2．运动的合成与分解
学 习 目 标
知 识 脉 络(教师用书独具)
1.理解什么是合运动、分运动．(重点)
2．知道合运动与分运动间的关系．
3．掌握运动的合成与分解的方法．(重点、难点)
一、位移和速度的合成与分解
1．合运动与分运动
小船渡河时，同时参与了垂直于河岸的运动和沿河岸顺流而下的运动，这两个运动叫分运动，实际的运动叫合运动．
2．位移的合成与分解
(1)合位移与分位移的效果相同，它们可以互相替代．
(2)由分位移求合位移叫位移的合成；由合位移求分位移叫作位移的分解．
(3)分位移与合位移之间的关系遵守平行四边形定则．
3．速度的合成与分解
速度的合成和分解遵循平行四边形定则．
二、运动的合成与分解的应用
1．运动的合成与分解
(1)运动的合成：已知分运动求合运动．
(2)运动的分解：已知合运动求分运动．
2．运动的合成与分解遵从平行四边形定则
(1)如果两个分运动方向在同一直线上，求合运动时直接进行代数加减．
(2)如果两个分运动方向不在同一条直线上，而是成一定夹角，则根据平行四边形定则进行合成与分解．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)合位移与分位移效果相同，合位移等于各分位移的代数和．
( )
(2)分析小船渡河问题时，合运动与分运动遵循平行四边形定则．
( )
(3)合速度一定比每个分速度都大． ( )
(4)合运动的时间等于两个分运动经历的时间． ( )
(5)两个匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动．( )
【提示】 (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
2．(多选)雨滴由静止开始下落，遇到水平吹来的风，下述说法正确的是( )
A．风速越大，雨滴下落时间越长
B．风速越大，雨滴着地时速度越大
C．雨滴下落时间与风速无关
D．雨滴着地速度与风速无关
BC [雨滴竖直向下的下落运动和在风力作用下的水平运动是雨滴同时参与的两个分运动，雨滴下落的时间由竖直分运动决定，两分运动彼此独立，互不影响，雨滴下落的时间与风速无关，选项A错误，选项C正确；雨滴着地时的速度与竖直分速度和水平风速有关，风速越大，雨滴着地时的速度越大，选项B正确，选项D错误．]
3．(多选)已知河水自西向东流动，流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2>v1，用小箭头表示船头的指向及小船在不同时刻的位置，虚线表示小船过河的路径，则下图中可能正确的是( )
CD [小船的路径应沿合速度方向，不可能与船头指向相同，故A、B错误，C、D正确．]
4．如图所示，竖直放置且两端封闭的玻璃管内注满清水，水中放一个用红蜡做成的圆柱体，玻璃管倒置时圆柱体能匀速运动．已知圆柱体实际运动的速度是5 cm/s，θ＝30°，则玻璃管水平运动的速度是( )
A．5 cm/s B．4.33 cm/s
C．2.5 cm/s D．无法确定
B [将实际速度v分解如图，则玻璃管的水平速度vx＝vcos θ＝5cos 30° cm/s＝5× cm/s＝4.33 cm/s，B正确．]
对合运动与分运动的理解
1．合运动与分运动
(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动．
(2)物体的实际运动一定是合运动，实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度是它的分位移、分速度、分加速度．
2．合运动与分运动关系的四个特性
(1)等效性：各分运动的共同效果与合运动的效果相同．
(2)等时性：各分运动与合运动同时发生和同时结束，经历的时间相同．
(3)独立性：各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响．
(4)同体性：各分运动与合运动是同一物体的运动．
3．合运动与分运动的求法
不管合成还是分解，其实质是对运动的位移x、速度v和加速度a的合成与分解．因为位移、速度、加速度都是矢量，所以求解时遵循矢量运算的平行四边形定则．
特别提醒：(1)只有同一物体的两个分运动才能合成．
(2)只有同时进行的两个分运动才能合成．
(3)物体实际运动的方向就是合速度的方向．
【例1】 某质点在xOy平面上运动，其在x轴方向和y轴方向上的v-t图象分别如图甲和图乙所示．则下列判断正确的是( )
甲 乙
A．该质点做匀变速曲线运动
B．该质点有恒定的加速度，大小为2.5 m/s2
C．该质点的初速度为7 m/s
D．前2 s内质点的位移为21 m
思路点拨：解答本题可按以下三点进行分析：
(1)图中给出的两个v-t图象是同一质点的两个分运动，实际速度即合速度，应为两分速度在该时刻速度的矢量和．
(2)从v-t图象中求出两个分加速度，实际加速度即为合加速度，应为两分加速度的矢量和．
(3)从v-t图象中求出两个分位移，实际位移即为合位移，应为两分位移的矢量和．
B [根据图甲，沿x轴方向的加速度ax＝1.5 m/s2，根据图乙，沿y轴方向的加速度ay＝2 m/s2，初速度方向与x轴正方向的夹角的正切值tan α＝＝，加速度方向与x轴正方向的夹角的正切值tan θ＝＝＝，初速度方向和加速度方向相同，该质点做匀加速直线运动，选项A错误．该质点的加速度a＝＝2.5 m/s2，选项B正确．该质点的初速度v＝＝5 m/s，选项C错误．前2 s物体沿x轴方向的位移x＝×2×(3＋6)m＝9 m，前2 s物体沿y轴方向的位移y＝×2×(4＋8) m＝12 m，合位移s＝＝15 m，选项D错误．]
?1?利用运动的合成分析问题时，一定要分清分运动和合运动，且各运动的参考系要统一.
?2?运动的分解像力的分解一样，若无约束条件，一个运动可以分解为无数组分运动，但具体分解运动时，常按运动的效果分解或正交分解.
1.如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物( )
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为 v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
D [以帆板为参照物，帆船具有朝正东方向的速度v和朝正北方向的速度v，两速度的合速度大小为v，方向朝北偏东45°，故选项D正确．]
运动的合成与分解的应用
1．小船渡河问题
小船相对于河岸的运动是小船的实际运动，也是合运动，可分解为小船相对静水的运动和随水下漂的运动两个分运动．此类问题常常讨论以下两个情况：
(1)渡河时间最短
若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不可能提供指向河对岸的分速度．因此只要使船头垂直于河岸航行即可．由图可知，此时t短＝，船渡河的位移s＝，位移方向满足tan θ＝.
(2)渡河位移最短
求解渡河位移最短问题，分为两种情况：
①若v水＜v船，最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水，v合⊥v水，如图所示．
②若v水>v船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽d，寻找最短位移的方法是：
如图所示，按水流速度和船静水速度大小的比例，先从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，v船为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线为船位移最小时的合运动的方向．这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝，最短位移s短＝，即v船⊥v合时位移最短，过河时间t＝.
【例2】 有一小船要渡过一条宽度d＝180 m的河流，已知河水的流速v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度v2＝5 m/s，求：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
思路点拨：(1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关．
(2)船渡河位移最短值与v船和v水的大小有关．v船>v水时，河宽即为最短位移；v船[解析] (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，如图甲所示．合速度为v，垂直分速度v2＝5 m/s
t＝
v＝
x＝vt
代入数据得t＝36 s，x＝90 m.
(2)欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与河岸方向成某一夹角α，如图乙所示．
有v2cos α＝v1，得α＝60°
所以当船头指向上游与河岸夹角为60°时航程最短．
x′＝d
t′＝
代入数据得t′＝24 s，x′＝180 m.
[答案] (1)船头垂直于河岸 36 s 90 m (2)船头指向上游与河岸夹角为60° 24 s 180 m
小船渡河问题
1．小船渡河时间仅与河宽和船沿垂直于河岸方向上的速度大小有关，与河水流动的速度无关．
2．小船渡河问题，多是求渡河最短时间或是渡河最小位移，需牢记这两类渡河问题的解题关键：
(1)船头与河岸垂直时渡河时间最短；
(2)船随水向下游运动速度与水速相同；
(3)船的合速度与河岸垂直时能到达正对岸．
2．一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图所示．已知船在静水中行驶的速度为v1，水流速度为v2，河宽为d.则下列判断正确的是( )
A．船渡河时间为
B．船渡河时间为
C．船渡河过程被冲到下游的距离为·d
D．船渡河过程被冲到下游的距离为·d
C [小船正对河岸运动，渡河时间最短t＝，沿河岸运动的位移s2＝v2t＝·d，所以A、B、D选项错误，C选项正确．]
2．“关联”速度的分解问题
(1)“关联”速度的特点
绳、杆等相牵连的物体，在运动过程中，两端点的速度通常是不同的，但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等．
(2)解决“关联”速度问题的关键
①物体的实际运动是合运动，要按实际运动效果分解速度．
②沿杆(或绳)方向的速度分量大小是相等的．
【例3】 (多选)如图所示，物体A和B的质量均为m，且通过定滑轮用轻绳连接(不计绳子与滑轮、滑轮与轴之间的摩擦)．在用水平变力F拉物体B沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中( )
A．物体A也做匀速直线运动
B．绳子的拉力始终大于物体A所受的重力
C．物体A的速度大于物体B的速度
D．地面对物体B的支持力逐渐增大
思路点拨：解答本题应注意以下两点：
(1)只有物体的实际运动才是合运动．
(2)两物体沿绳方向速度相等．
BD [物体B的速度为v，物体A的速度等于沿绳方向的速度．物体B水平向右的速度可分解为沿绳子向右下方的速度v1和垂直于绳子指向绳子摆动方向的速度v2，如图①所示．v为合速度，v1、v2为分速度，所以v1＝vcos α.由于v不变，当B向右运动时，α减小，故v1增大，且v1＜v，则物体A加速上升，有向上的加速度，A物体处于超重状态，故绳子的拉力大于物体A的重力，B正确，A、C错误；对B受力分析如图②所示，当α＝90°时，地面对B的支持力FN＝0，α减小，sin α减小，当α＝0°时，FN达最大等于mg，故D项正确．]
① ②
1．“关联”速度
在运动过程中，绳、杆等有长度的物体，其两端点的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，我们称之为“关联”速度．如图所示．
2．速度分解的方法(求解方法)
为了解题方便，通常将物体的实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)的两个分量，根据沿绳(或杆)方向的分速度大小相等列方程求解．
3.如图所示，人在岸上以恒定速度v拉船，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为( )
A．vcos θ B.
C．v D．vsin θ
B [船的速度产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v＝v船cos θ，故v船＝，所以选项B正确．]
1．关于合运动与分运动的关系，下列说法正确的是( )
A．合运动速度一定大于分运动速度
B．合运动加速度不可能与分运动加速度相同
C．合运动的速度与分运动的速度没有关系，但合运动与分运动的时间相等
D．合位移可能等于两分位移的代数和
D [根据平行四边形定则，作出以两个互成角度的分速度为邻边的平行四边形，过两邻边夹角的对角线表示合速度，对角线的长度可能等于邻边长度，也可能小于邻边长度，也可能大于邻边长度，选项A错误；合运动的加速度可能与分运动的加速度相同，选项B错误；合运动与分运动具有等效性、同体性、等时性等关系，选项C错误；如果两个分运动在同一直线上，且方向相同，其合位移就等于两分位移的代数和，选项D正确．]
2．(多选)关于运动的合成与分解，下列说法正确的是( )
A．合运动的位移是分运动位移的矢量和
B．合运动的速度一定比其中任何一个分速度大
C．合运动的时间与分运动的时间相等
D．若合运动是曲线运动，则分运动中至少有一个是曲线运动
AC [位移是矢量，合位移是分位移的矢量和，选项A正确；速度也是矢量，满足平行四边形定则，根据平行四边形的特点，合速度可以比分速度小，选项B错误；根据合运动与分运动的等时性，选项C正确；两个直线运动的合运动也可以是曲线运动，例如，互成夹角的匀速直线运动与匀加速直线运动合成时，合运动是曲线运动．]
3．如图所示，在玻璃管的水中有一红蜡块正在匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管从AB位置水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的( )
A．直线P
B．曲线Q
C．曲线R
D．三条轨迹都有可能
B [红蜡块参与了竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀加速直线运动这两个分运动，实际运动的轨迹即是合运动的轨迹．由于它在任意一点的合速度方向是向上或斜向右上的，而合加速度就是水平方向的加速度，方向是水平向右的，合加速度和合速度之间有一定夹角，故轨迹是曲线．又因为物体做曲线运动的轨迹总向加速度方向偏折(或加速度方向总指向曲线的凹侧)，故选项B正确．]
4．某电视台群众娱乐节目中有一个环节是让群众演员站在一个旋转较快的大平台的边缘上，向平台圆心处的球筐内投篮球．如果群众演员相对平台静止，则下面各俯视图中哪幅图中的篮球可能被投入球筐(图中箭头指向表示投篮方向，群众演员沿切线方向与转盘同速，且v＝ωR)( )
A B C D
B [篮球被投出时由于惯性具有同圆盘边缘线速度等大的切向速度v1＝ωR，要投入平台中心处的篮筐，篮球的合速度应该沿半径方向水平向左，根据平行四边形定则可知，选项B正确，其他选项所标注的篮球投出方向都不能使篮球的合速度沿半径方向指向圆心．]
5．河宽d＝200 m，水流速度v1＝3 m/s，船在静水中的速度v2＝5 m/s.求：
(1)欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？
(2)欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？
[解析] (1)当船头指向对岸时，渡河时间最短，如图甲所示．
tmin＝＝40 s
船经过的位移大小
x＝vtmin＝tmin
≈233 m.
甲
(2)欲使船航行距离最短，需使船的实际位移(合位移)与河岸垂直，设此时船的航行速度v2与岸成θ角，如图乙所示．
则cos θ＝＝.
v′＝＝4 m/s
渡河时间t′＝＝50 s.
乙
[答案] (1)船头指向对岸 40 s 233 m
(2)船头指向上游，与岸所成角的余弦值为 50 s
课件64张PPT。第一章 抛体运动2．运动的合成与分解合垂直分效果替代分合合分平行四边形平行四边形分运动合运动合运动分运动代数平行四边形对合运动与分运动的理解运动的合成与分解的应用点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二)
[基础达标练]
(时间：15分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．一个质点同时参与互成一定角度(不在同一直线)的匀速直线运动和匀变速直线运动，该质点的运动特征是( )
A．速度不变
B．运动中的加速度不变
C．轨迹是直线
D．轨迹是曲线
BD [合运动的加速度等于两个分运动的加速度矢量和，即合运动的加速度是恒定加速度a，而合运动的加速度与合运动的速度不在同一条直线上，故合运动一定是曲线运动．所以B、D正确．]
2．好莱坞电影以惊险刺激的镜头赢得了众多影迷的喜爱，男演员从高速匀速行驶的列车上飞身跃下的镜头更是屡见不鲜．如果不计空气阻力，在地面上从垂直列车运动方向看，演员落地过程中，相对于地面的运动轨迹可能是( )
A B C D
C [演员从高速匀速行驶的列车上飞身跃下时．速度是水平的，只受重力作用，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，这两个运动的合运动一定是匀变速曲线运动．所以在地面上从垂直列车运动方向看，演员落地过程中，轨迹曲线必然在合外力与水平速度方向之间，男演员从高速匀速行驶的列车上飞身跃下过程，只受重力，方向竖直向下，其初速度水平，故其轨迹向下弯曲．]
3.如图所示，在一张白纸上放置一把直尺，沿直尺的边缘放置一块直角三角板．将直角三角板沿刻度尺水平向右匀速运动，同时将一支铅笔从直角三角板直角边的最下端向上运动，而且向上的速度越来越大，则铅笔在纸上留下的轨迹可能是( )
A B C D
C [铅笔在垂直于直尺方向向上加速运动，沿着直尺方向匀速运动，则铅笔的运动轨迹为曲线，向着加速度方向弯曲，选项C正确，其他选项均错．]
4．塔式起重机模型如图所示，小车P沿吊臂向末端M水平匀速运动，同时将物体Q从地面竖直向上匀加速吊起．则能大致反映Q的运动轨迹的是( )
A B C D
B [物体Q从地面竖直向上匀加速吊起的同时，随着小车向右匀速直线运动，实际运动是两个运动的合运动．物体Q参与两个分运动，水平方向向右做匀速直线运动，竖直方向向上做匀加速直线运动；水平分运动无加速度，竖直分运动加速度向上，故物体合运动的加速度向上，轨迹向上弯曲，故A、C、D错误，B正确．]
5．某人横渡一条河，船划行速度和水流速度一定，此人过河最短时间为T1；若此船用最短的位移过河，则所需时间为T2，若船速大于水速，则船速与水速之比为( )
A. B.
C. D.
A [设船在静水中速度为v1，水流速度为v2，河宽为d，则过河最短时间T1＝；过河位移最短时，所用时间T2＝，联立以上两式得＝.]
6.均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦．当直杆滑到如图所示位置时，B球水平速度为vB，A球竖直向下的速度为vA，直杆与竖直方向的夹角为α，下列关于A、B两球速度的式子正确的是 ( )
A．vA＝vB
B．vA＝vBtan α
C．vA＝vBsin α
D．vA＝vBcos α
B [B球沿水平方向的运动可分解为沿直杆和垂直于直杆两个方向的分运动，同理A球竖直向下的运动也可分解为沿直杆和垂直于直杆两个方向的分运动，直杆不可伸缩，故A球沿直杆方向的分速度与B球沿直杆方向的分速度相等，即vAcos α＝vBsin α，化简得vA＝vBtan α，故B正确．]
二、非选择题(14分)
7．在一次漂流探险中，探险者驾驶摩托艇想上岸休息，江岸是平直的，江水沿江向下流速为v，摩托艇在静水中航速为u，探险者离岸最近点O的距离为d.如果探险者想在最短的时间内靠岸，则摩托艇登陆的地点离O的距离为多少？
[解析] 如果探险者想在最短的时间内靠岸，摩托艇的前端应垂直于河岸，即u垂直于河岸，如图所示，则探险者运动的时间为t＝，那么摩托艇登陆的地点离O的距离为x＝vt＝d.
[答案] d
[能力提升练]
(时间：10分钟 分值：20分)
1．(6分)(多选)一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x方向和y方向上的分运动速度随时间变化的规律如图所示．关于物体的运动，下列说法正确的是( )
A．物体做曲线运动
B．物体做直线运动
C．物体运动的初速度大小为50 m/s
D．物体运动的初速度大小为10 m/s
AC [由v-t图像可以看出，物体在x方向上做匀速直线运动，在y方向上做匀变速直线运动，故物体做曲线运动，选项A正确，B错误；物体的初速度大小为v0＝ m/s＝50 m/s，选项C正确，D错误．]
2．(14分)质量为m＝2 kg的物体在光滑的水平面上运动，在水平面上建立xOy坐标系，t＝0时物体位于坐标系的原点O，物体在x轴和y轴方向的分速度vx、vy随时间t变化图线如图甲、乙所示，求：
甲 乙
(1)t＝0时，物体速度的大小和方向；
(2)t＝8.0 s时，物体速度的大小和方向；(角度可用三角函数表示)
(3)t＝8.0 s时，物体的位置(用位置坐标x、y表示)．
[解析] (1)由题目中图可知，t＝0时刻，vx＝3.0 m/s，vy＝0，
所以t＝0时刻，物体的速度大小v0＝3.0 m/s，方向沿x轴正方向．
(2)t＝8.0 s时，vx＝3.0 m/s，vy＝4.0 m/s，
物体的速度大小v＝＝5 m/s
速度方向与x轴正向夹角设为α，
tan α＝＝
解得：α＝53°.
(3)t＝8.0 s时，物体的位置坐标x＝vxt＝24 m
y＝ayt2＝16 m
则物体的位置坐标是(24 m,16 m)．
[答案] (1)物体速度的大小为3.0 m/s，方向沿x轴正方向
(2)物体速度的大小为5 m/s，方向与x轴正向夹角为53°
(3)物体的位置坐标是(24 m,16 m)
