习题课3 动能定理和机械能守恒的综合应用
[学习目标] 1.掌握动能定理及其应用.2.熟练应用机械能守恒定律解题．
动能定理在多过程或多个物体问题中的应用
1．动能定理在多过程问题中的应用
(1)对于多个物理过程要仔细分析，将复杂的过程分割成一个一个子过程，分别对每个过程分析，得出每个过程遵循的规律，当每个过程都可以运用动能定理时，可以选择分段或全程应用动能定理更简单、方便．
(2)应用全程法解题求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同的情况分别对待，弄清楚物体所受的力在哪段位移上做功，哪些力做功，做正功还是负功，正确写出总功．
2．动能定理在两个(或多个)相互关联的物体系统中的应用
(1)从严格意义上讲课本上讲的动能定理是质点的动能定理，即质点动能的增量等于作用于质点的合外力所做的功．对于由相互作用的若干质点组成的系统，动能的增量在数值上等于一切外力所做的功与一切内力所做功的代数和，称为系统动能定理．
(2)由于作用力与反作用力的功的代数和不一定等于零，所以对于系统只考虑外力做功而应用动能定理很可能要犯错，所以往往把系统内各质点隔离分析，分别应用动能定理比较合适．
特别提醒：(1)应用动能定理最大的优势在于不要求深入研究过程变化的细节，对不涉及物体运动过程中的加速度和时间问题的，无论恒力做功还是变力做功，一般用动能定理求解．
(2)应用动能定理求力对物体做功时，位移应是物体相对地面的位移，而动能Ek＝mv2中“v”应是物体对地的速度．
【例1】 如图所示，ABCD为一竖直平面内的轨道．其中BC水平，A点比BC高出10 m，BC长1 m，AB和CD轨道光滑．一质量为1 kg的物体，从A点以4 m/s的速度开始运动，经过BC后滑到高出C点10.3 m的D点速度为0.求：(g取10 m/s2)
(1)物体与BC轨道间的动摩擦因数；
(2)物体第5次经过B点时的速度大小；
(3)物体最后停止的位置(距B点多少米)．
思路点拨：解答本题可按以下思路分析：
(1)分析从A到D过程，由动能定理求解．
(2)物体第5次经过B点时，物体在BC上滑动了4次，由动能定理求解．
(3)分析整个过程，由动能定理求解．
[解析] (1)由动能定理得
－mg(h－H)－μmgsBC＝0－mv
解得μ＝0.5.
(2)物体第5次经过B点时，物体在BC上滑动了4次，由动能定理得mgH－μmg·4sBC＝mv－mv，
解得v2＝4 m/s≈13.3 m/s.
(3)分析整个过程，由动能定理得
mgH－μmgs＝0－mv
解得s＝21.6 m
所以物体在轨道上来回运动了10次后，还有1.6 m，故距B点的距离为2 m－1.6 m＝0.4 m.
[答案] (1)0.5 (2)13.3 m/s (3)距B点0.4 m
对这种多过程问题，可以分段利用动能定理求解，也可以对全过程利用动能定理求解，解题时可根据具体情况选择使用.
1.(多选)如图所示，一质量m＝0.75 kg的小球在距地面高h＝10 m处由静止释放，落到地面后反弹，碰撞时无能量损失．若小球运动过程中受到的空气阻力f的大小恒为2.5 N，g取10 m/s2.下列说法正确的是( )
A．小球与地面第一次碰撞后向上运动的最大高度为5 m
B．小球与地面第一次碰撞后向上运动的最大高度为3.3 m
C．小球在空中运动的总路程为30 m
D．小球在空中运动的总路程为28.75 m
AC [设小球与地面第一次碰撞后向上运动的高度为h2，从静止释放到第一次碰撞后运动到高度h2的过程中，由动能定理有mg(h－h2)－f(h＋h2)＝0，解得：h2＝ h＝5 m，选项A正确；对小球运动的全过程，由动能定理可得，mgh－fs总＝0，解得s总＝＝30 m，选项C正确．]
两个物体组成的系统机械能守恒的求解方法
高考对机械能守恒定律的应用多数情况下考查的是两个物体组成的系统，这两个物体一般由细绳或轻杆连接在一起，从运动过程中所涉及的能量形式的角度来看，只有重力势能、动能之间的相互转化，“没有摩擦力和介质阻力”做功，系统满足机械能守恒．
求解这类问题的方法是首先找到两物体的速度关系，从而确定系统动能的变化，其次找到两物体上升或下降的高度关系，从而确定系统重力势能的变化，然后按照系统动能的变化等于重力势能的变化列方程求解，一般选用ΔEk＝－ΔEp的形式．其中寻找两物体的速度关系是求解问题的关键，按两物体连接方式和速度关系一般可分为以下三种：
(1)速率相等的连接体，关键在于寻找二者位移关系，确定系统重力势能的变化：如图甲所示，A、B在运动过程中速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解．
甲 乙
(2)角速度相等的连接体：如图乙所示，一轻质细杆的两端分别固定着A、B两小球，O点是一垂直纸面的光滑水平轴，A、B在运动过程中角速度相等，其线速度的大小与半径成正比，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解．
(3)某一方向分速度相等的连接体：如图丙所示，A放在光滑斜面上，B穿过竖直光滑杆PQ下滑，将B的速度v沿绳子和垂直于绳子方向分解，如图丁所示，其中沿绳子的分速度vx与A的速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解．
丙 丁
【例2】 如图所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的定滑轮与质量为M的砝码相连．已知M＝2m，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h(此时竖直绳长小于桌高)的距离，木块仍在桌面上，则此时砝码的速度为多大？
思路点拨：对木块和砝码组成的系统，因只有砝码重力做功，系统的机械能守恒．
[解析] 方法一：利用E2＝E1求解
设砝码开始离桌面的距离为x，取桌面所在的水平面为参考平面，则系统的初态机械能E1＝－Mgx，
系统的末态机械能E2＝－Mg(x＋h)＋(M＋m)v2
由E2＝E1，得－Mg(x＋h)＋(M＋m)v2＝－Mgx
又M＝2m
联立以上两式得v＝.
方法二：利用ΔEk增＝ΔEp减求解
在砝码下降h的过程中，系统增加的动能
ΔEk增＝(M＋m)v2
系统减少的重力势能ΔEp减＝Mgh
由ΔEk增＝ΔEp减，得(M＋m)v2＝Mgh
得v＝＝.
方法三：利用ΔEm增＝ΔEM减求解
在砝码下降的过程中，木块增加的机械能ΔEm增＝mv2，
砝码减少的机械能ΔEM减＝Mgh－Mv2，
由ΔEm增＝ΔEM减，得mv2＝Mgh－Mv2，
得v＝.
[答案]
动能定理与机械能守恒定律的选用思路
(1)从研究对象看，动能定理主要用于单个质点，而机械能守恒定律运用于系统．
(2)从做功角度看，除重力和系统内的弹力做功外，有其他力参与做功选用动能定理．没有其他力参与做功对系统可以选用机械能守恒定律，也可以选用动能定理．
(3)机械能守恒定律主要在于判断是否守恒以及选择恰当的守恒方程，动能定理主要则是选择正确的过程并求出该过程的总功．
2.如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量为m的球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速度释放．求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功？
[解析] 设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB.如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，因为机械能没有转化为其它形式的能，故系统机械能守恒，可得
mgL＋mgL＝mv＋mv
因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，
故vB＝2vA
由以上二式得vA＝，vB＝
根据动能定理．可解出杆对A、B做的功
对A有WA＋mg＝mv－0
所以WA＝－0.2 mgL
对B有：WB＋mgL＝mv－0，所以WB＝0.2 mgL.
[答案] －0.2 mgL 0.2 mgL
1.如图所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2 mg，重力加速度大小为g.质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
A.mgR B.mgR
C.mgR D.mgR
C [在Q点，N－mg＝，所以v＝；由P到Q，根据动能定理得mgR－Wf＝mv2，解得Wf＝mgR，故C正确．]
2.如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长时，圆环高度为h.让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑到底端的过程中(杆与水平方向夹角为30°)( )
A．圆环机械能守恒
B．弹簧的弹性势能先减小后增大
C．弹簧的弹性势能变化了mgh
D．弹簧与光滑杆垂直时圆环动能最大
C [圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，圆环机械能不守恒，A错误；弹簧形变量先增大后减小然后再增大，所以弹性势能先增大后减小再增大，B错误；由于圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，圆环的机械能减少了mgh，所以弹簧的弹性势能增加mgh，C正确；弹簧与光滑杆垂直时，圆环所受合力沿杆向下，圆环具有与速度同向的加速度，所以做加速运动，D错误．]
3.质量均为m、半径均为R的两个完全相同的小球A、B，在水平轨道上以某一初速度向右冲上倾角为θ的倾斜轨道，两小球运动过程中始终接触．若两轨道通过一小段圆弧平滑连接，不计摩擦阻力及弯道处的能量损失，则两小球运动到最高点的过程中，A球对B球所做的功 ( )
A．0 B．mgRsin θ
C．2mgRsin θ D．2mgR
B [设A球的重心在斜面上上升的高度为h.两球的初速度大小为v.对A、B整体，根据机械能守恒定律得
·2mv2＝mgh＋mg(h＋2Rsin θ)
再对B，由动能定理得W－mg(h＋2Rsin θ)＝0－mv2
联立解得A球对B球所做的功W＝mgRsin θ，故选B.]
4．一质量为m的物体以速度v在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，假设t＝0时刻物体在轨迹最低点且重力势能为零，那么，下列说法正确的是( )
A．物体运动的过程中，重力势能随时间的变化关系为Ep＝mgR
B．物体运动的过程中，动能随时间的变化关系为Ek＝mv2－mgR
C．物体运动的过程中，机械能守恒，且机械能为E＝mv2
D．物体运动的过程中，机械能随时间的变化关系为E＝mv2＋mgR
D [重力势能Ep＝mg(R－Rcos θ)，θ＝ωt＝t.则Ep＝mgR，物体的动能Ek＝mv2不变，机械能Ep＝mv2＋mgR.故D项正确．]
5.如图所示，让摆球从图中A位置由静止开始下摆，正好摆到最低点B位置时线被拉断．设摆线长l＝1.6 m，O点离地面高H＝5.8 m，不计线断时的机械能损失，不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)摆球刚到达B点时的速度大小；
(2)摆球落地时的速度大小．
[解析] (1)摆球由A到B的过程中只有重力做功，故机械能守恒．根据机械能守恒定律得
mg(1－sin 30°)l＝mv，则vB＝＝＝ m/s＝4 m/s.
(2)设摆球落地点为题图中的D点，则摆球由B到D过程中只有重力做功，机械能守恒．根据机械能守恒定律得
mv－mv＝mg(H－l)
则vD＝
m/s＝10 m/s.
[答案] (1)4 m/s (2)10 m/s
课件45张PPT。第四章 机械能和能源习题课3 动能定理和机械能守恒的综合应用234动能定理在多过程或多个物体问题中的应用56789101112131415两个物体组成的系统机械能守恒的求解方法1617181920212223242526272829303132333435363738394041424344点击右图进入…Thank you for watching !重难强化训练(三)
(时间：60分钟 分值：100分)
一、选择题(本题共10个小题，每题6分，共60分．第1～6题为单选题，7～10题为多选题．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不选的得0分．)
1．在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( )
A．一样大 B．水平抛的最大
C．斜向上抛的最大 D．斜向下抛的最大
A [不计空气阻力的抛体运动，机械能守恒．故以相同的速率向不同的方向抛出落至同一水平地面时，物体速度的大小相等．故只有选项A正确．]
2．质量为m的物体，从静止开始以a＝g的加速度竖直向下运动h米，下列说法中正确的是( )
A．物体的动能增加了mgh
B．物体的动能减少了mgh
C．物体的势能减少了mgh
D．物体的机械能减少了mgh
A [物体的合力为ma＝mg，向下运动h米时合力做功mgh，根据动能定理，可知物体的动能增加了mgh，A对，B错；向下运动h米过程中重力做功mgh，物体的势能减少了mgh，机械能减少mgh，D错．]
3．如图所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R.一质量为m的物体，与两个轨道的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A从静止下滑时，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力做功为( )
A.μmgR B.mgR
C．mgR D．(1－μ)mgR
D [设物体在AB段克服摩擦力所做的功为WAB，物体从A到C的全过程，根据动能定理有mgR－WAB－μmgR＝0，所以有WAB＝mgR－μmgR＝(1－μ)mgR.]
4．如图所示，木板长为l，木板的A端放一质量为m的小物体，物体与板间的动摩擦因数为μ.开始时木板水平，在绕O点缓慢转过一个小角度θ的过程中，若物体始终保持与板相对静止．对于这个过程中各力做功的情况，下列说法中正确的是( )
A．摩擦力对物体所做的功为mglsin θ(1－cos θ)
B．弹力对物体所做的功为mglsin θcos θ
C．木板对物体所做的功为mglsin θ
D．合力对物体所做的功为mglcos θ
C [重力是恒力，可直接用功的计算公式，则WG＝－mgh；摩擦力虽是变力，但因摩擦力方向上物体没有发生位移，所以Wf＝0；因木块缓慢运动，所以合力F合＝0，则W合＝0；因支持力FN为变力，不能直接用公式求它做的功，由动能定理W合＝ΔEk知，WG＋WN＝0，所以WN＝－WG＝mgh＝mglsin θ.]
5.伽利略曾设计如图所示的一个实验，将摆球拉至M点放开，摆球会达到同一水平高度上的N点．如果在E或F处钉上钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M点．这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面(或弧线)下滑时，其末速度的大小( )
A．只与斜面的倾角有关
B．只与斜面的长度有关
C．只与下滑的高度有关
D．只与物体的质量有关
C [小球在摆动过程中受重力和绳的拉力，绳的拉力不做功，故小球机械能守恒．同样，在光滑斜面上有mgh＝mv2，即小球的末速度只与下滑的高度h有关，故只有C正确．]
6.有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一不可伸长的轻细绳相连，A、B质量相等，且可看作质点，如图所示，开始时细绳水平伸直，A、B静止．由静止释放B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为60°时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B的绳长为( )
A. B.
C. D.
D [由运动的合成与分解可知，滑块A和B在绳长方向的速度大小相等，有vAsin 60°＝vB cos 60°，解得vA＝v，将滑块A、B看成一系统，系统的机械能守恒，设滑块B下滑的高度为h，有mgh＝mv＋mv，解得h＝，由几何关系可知绳子的长度为L＝2h＝，故选项D正确．]
7.如图所示，一木块沿着高度相同、倾角不同的3个斜面由顶端从静止开始下滑，已知木块与各斜面间的动摩擦因数相同，则下面关于木块滑到底端时的速度与动能的表述正确的是( )
A．倾角大的动能最大 B．倾角大的运动时间最短
C．三者的速度相同 D．三者的动能相同
AB [木块无论沿哪条斜面运动都是重力和摩擦力做功．设静止时木块到底端的竖直高度差为h，滑到底端的动能为Ek，速度大小为v，由动能定理知，mgh－μmgcos α·s＝mv2，s＝，倾角越大，动能越大，所以A正确，D错误；由于速度是矢量，所以沿不同斜面到达底端时速度大小、方向均不同，故C错误；设木块沿倾角为α的斜面运动的加速度为a，则mgsin α－μmgcos α＝ma，s＝，由s＝at2得t＝，所以α越大，t越小，故B正确．]
8.如图为两个半径不同而内壁光滑的固定半圆轨道，质量相等的两个小球分别从与球心在同一水平高度的A、B两点由静止开始自由滑下，它们通过轨道最低点时，下列说法正确的是 ( )
A．向心加速度相同
B．对轨道的压力相等
C．机械能相等
D．速度相同
ABC [设小球的质量为m，通过最低点时的速度大小为v，碗的半径为R，则根据机械能守恒定律mgR＝mv2，得v＝，由于两碗的半径不同，两球过最低点时的速度不同，D错．a＝＝2g，两球过最低点时的加速度相等，A对．由牛顿第二定律知N－mg＝m，N＝mg＋m＝3mg，两球过最低点时对碗的压力大小相等，B对．两球的机械能都守恒，均等于它们在最高点的机械能，若取最高点所在水平面为参考平面，则两球的机械能都等于零，C对．]
9.如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中 ( )
A．圆环和弹簧组成的系统机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
AB [圆环沿杆下滑的过程中，圆环与弹簧组成的系统动能、弹性势能、重力势能之和守恒，选项A正确，D错误；弹簧长度为2L时，圆环下落的高度h＝L，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能增加了ΔEp＝mgh＝mgL，选项B正确；圆环释放后，圆环向下先做加速运动，后做减速运动，当速度最大时，合力为零，下滑到最大距离时，具有向上的加速度，合力不为零，选项C错误．]
10.如图所示，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P.它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W.重力加速度大小为g.设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则 ( )
A．a＝ B．a＝
C．N＝ D．N＝
AC [质点P下滑到最低点的过程中，由动能定理得mgR－W＝mv2，则速度v＝，在最低点的向心加速度a＝＝，选项A正确，选项B错误；在最低点时，由牛顿第二定律得N－mg＝ma，N＝，选项C正确，选项D错误．]
二、非选择题(本题共2小题，共40分)
11．(20分)如图所示，斜面倾角为θ，滑块质量为m，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，从距挡板为s0的位置以v0的速度沿斜面向上滑行．设重力沿斜面的分力大于滑动摩擦力，且每次与P碰撞前后的速度大小保持不变，挡板与斜面垂直，斜面足够长．求滑块从开始运动到最后停止滑行的总路程s.
[解析] 滑块在斜面上运动时受到的摩擦力大小
f＝μN＝μmgcos θ ①
整个过程滑块下落的总高度
h＝s0sin θ ②
根据动能定理
mgh－f·s＝0－mv ③
联立①②③得
s＝＋.
[答案] ＋
12．(20分)如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h.两球从静止开始下滑，不计球与水平面碰撞时的机械能损失，且地面光滑．求：
(1)两球在光滑水平面上运动时的速度大小；
(2)此过程中杆对A球所做的功．
[解析] (1)由于不计摩擦及碰撞时的机械能损失，因此两球组成的系统机械能守恒．两球在光滑水平面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有：
mg(2h＋Lsin θ)＝2·mv2
解得：v＝.
(2)因两球在光滑水平面上运动时的速度v比B从h处自由滑下的速度大，增加的动能就是杆对B做正功的结果．B增加的动能为：
ΔEkB＝mv2－mgh＝mgLsin θ.
因系统的机械能守恒，所以杆对B球做的功与杆对A球做的功的数值应该相等，杆对B球做正功，对A做负功．
所以杆对A球做的功为：
W＝－mgLsin θ.
[答案] (1) (2)－mgLsin θ
