.
技术上常用千瓦(kW)作为功率的单位，1 kW＝1 000 W.
(4)功率的物理意义：功率是表示物体做功快慢的物理量．
(5)功率是标量，只有大小，没有方向．
2．额定功率
(1)额定功率：机器长时间正常工作允许的功率．
(2)机器实际运行的功率可以小于或等于额定功率，但不允许长时间超过额定功率．
二、功率、力和速度之间的关系
1．功率与速度的关系式为P＝Fv，即一个力对物体做功的功率，等于这个力与物体沿受力方向上运动速度的乘积．
2．平均功率：当v为平均速度时，P为平均功率．
3．瞬时功率：当v为某一时刻的瞬时速度时，P为该时刻的瞬时功率．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由公式P＝可知，做功越多，功率越大． ( )
(2)某机械工作时的实际功率一定比额定功率小． ( )
(3)机械可以在实际功率等于额定功率的情况下长时间工作．
( )
(4)当汽车的功率一定时，发动机的牵引力越大，汽车的行驶速度越大． ( )
(5)起重机吊起某一重物匀速上升时，物体上升的速度越大，起重机的功率就越大． ( )
(6)当输出功率一定时，速度和牵引力成反比． ( )
【提示】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)√
2．下列关于功率的说法，正确的是( )
A．力对物体做的功越多，功率就越大
B．做功时间短的机械功率大
C．完成相同的功，用的时间越长，功率越大
D．功率大的机械在单位时间内做的功会更多
D [功率与做功多少没有必然的联系，选项A、B错误；完成相同的功，用时越长，功率越小，选项C错误；故选D.]
3.如图所示是甲、乙两物体做功与所用时间的关系图像，那么甲物体的功率P甲与乙物体的功率P乙相比( )
A．P甲＞P乙
B．P甲＜P乙
C．P甲＝P乙
D．无法判定
B [根据功率的定义式P＝可知，在功与所用时间的关系图像中，直线的斜率表示物体的功率．因此，由图线斜率可知P甲＜P乙，选项B正确．]
4．质量为m的汽车行驶在平直公路上，在运动中所受阻力不变，当汽车的加速度为a，速度为v时，发动机功率为P1；当功率为P2时，汽车行驶的最大速度为( )
A. B.
C. D.
B [由题意知F－f＝ma，P1＝Fv，由以上两式得f＝.当功率为P2时，汽车行驶的最大速度vm＝＝，B正确．]
对功率的理解
1．平均功率与瞬时功率的比较
比较项目
定义
公式
平均功率
在一段时间内或某一过程中做功的快慢
P＝或P＝Fv
瞬时功率
物体在某一时刻或某一位置时做功的快慢
P＝Fv，v为某时刻的速度
2.对P＝Fv的理解
(1)公式P＝Fv中的力F与速度v应共线，若不共线，F与v的夹角为θ，则P＝Fvcos θ.
(2)用此式计算功率时要明确是哪个力的功率，还是物体所受合力的功率，汽车的功率是指汽车牵引力的功率，起重机吊起货物的功率就是钢丝拉力的功率．
3．P＝Fv中三个量的制约关系
定值
各量间的关系
应用
P一定
F与v成反比
汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡减小速度
v一定
F与P成正比
汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定
v与P成正比
汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度
【例1】 如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)前2 s内重力做的功；
(2)前2 s内重力的平均功率；
(3)2 s末重力的瞬时功率．
思路点拨：①确定木块的运动规律．
②确定前2 s内的位移及2 s末的速度．
③选取对应公式进行计算．
[解析] (1)由题意可知，木块的加速度a＝g sin θ－μgcos θ＝2 m/s2，前2 s内木块的位移x＝at2＝4 m，WG＝mgh＝mgxsin θ＝48 J.
(2)p＝＝ W＝24 W.
(3)2 s末木块的速度v＝at＝4 m/s，p＝Fv＝mgsin θv＝48 W.
求解功率时应该注意的问题
(1)首先明确要求哪个力的功率，是某个力的功率，还是物体所受合力的功率．
(2)若求平均功率，还需明确是哪段时间内的平均功率，可由公式P＝或P＝F来计算．
(3)若求瞬时功率，要明确是哪一时刻的功率，再确定该时刻物体的受力F、速度v及F与v的夹角关系，然后再代入P＝Fvcos α进行求解．
1.(多选)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用．力F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则( )
A．3t0时刻的瞬时功率为5Ft0
B．3t0时刻的瞬时功率为
C．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为
D．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为
BD [0～2t0时间内，物体的加速度a1＝，位移x1＝a1(2t0)2＝，2t0时刻的速度v1＝a1·2t0＝；2t0～3t0时间内，物体的加速度a2＝，位移x2＝v1t0＋a2t＝，3t0时刻的速度v2＝v1＋a2t0＝.所以3t0时刻的瞬时功率P＝3F0v2＝，选项A错误，B正确；0～3t0时间内的平均功率＝＝＝，选项C错误，D正确．]
机车启动问题
机车的两种启动方式
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P-t图和v-t图
OA段
过程分析
v↑?F＝↓
?a＝↓
a＝不变?
F不变P＝Fv↑
直到P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动、
维持时间t0＝
AB段
过程分析
F＝F阻?a＝0?F阻＝
v↑?F＝↓
?a＝↓
运动性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速直线运动
BC段
F＝F阻?a＝0?F阻＝，以vm做匀速直线运动
【例2】 质量为m＝5×103 kg的汽车在水平公路上行驶，阻力是车重的0.1倍．让车保持额定功率为60 kW，从静止开始行驶，求：(g取10 m/s2)
(1)汽车达到的最大速度vm；
(2)汽车车速v1＝2 m/s时的加速度大小．
思路点拨：汽车的功率即为牵引力的功率，则P＝Fv，当F＝f时，速度为vm；当汽车以额定功率启动时，P＝P0不变，可由F＝求解不同速度对应的牵引力．
[解析] (1)由P＝Fv＝fvm得
vm＝＝＝ m/s＝12 m/s.
(2)由P＝Fv得F＝，
当v1＝2 m/s时，
F1＝＝ N＝3×104 N
由牛顿第二定律得F1－f＝ma，所以
a＝
＝ m/s2＝5 m/s2.
[答案] (1)12 m/s (2)5 m/s2
机车启动问题的求解方法
(1)机车的最大速度vmax的求法
机车做匀速运动时速度最大，此时牵引力F等于阻力f，故vmax＝＝.
(2)匀加速启动时，做匀加速运动的时间t的求法．牵引力F＝ma＋f，匀加速运动的最大速度v′max＝，时间t＝.
(3)瞬时加速度a的求法
根据F＝求出牵引力，则加速度a＝.
2.一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示．假定汽车所受阻力的大小f恒定不变．下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是( )
A [由P-t图像知：0～t1内汽车以恒定功率P1行驶，t1～t2内汽车以恒定功率P2行驶．设汽车所受牵引力为F，则由P＝Fv得，当v增加时，F减小，由a＝知a减小，又因速度不可能突变，所以选项B、C、D错误，选项A正确．]
1．下列关于功率的说法中正确的是( )
A．由P＝知，力做的功越多，功率越大
B．由P＝Fv知，物体运动得越快，功率越大
C．由W＝Pt知，功率越大，力做的功越多
D．由P＝Fvcos α知，某一时刻，即使力和速度都很大，但功率不一定大
D [在公式P＝中，只有P、W、t中两个量确定后，第三个量才能确定，故选项A、C错误；在P＝Fv中，P与F、v有关，故选项B错误；在P＝Fvcos α中，P还与α有关，故选项D正确．]
2．一质量为m的木块静止在光滑的水平面上，从t＝0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上，在t＝T时刻F的功率是( )
A. B.
C. D.
B [木块加速度a＝，t＝T时速度v＝aT＝，瞬时功率P＝Fv＝.]
3．一个质量为m的小球做自由落体运动，那么，在前t秒内重力对它做功的平均功率P及在t秒末重力做功的瞬时功率P分别为(t秒末小球未着地)( )
A．P＝mg2t2，P＝mg2t2
B．P＝mg2t2，P＝mg2t2
C．P＝mg2t，P＝mg2t
D．P＝mg2t，P＝2mg2t
C [前t秒内重力做功的平均功率
P＝＝＝mg2t
t秒末重力做功的瞬时功率
P＝Fv＝mg·gt＝mg2t.故C正确．]
4.(多选)一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v-t图像如图所示，已知汽车的质量为m＝2×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，g取10 m/s2，则( )
A．汽车在前5 s内的牵引力为4×103 N
B．汽车在前5 s内的牵引力为6×103 N
C．汽车的额定功率为60 kW
D．汽车的最大速度为30 m/s
BCD [由v-t图像知，前5 s的加速度a＝＝2 m/s2，由牛顿第二定律知，前5 s内的拉力F－kmg＝ma，得F＝(0.1×2×103×10＋2×103×2)N＝6×103 N，故B对，A错；又5 s末达到额定功率P＝F·v5＝6×103×10 W＝6×104 W＝60 kW，故C对；最大速度vmax＝＝ m/s＝30 m/s，故D对．]
5．能源短缺和环境恶化已经成为关系到人类社会能否持续发展的大问题．为缓解能源紧张压力、减少环境污染，汽车制造商纷纷推出小排量经济实用型轿车．某公司研制开发了某型号小汽车，发动机的额定功率为24 kW，汽车连同驾乘人员总质量为m＝2 000 kg，在水平路面上行驶时受到恒定的阻力是800 N，求：
(1)汽车在额定功率下匀速行驶的速度；
(2)汽车在额定功率下行驶，速度为20 m/s时的加速度．
[解析] (1)由P＝Fv得v＝＝ m/s
＝30 m/s.
(2)F1＝＝ N＝1200 N
a＝＝ m/s2＝0.2 m/s2.
[答案] (1)30 m/s (2)0.2 m/s2
课件50张PPT。第四章 机械能和能源2．功率比值 瓦快慢大小方向超过长时间小于等于瞬时速度Fv运动速度平均速度对功率的理解机车启动问题点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十二)
[基础达标练]
(时间：15分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．从空中以40 m/s的初速度平抛一重为10 N的物体，物体在空中运动3 s落地，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则物体落地前瞬间，重力的瞬时功率为( )
A．300 W B．400 W
C．500 W D．700 W
A [物体落地瞬间vy＝gt＝30 m/s，所以PG＝Gvy＝300 W，故A正确．]
2．汽车上坡的时候，司机必须换挡，其目的是( )
A．减小速度，得到较小的牵引力
B．增大速度，得到较小的牵引力
C．减小速度，得到较大的牵引力
D．增大速度，得到较大的牵引力
C [汽车在上坡时，汽车的牵引力除了需要克服阻力以外，还要克服重力沿斜坡向下的分力，所以需要增大牵引力，由F＝可知，在P一定时，要增大牵引力，必须减小速度．]
3．一辆小车在水平面上做匀速直线运动，从某时刻起，小车所受牵引力和阻力随时间变化的规律如图所示，则作用在小车上的牵引力F的功率随时间变化的规律是下图中的( )
D [车所受的牵引力和阻力恒定，所以车做匀加速直线运动，牵引力的功率P＝Fv＝F(v0＋at)，故选项D正确．]
4．汽车以恒定功率P由静止出发，沿平直路面行驶，最大速度为v，则下列判断正确的是( )
A．汽车先做匀加速运动，最后做匀速运动
B．汽车先做加速度越来越大的加速运动，最后做匀速运动
C．汽车先做加速度越来越小的加速运动，最后做匀速运动
D．汽车先做加速运动，再做减速运动，最后做匀速运动
C [汽车在恒定功率下的启动中，力的大小与v的大小有关，由P＝Fv知若v增大，则F减小，a也将减小，当a＝0时，F＝f，做匀速运动，故选C.]
5．(多选)位于水平面上的物体在水平恒力F1作用下，做速度为v1的匀速运动；若作用力变为斜向上的恒力F2，物体做速度为v2的匀速运动，且F1与F2功率相同．则可能有( )
A．F2＝F1 v1＞v2
B．F2＝F1 v1＜v2
C．F2＞F1 v1＞v2
D．F2＜F1 v1＜v2
BD [设F2与水平方向成θ角，由题意可知：物体都做匀速运动，受力平衡，则F1＝μmg，F2cos θ＝μ(mg－F2sin θ)，解得F2(cos θ＋μsin θ)＝μmg＝F1①
根据F1与F2功率相同得F1v1＝F2v2cos θ②
由①②可得＝＝1＋μtan θ＞1，所以v1＜v2，而F1与F2的关系无法确定，大于、小于、等于都可以，故选BD.]
6．(多选)如图所示为汽车在水平路面上启动过程中的速度图像，Oa为过原点的倾斜直线，ab段表示以额定功率行驶时的加速阶段，bc段是与ab段相切的水平直线，则下述说法正确的是( )
A．0～t1时间内汽车做匀加速运动且功率恒定
B．t1～t2时间内汽车牵引力逐渐减小
C．t1～t2时间内的平均速度为(v1＋v2)
D．在全过程中t1时刻的牵引力及其功率都是最大值，t2～t3时间内牵引力最小
BD [由题图可知，0～t1时间内汽车做匀加速直线运动，牵引力恒定，由P＝F·v可知，汽车的功率均匀增大，A错误；t1～t2时间内汽车以额定功率行驶，速度逐渐增大，牵引力逐渐减小，B正确；因t1～t2时间内，ab图线与t轴所围面积大于ab直线与t轴所围面积，故该过程中的平均速度大于(v1＋v2)，C错误；0～t1时间内，牵引力恒定，功率均匀增大，t1时刻以后牵引力逐渐减小，到t2时刻牵引力等于阻力，达到最小，而t1时刻达到额定功率后，功率保持不变，D正确．]
二、非选择题(14分)
7．如图所示，质量为2 kg的物体在大小为24 N、沿斜面向上的力F作用下，由静止开始沿光滑斜面体向上运动，斜面的倾角为30°，斜面足够长(g取10 m/s2)．求：
(1)5 s内拉力对物体做功的功率；
(2)5 s末拉力对物体做功的功率；
(3)5 s末物体克服重力做功的功率．
[解析] 物体在斜面上运动的加速度大小
a＝＝ m/s2＝7 m/s2
5 s内发生的位移x＝at2＝×7×52 m＝87.5 m
5 s末物体的速度v1＝at＝35 m/s
5 s内拉力做的功W＝F·x＝24×87.5 J＝2 100 J
5 s内拉力做功的功率P＝＝420 W
5 s末拉力做功的功率P5＝F·v1＝24×35 W＝840 W
5 s末物体克服重力做功的功率
P′＝mgv1sin 30°＝20×35× W＝350 W.
[答案] (1)420 W (2)840 W (3)350 W
[能力提升练]
(时间：25分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．汽船航行时所受水的阻力与它的速度的平方成正比，如果汽船以速度v水平匀速航行时，发动机的功率为P.则当汽船以速度2v水平匀速航行时，发动机的功率为( )
A．P/2 B．2P
C．4P D．8P
D [汽船匀速航行时牵引力等于阻力，即F＝f，而阻力和速度的平方成正比，设比例系数为k，则f＝kv2，那么功率P＝Fv＝fv＝kv3，故当速度变为2v时，功率增大为8P，D正确．]
2.宇航员在地面进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，如图所示，在到达竖直状态的过程中，宇航员所受重力的瞬时功率的变化情况是( )
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
C [开始运动时，宇航员的速度为零，重力的瞬时功率为零．运动到最低点，宇航员的速度沿水平方向，与重力垂直，重力的瞬时功率也为零，摆动过程中重力的瞬时功率不为零，即重力的瞬时功率从无到有，又到无，先增大后减小，C正确．]
3．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(g取10 m/s2)( )
甲 乙
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为21 N
C．4 s末F的功率大小为42 W
D．4 s内F做功的平均功率为42 W
C [由速度—时间图像可得加速度a＝0.5 m/s2，
由牛顿第二定律得2F－mg＝ma，
所以F＝＝10.5 N，
4 s末，P＝F(2v物)＝10.5×2×2 W＝42 W，
4 s内，＝＝＝ W＝21 W，
故选项C正确．]
4.起重机的钢索将重物由地面吊到空中某一高度，其v-t图像如图所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图像可能是图中的哪一个( )
B [在0～t1时间内，重物加速上升，设加速度为a1，则据牛顿第二定律可得钢索的拉力F1＝mg＋ma1，速度v1＝a1t，所以拉力的功率为：P1＝m(a1＋g)a1t；在t1～t2时间内，重物匀速上升，拉力F2＝mg，速度v1＝a1t1，所以拉力的功率为：P2＝mga1t1；在t2～t3时间内，重物减速上升，设加速度大小为a2，则据牛顿第二定律可得钢索的拉力F2＝mg－ma2，速度v2＝a1t1－a2t，所以拉力的功率为：P1＝m(g－a2)(a1t1－a2t)．综上所述，只有B选项正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)如图所示，在光滑的水平面上有一质量为m＝10 kg的物体．在水平推力F1＝20 N的作用下，从静止开始做匀加速直线运动．运动3 s后推力F的大小变为F2＝10 N，方向不变．求：
(1)推力F在3 s内对物体所做的功；
(2)推力F在3 s内对物体做功的平均功率；
(3)推力F在4 s时做功的瞬时功率．
[解析] (1)设运动物体在前3 s内的加速度为a1，运动位移为x1，第3 s末的速度大小为vt，则有
a1＝＝ m/s2＝2 m/s2
x1＝a1t2＝×2×32 m＝9 m
vt＝a1t＝2×3 m/s＝6 m/s
所以推力F在3 s内对物体做的功
WF1＝F1x1＝20×9 J＝180 J.
(2)推力F在3 s内对物体做功的平均功率
＝＝ W＝60 W.
(3)4 s时物体的运动速度为
v′t＝vt＋a2t2＝vt＋t2＝6 m/s＋×1 m/s＝7 m/s
所以推力F在4 s时做功的瞬时功率
P＝F2v′t＝10×7 W＝70 W.
[答案] (1)180 J (2)60 W (3)70 W
6．(14分)一辆汽车质量为2×103 kg，最大功率为3×104 W，在水平路面由静止开始做直线运动，最大速度为v2，运动中汽车所受阻力恒定．发动机的最大牵引力为6×103 N，其行驶过程中牵引力F与车速的倒数的关系如图所示．试求：
(1)根据图线ABC判断汽车做什么运动？
(2)v2的大小；
(3)整个运动中的最大加速度；
(4)当汽车的速度为10 m/s时发动机的功率为多大？
[解析] (1)图线AB表示牵引力F不变，阻力f不变，汽车做匀加速直线运动，图线BC的斜率表示汽车的功率P，P不变，则汽车做加速度减小的加速直线运动，直至达到最大速度v2，此后汽车做匀速直线运动．
(2)汽车速度为v2时，牵引力为F1＝2×103 N，所以v2＝＝ m/s＝15 m/s.
(3)汽车做匀加速直线运动时的加速度最大，
阻力f＝＝ N＝2 000 N
a＝＝ m/s2＝2 m/s2.
(4)与B点对应的速度为v1＝＝ m/s＝5 m/s
当汽车的速度为10 m/s时处于图线BC段，故此时的功率为最大功率Pm＝3×104 W.
[答案] (1)见解析 (2)15 m/s
(3)2 m/s2 (4)3×104 W
