[体系构建]
[核心速填]
1．曲线运动速度的方向沿轨迹的切线方向．
2．质点做曲线运动的条件：合外力的方向与速度方向不在同一直线上．
3．运动的合成与分解遵从平行四边形定则．
4．平抛运动的规律：
vx＝v0，vy＝gt，速度偏向角tan θ＝.
x＝v0t，y＝gt2，位移偏向角tan α＝.
对合运动的性质和轨迹的判断
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动
一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的
匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零
的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
【例1】 如图为一架直升机运送物资，该直升机A用长度足够长的悬索(其重力可忽略)系住一质量m＝50 kg的物资B.直升机A和物资B以v＝10 m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，某时刻开始将物资放下，在t＝5 s时间内，物资在竖直方向上移动的距离按y＝2t2(单位：m)的规律变化．求：
(1)在t＝5 s时间内物资位移大小；
(2)在t＝5 s末物资的速度大小．
思路点拨：(1)物资在水平方向上匀速运动，在竖直方向上加速运动，分别求出水平和竖直方向上的位移的大小，根据平行四边形定则可以求得合位移的大小．
(2)在t＝5 s末物资的速度是物资的合速度的大小，分别求出在水平和竖直方向上的速度，再根据平行四边形定则可以求得合速度的大小．
[解析] (1)由y＝2t2
可知t＝5 s内
y＝50 m
x＝vt＝50 m
因此s＝＝50 m＝70.7 m.
(2)由y＝2t2
可知：a＝4 m/s2
t＝5 s时，vy＝at＝20 m/s
vx＝v＝10 m/s
v5＝＝10 m/s＝22.4 m/s.
[答案] (1)70.7 m (2)22.4 m/s
[一语通关] 轨迹、受力和速度方向的相互判定依据
(1)图中虚线是运动轨迹．由图可知做曲线运动的物体经过某一点后的运动轨迹一定夹在速度方向和受力方向之间．
(2)合力方向一定指向轨迹凹侧．
1．飞机在航空测量，它的航线要严格地从西到东，如果飞机的速度是80 km/h，风从南面吹来，风的速度是40 km/h，那么，
(1)飞机应朝什么方向飞行？
(2)如果所测地区长度为80 km，所需时间是多少？
[解析] (1)由题意可知，因风的影响，若飞机仍沿着从西到东，根据运动的合成可知，会偏向北，为了严格地从西到东，则飞机必须朝东偏南方向为θ角度飞行，
则有：v风＝v机sin θ，解得：sin θ＝＝，
则有：θ＝30°.
(2)所测地区长度为80 km，
所需时间是t＝ h＝2 h.
[答案] (1)飞机应朝东偏南30°角方向飞行 (2)2 h
多体平抛运动问题
1．多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时所涉及的问题．
2．三类常见的多体平抛运动
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动．
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定．
(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动．
【例2】 (多选)如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外马路宽x＝10 m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，则小球离开屋顶时的速度v的大小的可能值为(g取10 m/s2)( )
A．8 m/s B．12 m/s
C．6 m/s D．2 m/s
思路点拨：解本题的关键是找出隐含条件和临界条件，v0不能太大，否则小球将落在马路外边；v0又不能太小，否则被围墙挡住而不能落在马路上．因而只要分析落在马路上的两个临界状态，即可解得所求的可能值．
ABC [若v太大，小球落在马路外边，因此，要使球落在马路上，v的最大值vmax为球落在马路最右侧A点时的平抛初速度，如图所示，小球做平抛运动，设运动时间为t1.
则小球的水平位移：L＋x＝vmaxt1
小球的竖直位移：H＝gt
解以上两式得vmax＝(L＋x)＝13 m/s
若v太小，小球被墙挡住，因此，球不能落在马路上，v的最小值vmin为球恰好越过围墙的最高点P落在马路上B点时的平抛初速度，设小球运动到P点所需时间为t2，则此过程中小球的水平位移：L＝vmint2
小球的竖直方向位移：H－h＝gt
联立以上两式解得vmin＝L＝5 m/s，因此答案应为A、B、C.]
[一语通关] 从解答中可以看到，解题过程中画出示意图的重要性，它既可以使抽象的物理情境变得直观，也可以使隐藏于问题深处的条件显露无遗.小球落在墙外的马路上，其速度最大值所对应的落点位于马路的外侧边缘，而其速度最小值所对应的落点却不是马路的内侧边缘，而是围墙的最高点P.)
2.如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇．若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为( )
A．t B.t
C. D.
C [设两球间的水平距离为L，第一次抛出的速度分别为v1、v2，由于小球抛出后在水平方向上做匀速直线运动，则从抛出到相遇经过的时间t＝，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则从抛出到相遇经过的时间为t′＝＝，C项正确．]
课件27张PPT。第一章 抛体运动章末复习课平行四边形定则切线不在同一直线上gt 对合运动的性质和轨迹的判断多体平抛运动问题Thank you for watching !章末综合测评(一) 抛体运动 匀速圆周运动
(时间：90分钟 分值：100分)
一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分.1～7题为单项选择，8～12题为多选题．全选对的得4分，选对但不全的得2分，有错选或不答的得0分)
1.如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩，在小车A与物体B以相同的水平速度向右沿吊臂匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，B、A之间的距离以d＝H－2t2(式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体做( )
A．斜向上的直线运动
B．速度大小减小的曲线运动
C．加速度大小方向均不变的曲线运动
D．加速度大小方向均变化的曲线运动
C [物体在水平方向上沿吊臂匀速运动，在竖直方向上物体的运动位移满足y＝H－d＝2t2，因此，物体在竖直方向做初速度为零，加速度为a＝4 m/s2的匀加速直线运动，根据运动的合成与分解可知，物体做加速度大小方向都不变的曲线运动，选项C正确，其他选项均错．]
2．由消防水带的喷嘴喷出水的流量是0.28 m3/min，水离开喷口时的速度大小为16 m/s，方向与水平面夹角为60°，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是(重力加速度g取10 m/s2)( )
A．28.8 m 1.12×10－2 m3 B．28.8 m 0.672 m3
C．38.4 m 1.29×10－2 m3 D．38.4 m 0.776 m3
A [将速度分解为水平方向和竖直方向两个分量，vx＝vcos 60°，vy＝vsin 60°，水的运动可看成竖直方向的竖直上抛运动和水平方向的匀速直线运动的合运动，水柱的高度h＝＝28.8 m，上升时间t＝＝＝2.4 s
空中水量可用流量乘以时间来计算，
Q＝ m3/s×2.4 s＝1.12×10－2 m3.
故选项A正确．]
3．如图所示，一圆盘可绕通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针)．某段时间内圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受合力F的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是( )
C [橡皮块做加速圆周运动，合力不指向圆心，但一定指向圆周的内侧．由于做加速圆周运动，速度不断增加，故合力与速度的夹角小于90°，故选C.]
4．两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是 ( )
B [小球做匀速圆周运动，对其受力分析如图所示，则有mgtan θ＝mω2Lsin θ，整理得Lcos θ＝，则两球处于同一高度，故B正确．]
5．在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样玩具惯性车就可以在桥面上跑起来了．把这套系统放在电子秤上做实验，关于实验中电子秤的示数下列说法正确的是( )
A．玩具车静止在拱桥顶端时的示数小一些
B．玩具车运动通过拱桥顶端时的示数大一些
C．玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态
D．玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小
D [根据mg－FN＝m，FN＝mg－m，可见玩具车通过拱桥顶端时失重，速度越大，电子秤的示数越小．选D.]
6.长度L＝0.50 m的轻杆OA，A端有一质量m＝3.0 kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率为2 m/s(g取10 m/s2)，则此时细杆OA受到( )
A．6 N的拉力
B．6 N的压力
C．24 N的拉力
D．24 N的压力
B [设小球以速率v通过最高点时，球对杆的作用力恰好为零，即：mg＝，v＝＝ m/s＝ m/s.
由于v0＝2 m/s＜ m/s，小球过最高点时对细杆产生压力，如图所示
由牛顿第二定律：mg－FN＝mv/L得
FN＝mg－mv/L＝3×10 N－3× N＝6 N．]
7.如图所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，O为圆心，且AB为沿水平方向的直径，圆弧上有一点C，且∠COD＝60°.若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中坑壁上的最低点D；若在C点以初速度v2沿BA方向平抛的小球也能击中D点．重力加速度为g，圆的半径为R，下列正确的是( )
A．R＝ B．R＝
C．R＝ D．R＝
AC [由v1t1＝R，gt＝R得：R＝，A正确，B错误；由v2t2＝Rsin 60°，gt＝R－Rcos 60°，
得：R＝，故C正确，D错误．]
8.如图所示，三个小球从同一高度处的O点分别以水平初速度v1、v2、v3抛出，落在水平面上的位置分别是A、B、C，O′是O在水平面上的射影点，且O′A∶O′B∶O′C＝1∶3∶5.若不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．v1∶v2∶v3＝1∶3∶5
B．三个小球下落的时间相同
C．三个小球落地的速度相同
D．三个小球落地的角度相同
[答案] AB
9.摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径之比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑．今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距RA＝2RB.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是( )
A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3
B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度的比值为aA∶aB＝2∶9
C．转速增加后滑块B先发生滑动
D．转速增加后两滑块一起发生滑动
ABC [假设轮盘乙的半径为R，由题意可知两轮盘边缘的线速度大小相等，有ω甲(3R)＝ω乙R，得ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑块相对轮盘滑动前，A、B的角速度之比为1∶3，A正确；滑块相对轮盘滑动前，根据a＝ω2r得A、B的向心加速度之比为aA∶aB＝2∶9，B正确；据题意可得滑块的最大静摩擦力分别为FfA＝μmAg，FfB＝μmBg，最大静摩擦力之比为FfA∶FfB＝mA∶mB，滑块相对轮盘滑动前所受的静摩擦力之比为FfA′∶FfB′＝(mAaA)∶(mBaB)＝mA∶(4.5mB)，综上分析可得滑块B先达到最大静摩擦力，先开始滑动，C正确，D错误．]
10.铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面间的夹角为θ，弯道处的圆弧半径为R.若质量为m的火车转弯时的速度小于，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．铁轨对火车的支持力等于
D．铁轨对火车的支持力小于
AD [若火车以规定速度v0行驶时，火车的向心力等于它所受的重力mg与支持力FN的合力，则mgtan θ＝m，解得v0＝.若火车车速小于v0，则内轨对内侧车轮产生侧压力F，选项A正确，B错误；此时有Fsin θ＋FNcos θ＝mg，即FNcos θ＜mg，所以FN＜，选项C错误，D正确．]
11.随着人们生活水平的提高，高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐，如图所示，某人从高出水平地面h的坡上水平击出一个质量为m的高尔夫球．由于受到与v0方向相反的恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直地落入距击球点水平距离为L的A穴．则( )
A．球被击出后做平抛运动
B．该球从被击出到落入A穴所用的时间为
C．球被击出时的初速度大小为L
D．球被击出后受到的水平风力的大小为
BC [由于受水平风力作用，球被击出后不做平抛运动，A错．由h＝gt2，可得t＝，则t＝L，故v0＝L，B、C对.t＝v0可得F＝，D错．]
12.如图所示，半径为R的光滑半圆管道(内径很小)竖直放置，质量为m的小球(可视为质点)以某一速度进入管内，小球通过最高点P时，对管壁的压力为0.5mg.小球落地点到P点的水平距离可能为( )
A.R B.R
C．2R D.R
AD [小球从管口飞出做平抛运动，设落地时间为t，则2R＝gt2，解得t＝2.当小球在P点对管壁下部有压力时，mg－0.5mg＝，解得v1＝；当小球在P点对管壁上部有压力时，mg＋0.5mg＝，解得v2＝，因此水平位移x1＝v1t＝R，x2＝v2t＝R，A、D正确．]
二、非选择题(本题共6小题，共52分．按题目要求作答，计算题解题时应写出必要的文字说明，方程式和演算步骤．)
13．(6分)如图所示，医学上常用离心分离机加速血液的沉淀，其“下沉”的加速度可这样表示：a＝rω2，而普通方法靠“重力沉淀”产生的加速度为a′＝g，式子中ρ0、ρ分别为液体密度和液体中固体颗粒的密度，r表示试管中心到转轴的距离，ω为转轴角速度，由以上信息回答：
(1)当满足________条件时，“离心沉淀”比“重力沉淀”快；
(2)若距离r＝0. 2 m，离心机转速n＝3 000 r/min，则a∶a′________.(π2≈g＝10 m/s2)
[解析] (1)比较两个加速度a和a′可知：只要rω2＞g，即ω＞，
离心沉淀就比重力沉淀快．
(2)由角速度ω＝2πn＝2π× rad/s＝100π rad/s.
则＝＝≈2 000.
可见离心沉淀比重力沉淀快的多．
[答案] (1)ω＞ (2)2 000
14．(6分)某实验小组同学在“研究平抛运动” 的实验中，只画出了如图所示的曲线，于是他在曲线上取水平距离Δx相等的三点A、B、C，量得Δx＝0.2 m．又量出它们之间的竖直距离分别为h1＝0.1 m，h2＝0.2 m，(g取10 m/s2)利用这些数据，可求得：
(1)物体抛出时的初速度为________m/s；
(2)物体经过B时竖直分速度为________m/s；
(3)抛出点在A点上方高度为________m处．
[解析] (1)由Δh＝gT 2，得T＝0.1 s
v0＝ ＝2 m/s.
(2)vBy＝ ＝1.5 m/s.
(3)y0＝yB－h1＝－h1＝0.0125 m.
[答案] (1)2 (2)1.5 (3)0.0125
15．(8分)如图所示，一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳子提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H.车由静止开始向左做匀加速运动，经过时间t，绳子与水平方向的夹角为θ，试求：
(1)车向左运动的加速度的大小；
(2)重物m在t时刻速度的大小．
[解析] (1)车在时间t内向左运动的位移：x＝Hcot θ
又车做匀加速运动x＝at2
所以a＝＝.
(2)此时车的速度v车＝at＝，由运动的分解知识可知，车的速度v车沿绳的分速度与重物m的速度相等，即v物＝v车cos θ
得v物＝.
[答案] (1) (2)
16．(10分)电动打夯机的结构如图所示，则偏心轮(飞轮和配重物m组成)、电动机和底座三部分组成，飞轮上的配重物的质量m＝6 kg.电动机、飞轮(不含配重物)和底座总质量M＝30 kg，配重物的重心到轮轴的距离r＝20 cm.在电动机带动下，偏心轮在竖直平面内匀速转动，当偏心轮上的配重物转到顶端时，刚好使整体离开地面，g取10 m/s2，求：
(1)在电动机带动下，偏心轮转动的角速度ω；
(2)打夯机对地面的最大压力．
[解析] (1)设偏心轮转动的角速度为ω，配重物在最高点时(M＋m)g＝mrω2
ω＝＝10 rad/s≈17.3 rad/s.
(2)配重物在最低点时，飞轮对它的作用力为F.由牛顿第二定律可知：
F－mg＝mrω2，
对机体，由平衡得F′＝Mg＋F
由牛顿第三定律，所以打夯机对地面的最大压力
N＝F′＝2(M＋m)g＝720 N.
[答案] (1)17.3 rad/s (2)720 N
17．(10分)如图所示，将一根光滑的细金属棒折成“V”形，顶角为2θ，其对称轴竖直，在其中一边套上一个质量为m的小金属环P.
(1)若固定“V”形细金属棒，小金属环P从距离顶点O为x的A点处由静止自由滑下，则小金属环由静止下滑至顶点O需多长时间？
(2)若小金属环P随“V”形细金属棒绕其对称轴以每秒n转匀速转动时，则小金属环离对称轴的距离为多少？
[解析] (1)小金属环在下滑过程中，在重力和金属棒对它的支持力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，设小金属环沿棒运动的加速度为a，滑至O点所需时间为t，由牛顿第二定律得：
mgcos θ＝ma
由运动学公式得：
x＝at2
以上两式联立解得：t＝.
(2)小金属环随“V”形细金属棒绕其对称轴做匀速圆周运动所需的向心力由重力和金属棒对它的支持力的合力提供，如图所示，设小金属环离对称轴的距离为r，由牛顿第二定律和向心力公式得
mgcot θ＝mω2r
又ω＝2πn
联立解得r＝.
[答案] (1) (2)
18．(12分)如图所示，摩托车做腾跃特技表演，沿曲面冲上高0.8 m的顶部水平高台，接着以v＝3 m/s的水平速度离开平台，落至地面时，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑．A、B为圆弧两端点，其连线水平．已知圆弧半径为R＝1.0 m，人和车的总质量为200 kg，特技表演的全过程中，阻力忽略不计．g取10 m/s2，求：
(1)从平台飞出到A点，人和车运动的水平距离s；
(2)从平台飞出到达A点时的速度大小；
(3)已知人和车运动到圆弧轨道最低点O时，速度v′为 m/s，求此时人和车对轨道的压力的大小．
[解析] (1)人和车做的是平抛运动，根据平抛运动的规律，竖直方向上有H＝，
得s＝vt＝v＝1.2 m.
(2)摩托车落至A点时，其竖直方向的分速度为vy＝gt＝4 m/s，
到达A点时速度为vA＝＝5 m/s.
(3)对摩托车受力分析可知，摩托车受到的指向圆心方向的合力作为圆周运动的向心力，
所以有FN－mg＝m，
解得FN＝8 600 N.
由牛顿第三定律可知，人和车在最低点O对轨道的压力大小为8 600 N.
[答案] (1)1.2 m (2)5 m/s (3)8 600 N
