习题课1 抛体运动
[学习目标] 1.会运用运动的合成与分解降低复杂运动的难度，解决实际问题.2.掌握平抛运动的研究方法，应用平抛运动规律解决实际问题．
运动的合成与分解
1．利用运动的合成与分解，可以降低对复杂运动的认识和分析解决的难度，是分析解决问题的重要方法．
2．曲线运动分解的依据是力的独立作用原理和运动的独立性原理，即某一方向的运动情况由该方向的受力情况和初始条件决定，与另一个方向如何运动无关．
3．运动的合成与分解的法则是平行四边形定则；运动的合成与分解的内容是将描述运动的物理量(力、加速度、速度及位移)进行合成或分解．
【例1】 如图所示，一玻璃筒中注满清水，水中放一软木做成的小圆柱体R(圆柱体的直径略小于玻璃管的直径，轻重大小适宜，使它在水中能匀速上浮)．将玻璃管的开口端用胶塞塞紧(图甲)．现将玻璃管倒置(图乙)，在软木塞上升的同时，将玻璃管水平向右加速移动，观察软木塞的运动，将会看到它斜向右上方运动，经过一段时间，玻璃管移至图丙中虚线所示的位置，软木塞恰好运动到玻璃管的顶端．在下列选项中，能正确反映软木塞运动轨迹的是( )
C [木塞在竖直方向向上做匀速直线运动，而水平向右做初速度为零的匀加速直线运动，即y＝vyt，即经相同时间经过位移y相等，水平方向x＝at2，经相等时间Δx越来越大，图线应为C.]
判断合运动是直线运动，还是曲线运动，关键是看合速度与合加速度是否在一条直线上，而判断合运动是否为匀变速运动，关键是看物体的合加速度或合外力是否恒定不变.
1.在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为s，如图所示．关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是 ( )
A．相对地面的运动轨迹为直线
B．相对地面做变加速曲线运动
C．t时刻猴子对地速度的大小为v0＋at
D．t时间内猴子对地的位移大小为
D [猴子竖直向上做匀加速直线运动，水平向右做匀速直线运动，其合运动是匀变速曲线运动，A、B错误；t时刻猴子对地速度的大小为v＝，C错误；t时间内猴子对地的位移是指合位移，其大小为，D正确．]
平抛运动的特点和解题方法
平抛运动是典型的匀变速曲线运动，它的动力学特征是：水平方向有初速度而不受外力，竖直方向只受重力而无初速度，抓住了平抛运动的这个初始条件，也就抓住了它的解题关键，现将常见的几种解题方法介绍如下：
1．利用平抛运动的时间特点解题
平抛运动可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，只要抛出的时间相同，下落的高度和竖直分速度就相同．
2．利用平抛运动的偏转角度解题
设做平抛运动的物体，下落高度为h，水平位移为x时，速度vA与初速度v0的夹角为θ，由图甲可得：
甲
tan θ＝＝＝＝ ①
将vA反向延长与x相交于O点，设A′O＝d，则有：tan θ＝
解得d＝x，tan θ＝2＝2tan α ②
①②两式揭示了偏转角和其他各物理量的关系．
3．利用平抛运动的轨迹解题
平抛运动的轨迹是一条抛物线，已知抛物线上的任意一段，就可求出水平初速度和抛出点，其他物理量也就迎刃而解了．设图乙为某小球做平抛运动的一段轨迹，在轨迹上任取两点A和B，分别过A点作竖直线，过B点作水平线相交于C点，然后过BC的中点D作垂线交轨迹于E点，过E点再作水平线交AC于F点，小球经过AE和EB的时间相等，设为单位时间T，由Δy＝aT2知
乙
T＝＝
v0＝＝·xEF.
【例2】 一位网球运动员以拍击球使网球沿水平方向飞出．第一只球落在自己一方场地上后，弹跳起来，刚好擦网而过，落在对方场地的A点处，如图所示．第二只球直接擦网而过，也落在A点处．设球与地面的碰撞过程没有能量损失，且运动过程不计空气阻力，试问：
(1)两只球抛出时的初速度之比v1∶v2为多少？
(2)运动员击球点的高度H与网高h之比为多少？
[解析] (1)由于两只球从等高处做平抛运动，所以平抛运动的时间相等．由题意可知水平射程之比为s1∶s2＝1∶3，因此平抛运动的初速度之比为v1∶v2＝1∶3.
(2)第一只球落地后反弹做斜抛运动，根据运动的对称性，其中DB与OB是相同的平抛运动，则两球下落相同高度H－h后，水平距离s′1＋s′2＝2s1.设第一只球第一次落地的时间为t1，第二只球从抛出点到网的下落的时间为t2，根据公式可得H＝gt，H－h＝gt.
而s1＝v1t1，s1′＝v1t2，s2′＝v2t2，代入得v1t2＋v2t2＝2v1t1，t1＝2t2.
即H＝4(H－h)，解得＝.
[答案] (1)1∶3 (2)4∶3
研究平抛运动时要先分析物体在水平和竖直两个方向上的运动情况，根据运动的等时性和矢量关系列方程.
2.如图所示，在一次空地演习中，离地H高处的飞机以水平速度v1发射一颗炮弹欲轰炸地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v2竖直向上发射炮弹拦截．设拦截系统与飞机的水平距离为s，不计空气阻力．若拦截成功，则v1、v2的关系应满足( )
A．v1＝v2 B．v1＝ v2
C．v1＝ v2 D．v1＝ v2
D [设经t时间拦截成功，则平抛的炮弹下落h＝gt2，水平运动s＝v1t；
竖直上抛的炮弹上升H－h＝v2t－gt2，由以上各式得v1＝ v2，故D正确．]
1．(多选)物体受到几个力作用而做匀速直线运动，若突然撤去其中的一个力，它可能做( )
A．匀速直线运动 B．匀加速直线运动
C．匀减速直线运动 D．匀变速曲线运动
BCD [剩余几个力的合力恒定不为零，所以物体不可能做匀速直线运动，选项A错误．剩余的几个力的合力与撤去的力等值、反向、共线，所以这个合力恒定不变，物体一定做匀变速运动．若物体的速度方向与此合力方向相同，则物体做匀加速直线运动；若剩余的几个力的合力与物体的速度方向相反，则物体做匀减速直线运动；若剩余几个力的合力与速度不共线，物体做匀变速曲线运动，选项B、C、D正确．]
2．雨点以3 m/s的速度竖直下落，骑自行车的人感觉到雨点与竖直方向成60°角迎面打来，那么自行车行驶的速度是( )
A．3 m/s B．6 m/s
C. m/s D．3 m/s
D [雨点以地面为参考系，竖直下落，若以人为参考系，与竖直方向成60°角斜向下运动，因此，以人为参考系，雨点同时参与了竖直下落运动和水平方向的同自行车的速度大小相等的运动，tan 60°＝＝，自行车的速度为3 m/s，选项D正确，其他选项错误．]
3．如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车以速度v匀速向右运动到如图所示位置时，物体P的速度为( )
A．v B．vcos θ
C. D．vcos2 θ
B [如图所示，绳子与水平方向的夹角为θ，将小车的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，沿绳子方向的速度等于P的速度，根据平行四边形定则得，vP＝vcos θ，故B正确，A、C、D错误．]
4．(多选)如图所示，一个小球从楼梯的某一级台阶边缘正上方的O点水平抛出，当抛出时的速度为v1时，小球经过时间ta正好落在a点，当抛出时的速度为v2时，小球经过时间tb正好落在b点，则( )
A．v2<2v1 B．v2＝2v1
C．v2>2v1 D．ta>tb
CD [根据h＝gt2，由于ha>hb，故ta>tb，D正确．由于xb＝2xa，而ta>tb，故v2>2v1，C正确．]
5.某同学在某砖墙前的高处水平抛出一个石子，石子在空中运动的部分轨迹照片如图所示．从照片可看出石子恰好垂直打在一倾角为37°的斜坡上的A点．已知每块砖的平均厚度为10 cm，抛出点到A点竖直方向刚好相距200块砖，g取10 m/s2.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)石子在空中运动的时间t；
(2)石子水平抛出的速度v0.
[解析] (1)由题意可知：石子落到A点的竖直位移
y＝200×10×10－2 m＝20 m
由y＝
得t＝2 s.
(2)由A点的速度分解可得
v0＝vytan 37°
又因vy＝gt，解得vy＝20 m/s
故v0＝15 m/s.
[答案] (1)2 s (2)15 m/s
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(时间：45分钟 分值：100分)
一、选择题(本题共10个小题，每题6分，共60分．第1～6题为单选题，7～10题为多选题．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不选的得0分．)
1．一个物体在F1、F2、F3等几个力的共同作用下做匀速直线运动，若突然撤去力F1，则物体( )
A．可能做曲线运动
B．不可能继续做直线运动
C．必然沿F1的方向做直线运动
D．必然沿F1的反方向做匀加速直线运动
A [物体做匀速直线运动的速度方向与F1的方向关系不明确，可能相同、相反或不在同一条直线上．因此，撤去F1后物体所受合力的方向与速度的方向关系不确定，物体的运动情况也不能确定，所以只有A项正确．]
2．游泳运动员以恒定的速率垂直于河岸渡河，当水速突然变大时，对运动员渡河时间和经历的路程产生的影响是( )
A．路程变大，时间延长
B．路程变大，时间缩短
C．路程变大，时间不变
D．路程和时间均不变
C [运动员渡河可以看成是两个运动的合运动：垂直河岸的运动和沿河岸的运动．运动员以恒定的速率垂直河岸渡河，在垂直河岸方向的分速度恒定，由分运动的独立性原理可知，渡河时间不变；但是水速变大，沿河岸方向的运动速度变大，因时间不变，则沿河岸方向的分位移变大，总路程变大，故选项C正确．]
3．由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道．当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行．已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示．发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为( )
A．西偏北方向，1.9×103 m/s
B．东偏南方向，1.9×103 m/s
C．西偏北方向，2.7×103 m/s
D．东偏南方向，2.7×103 m/s
B [设当卫星在转移轨道上飞经赤道上空与同步轨道高度相同的某点时，速度为v1，发动机给卫星的附加速度为v2，该点在同步轨道上运行时的速度为v.三者关系如图，由图知附加速度方向为东偏南，由余弦定理知v＝v＋v2－2v1vcos 30°，代入数据解得v2≈1.9×103 m/s.选项B正确．]
4．四个小球在离地面不同高度同时从静止释放，不计空气阻力，从开始运动时刻起每隔相等的时间间隔，小球依次落到地面．下列各图中，能反映出刚开始运动时各小球相对地面的位置的是( )
A B C D
C [依题意可设第1个小球经时间t落地，则第2个小球经时间2t落地，第3个小球经时间3t落地，第4个小球经时间4t落地．又因为四个小球做的都是初速度为零的匀加速运动，因此它们下落的高度之比为1∶4∶9∶16，只有C正确．]
5.如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连．由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，则( )
A．v2＝v1 B．v2＞v1
C．v2≠0 D．v2＝0
D [如图所示，分解A上升的速度v，v2＝vcos α，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，α＝90°，故v2＝0，即B的速度为零，故选D.]
6.如图所示，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速为v0的平抛运动，恰落在b点．若小球初速变为v，其落点位于c，则( )
A．v0＜v＜2v0 B．v＝2v0
C．2v0＜v＜3v0 D．v＞3v0
A [过b点作一水平线MN，分别过a点和c点作出MN的垂线分别交MN于a′、c′点，由几何关系得：a′b＝bc′，作出小球以初速度v抛出落于c点的轨迹如图中虚线所示，必交b、c′之间的一点d，设a′、b间的距离为x，a′、d间的距离为x′，则研究小球从抛出至落至MN面上的运动可知，时间相同，x＜x′＜2x，故v0＜v＜2v0，选项A正确，B、C、D错误．]
7.如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法不正确的是( )
A．小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
ABC [小球落地时沿竖直方向和水平方向上的分速度大小分别为vy＝gt，vx＝＝，所以水平抛出时的初速度v0＝vx＝，选项A错误；设小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝＝＝＝，选项B错误；小球做平抛运动的时间由高度决定，与初速度大小无关，所以选项C错误；若小球初速度增大，则tan θ＝减小，θ减小，选项D正确．]
8.某次军事演习中，红方飞机甲正从北向南水平匀速飞行，飞行员发现其正前方距离x处有一架蓝方飞机乙正从东向西水平匀速飞行，随即水平发射炮弹，炮弹的发射方向与飞机的飞行方向成θ角，经过时间t炮弹击中飞机乙．已知飞机甲的速度为v1，乙的速度为v2，甲在地面上静止时发射炮弹的速度为v0.忽略炮弹竖直方向的位移和所受的空气阻力．则下列说法中不正确的是( )
A．tan θ＝ B．cos θ＝
C．t＝ D．t＝
ABD [将v0进行分解，分解成沿v1方向和沿v2方向，v0sin θ＝v2，sin θ＝，所以A、B选项错误，沿v1方向的速度v＝＋v1，所以C正确．]
9．在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点O(0,0)开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度－时间图像如图甲、乙所示，下列说法中正确的是( )
甲 乙
A．前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动
B．后2 s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向
C．4 s末物体的坐标为(4 m,4 m)
D．4 s末物体的坐标为(6 m,2 m)
AD [前2 s内物体在y轴方向速度为0，由题图甲知物体只沿x轴方向做匀加速直线运动，A正确；后2 s内物体在x轴方向做匀速运动，在y轴方向做初速度为0的匀加速运动，加速度沿y轴正方向，合运动是曲线运动，B错误；4 s内物体在x轴方向上的位移是x＝m＝6 m，在y轴方向上的位移为y＝×2×2 m＝2 m，所以4 s末物体的坐标为(6 m,2 m)，C错误，D正确．]
10．如图所示，一小球以初速度v0沿水平方向射出，恰好垂直地射到一倾角为30°的固定斜面上，并立即反方向弹回．已知反弹速度的大小是入射速度大小的，则下列说法中正确的是( )
A．在碰撞中小球的速度变化大小为v0
B．在碰撞中小球的速度变化大小为v0
C．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离的比为
D．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为
AD [小球垂直落到斜面上，根据平行四边形定则将速度分解，如图所示，
则v＝＝2v0，反弹后的速度大小为v′＝v＝v0，碰撞中小球的速度变化大小为Δv＝|v′－v|＝v0，选项A正确，选项B错误；小球在竖直方向下落的距离为y＝＝＝，水平方向通过的距离为x＝v0t＝v0·＝，位移之比为＝，选项D正确，选项C错误．]
二、非选择题(本题共2小题，共40分)
11．(18分)某学习小组设计了如图所示的装置研究平抛运动．图中M、N是两个完全相同的弧形轨道，两轨道上端均装有电磁铁，末端水平；A、B是两个完全相同的小铁球．(不计空气阻力和摩擦的影响)
(1)实验时，该小组同学将小铁球A、B吸在电磁铁上，保持h1＝h2，调整H到合适高度；然后断开电源，两小球同时由静止开始沿轨道滚下．经过多次重复实验，都能观察到A、B同时到达光滑水平面上的P点相碰．请你解释其中的道理：__________________
______________________________________________________.
(2)保持其他条件不变，如果增大H，A、B还能否在光滑水平面上某点相碰？
你的猜想是___________________________________________．
理由是________________________________________________．
[解析] (1)A、B两个小球同时开始做平抛运动和匀速直线运动，而球在水平方向做匀速直线运动，所以能在光滑水平面上的P点相碰．道理是：A、B两个小球在水平方向的运动状态相同．
(2)A、B两个小球同时开始做平抛运动和匀速直线运动，如果增大H，只能使A、B两个小球相碰的位置不在P点，但还能在光滑水平面上某点相碰．
所以猜想是：能在光滑水平面上某点相碰．理由是：A、B两个小球在水平方向上的运动状态相同．
[答案] 见解析
12．(22分)汽车以1.6 m/s的速度在水平地面上匀速行驶，汽车后壁货架上放有一货物(可视作质点)，架高1.8 m．由于前方事故，突然急刹车，汽车轮胎抱死，货物从架上落下．已知该型号汽车在所在路面行驶时刹车痕s(即刹车距离)与刹车前车速v的关系如图所示，忽略货物与架子间的摩擦及空气阻力，g取10 m/s2.求：
(1)汽车刹车过程中的加速度多大；
(2)货物在车厢底板上落点距车后壁的距离．
[解析] (1)汽车以速度v刹车，匀减速到零，刹车距离为s，由运动学公式v2＝2as，v-s图象知
当v＝4 m/s时，s＝2 m，代入数据得：
a＝4 m/s2.
(2)刹车后，货物做平抛运动，
h＝gt2，t＝0.6 s
货物的水平位移为：
s2＝vt＝0.96 m
汽车做匀减速直线运动，刹车时间为t′，
则t′＝＝0.4 s＜0.6 s
则汽车的实际位移为：
s1＝＝0.32 m
故Δs＝s2－s1＝0.64 m.
[答案] (1)4 m/s2 (2)0.64 m
