1．圆周运动
学 习 目 标
知 识 脉 络(教师用书独具)
1.理解匀速圆周运动的概念和特点．(重点)
2．理解线速度、角速度、周期、频率等概念，会对它们进行定量计算．(重点)
3．知道线速度与角速度的定义，知道线速度与周期、角速度与周期的关系．(重点、难点)
一、形形色色的圆周运动
1．圆周运动：物体的运动轨迹是圆的运动．
2．匀速圆周运动：在相等时间内通过的圆弧长度相等的圆周运动．
二、匀速圆周运动的线速度、角速度和周期
1．线速度
(1)大小：线速度是描述做圆周运动的质点运动快慢的物理量．线速度的大小等于质点通过的弧长跟所用时间的比值，即v＝.
(2)方向：线速度不仅有大小，而且有方向．物体在某一时刻或通过某一位置的线速度方向就是圆周上该点的切线方向．
2．角速度
(1)定义：角速度是描述圆周运动的特有概念．连接运动质点和圆心的半径转过的角度和所用时间的比值，叫做匀速圆周运动的角速度．
(2)公式：ω＝.
(3)单位：角速度的单位是弧度每秒，符号是rad/s.
3．周期
做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫周期，用T表示，其国际制单位为秒(s)．
三、线速度、角速度和周期间的关系
1．r、T、v、ω之间的关系
质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，周期是T，则
(1)线速度v＝.
(2)角速度ω＝.
(3)线速度与角速度的关系为v＝rω.
2．转速
(1)转速是指转动物体在单位时间内转过的圈数，常用符号n表示．
(2)单位：转/秒(r/s)或转/分(r/min)．
(3)角速度与转速的关系是ω＝2πn.
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的弧长相等．( )
(2)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同．( )
(3)匀速圆周运动是一种匀速运动． ( )
(4)匀速圆周运动的周期相同时，角速度及转速都相同．( )
(5)匀速圆周运动的物体周期越长，转动越快． ( )
(6)做匀速圆周运动的物体在角速度不变情况下，线速度与半径成正比． ( )
【提示】 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√
2．(多选)关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．匀速圆周运动是匀速运动
B．匀速圆周运动是变速运动
C．匀速圆周运动是线速度不变的运动
D．匀速圆周运动是线速度大小不变的运动
BD [这里的“匀速”，不是“匀速度”，也不是“匀变速”，而是速率不变，匀速圆周运动实际上是一种速度大小不变、方向时刻改变的变速运动，故B、D正确．]
3．(多选)甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( )
A．它们的半径之比为2∶9
B．它们的半径之比为1∶2
C．它们的周期之比为2∶3
D．它们的周期之比为1∶3
AD [因为＝＝，且＝3，因此＝×＝，选项A正确，选项B错误；匀速圆周运动的周期T＝，则＝＝，选项C错误，选项D正确．]
4．如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，求A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的角速度之比和线速度之比．
[解析] a、b两点比较：va＝vb
由v＝ωr得：ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2
b、c两点比较ωb＝ωc
由v＝ωr得：vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2
所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
va∶vb∶vc＝1∶1∶2.
[答案] 1∶2∶2 1∶1∶2
对圆周运动的理解
1．描述圆周运动的各物理量之间的关系
2．描述圆周运动的各物理量之间关系的理解
(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了．
(2)线速度与角速度之间关系的理解：由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r.
【例1】 (多选)一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为a，那么下列说法正确的是( )
A．小球运动的角速度ω＝
B．小球在时间t内通过的路程为s＝t
C．小球做匀速圆周运动的周期T＝
D．小球在时间t内可能发生的最大位移为2R
ABD [由a＝ω2R得ω＝，t时间内的路程s＝vt＝ωRt＝t，周期T＝＝2π，圆周上距离最远的两点为直径，则最大位移为2R，故知A、B、D正确．]
1．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长．某国产轿车的车轮半径约为30 cm，当该型号的轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车轮的转速约为( )
A．1 000 r/s B．1 000 r/min
C．1 000 r/h D．2 000 r/s
B [由公式ω＝2πn，得v＝rω＝2πrn，其中r＝30 cm＝0.3 m，v＝120 km/h＝ m/s，代入得n＝ r/s，约为1 000 r/min.]
“传动装置”问题分析
1．同轴转动
同轴的圆盘上各点
图示
相同量
角速度：ωA＝ωB
周期：TA＝TB
不同量
线速度：＝
2.皮带传动
两轮边缘或皮带上各点
图示
相同量
边缘点线速度：
vA＝vB
不同量
角速度：＝
周期：＝
3.齿轮传动
两齿轮啮合传动
图示
相同量
边缘点线速度：vA＝vB
A、B为两齿轮
边缘点
不同量
角速度：＝
周期：＝
【例2】 变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度．如图是某一变速车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则( )
A．该车可变换两种不同挡位
B．该车可变换五种不同挡位
C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4
D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝4∶1
思路点拨：解答本题应从以下两点进行分析：
(1)同轴转动，各轮角速度相等．
(2)皮带传动时，线速度相等．
C [由题意知，A轮通过链条分别与C、D连接，自行车可有两种速度，B轮分别与C、D连接，又可有两种速度，所以该车可变换四种挡位；当A与D组合时，两轮边缘线速度大小相等，A转一圈，D转4圈，即＝，选项C对．]
传动问题是圆周运动部分的一种常见题型，在分析此类问题时，关键是要明确什么量相等，什么量不相等，在通常情况下，应抓住以下两个关键点.
?1?绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度大小为v＝ωr，与半径r成正比.
?2?在皮带不打滑的情况下，皮带和皮带连接的轮子边缘线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动的两轮边缘上各点的线速度大小也相等，而两传动轮的角速度为ω＝f(v,r)，与半径成反比.
2.(多选)如图所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2，已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( )
A．从动轮做顺时针转动
B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为 n
D．从动轮的转速为 n
BC [根据皮带的缠绕方向知B正确，由2πnr1＝2πn2r2，得n2＝ n，C项正确．]
圆周运动的周期性引起的多解问题
1．分析多解原因：匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去．
2．确定处理方法
(1)抓住联系点：明确两个物体参与运动的性质和求解的问题，两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键．
(2)先特殊后一般：分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定．
【例3】 如图所示，小球A在半径为R的光滑圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中的a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求：
(1)B球抛出时的水平速度多大？
(2)A球运动的线速度最小值为多大？
思路点拨：(1)从小球A运动到a点开始计时，到在a点恰好与小球B相碰，两球运动时间相等．
(2)在小球B平抛到a点的时间内，小球A可能运动多个周期．
[解析] (1)小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，设小球B的水平速度为v0，
则R＝v0t ①
在竖直方向上做自由落体运动，则
h＝gt2 ②
由①②得v0＝＝R.
(2)A球的线速度取最小值时，A球刚好转过一圈，B球落到a点与A球相碰，则A球做圆周运动的周期正好等于B球的飞行时间，即
T＝，所以vA＝＝2πR.
[答案] (1)R (2)2πR
3.一位同学做飞镖游戏，已知圆盘直径为d，飞镖距圆盘为L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘以垂直圆盘且过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω.若飞镖恰好击中A点，则下列关系中正确的是( )
A．dv＝L2g
B．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0,1,2，…)
C．v0＝
D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0,1,2，…)
B [当A点转动到最低点时飞镖恰好击中A点，L＝v0t，d＝gt2，ωt＝π(1＋2n)(n＝0,1,2，…)，联立解得ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0,1,2，…)，2dv＝L2g,2dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0,1,2，…)，v0≠，B正确．]
1．(多选)质点做匀速圆周运动，则( )
A．在任何相等的时间里，质点的位移都相等
B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
D．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
BD [如图所示，由于线速度大小不变，根据线速度的定义，Δs＝v·Δt，所以相等时间内通过的路程相等，B对；但位移xAB、xBC大小相等，方向并不相同，平均速度不同，A、C错；由角速度的定义ω＝知Δt相同，Δφ＝ωΔt相同，D对．]
2.根据教育部的规定，高考考场除了不准考生带手机等通讯工具入场外，手表等计时工具也不准带进考场，考试是通过挂在教室里的时钟计时的，关于正常走时的时钟．如图所示，下列说法正确的是 ( )
A．秒针角速度是分针角速度的60倍
B．分针角速度是时针角速度的60倍
C．秒针周期是时针周期的
D．分针的周期是时针的
A [秒针、分针、时针周期分别为T1＝1 min，T2＝60 min，T3＝720 min，所以＝，＝，选项C、D错误．根据ω＝，＝＝60，＝＝12，选项A正确、B错误．]
3.如图所示，两个摩擦传动的靠背轮，左边是主动轮，右边是从动轮，它们的半径不相等，转动时不打滑．则下列说法中正确的是( )
A．两轮的角速度相等
B．两轮转动的周期相同
C．两轮边缘的线速度大小不相等
D．两轮边缘的线速度大小相等
D [靠摩擦传动的两轮边缘的线速度大小相等，C错误、D正确；由v＝ωr得ω＝，故两轮的角速度不相等，周期也不相同，A、B错误．]
4．从我国汉代古墓一幅表现纺织女纺纱的情景的壁画上看到(如图)，纺车上，一根绳圈连着一个直径很大的纺轮和一个直径很小的纺锤，纺纱女只要轻轻摇动那个巨大的纺轮，那根绳圈就会牵动着另一头的纺锤飞快转动．如果直径之比是100∶1，若纺轮转动1周，则纺锤转动多少周？
[解析] 纺轮和纺锤在相同时间内转过的圆弧长相等，即
线速度相等，v轮＝v锤，由v＝ω·r知
角速度之比ω轮∶ω锤＝1∶100
即当纺轮转动1周时，纺锤转动100周．
[答案] 100周
课件52张PPT。第二章 匀速圆周运动1．圆周运动圆弧圆切线弧长所用时间大小方向rad/s角度所用时间弧度每秒运动一周 v＝rω ω＝2πn 圈数 对圆周运动的理解“传动装置”问题分析圆周运动的周期性引起的多解问题点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(四)
[基础达标练]
(时间：15分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．关于匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．线速度的方向保持不变
B．线速度的大小保持不变
C．角速度大小不断变化
D．线速度和角速度都保持不变
B [匀速圆周运动的线速度大小不变，方向时刻改变，故A、D错误，B正确；匀速圆周运动的角速度大小不变，故C错误．]
2．下列关于甲乙两个做圆周运动的物体的有关说法正确的是( )
A．它们角速度相等，则周期一定也相等
B．它们角速度相等，则线速度一定也相等
C．它们线速度相等，则角速度一定相等
D．它们周期相等，则线速度一定也相等
A [甲、乙角速度相等，则周期一定相等，线速度不一定相等，由此可判断A正确．]
3.如图所示是一个玩具陀螺．a、b和c是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )
A．a、b和c三点的线速度大小相等
B．a、b和c三点的角速度相等
C．a、b的角速度比c的大
D．c的线速度比a、b的大
B [a、b和c均是同一陀螺上的点，它们做圆周运动的角速度都是陀螺旋转的角速度ω，B对，C错；三点的运动半径关系ra＝rb>rc，据v＝ωr可知，三点的线速度关系va＝vb＞vc，A、D错．]
4.如图所示，普通轮椅一般由轮椅架、车轮、刹车装置等组成．车轮有大车轮和小车轮，大车轮上固定有手轮圈，手轮圈由患者直接推动．已知大车轮、手轮圈、小车轮的半径之比为9∶8∶1，假设轮椅在地面上做直线运动，手和手轮圈之间、车轮和地面之间都不打滑，当手推手轮圈的角速度为ω时，小车轮的角速度为 ( )
A．ω B.ω
C.ω D．9ω
D [手轮圈和大车轮的转动角速度相等，都等于ω，大车轮、小车轮和地面之间不打滑，则大车轮与小车轮的线速度相等，若小车轮的半径是r，则有v＝ω·9r＝ω′·r，小车轮的角速度为ω′＝9ω，选项D正确．]
5.如图所示，直径为d的纸制圆筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口垂直对准圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，则子弹的速度不可能是 ( )
A. B.
C. D.
B [圆筒上只有一个弹孔，表明子弹从一个位置进入和离开圆筒，故子弹穿过圆筒的时间t内，转过的角度θ＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…)，故子弹的速度
v＝＝＝.n＝0时，v＝，A对．n＝1时，v＝，C对．n＝2时，v＝，D对．]
6．(多选)某老师在做竖直面内圆周运动快慢的实验研究，并给运动小球拍了频闪照片，如图所示(小球相邻影像间的时间间隔相等)，小球在最高点和最低点的运动快慢比较，下列说法中正确的是( )
A．最高点附近小球相邻影像间弧长短，线速度小，运动较慢
B．最低点附近小球相邻影像间圆心角大，角速度大，运动较快
C．小球在相邻影像间运动时间间隔相等，最高点与最低点运动一样快
D．无法比较最高点和最低点的运动快慢
AB [由所给频闪照片可知，在最高点附近，相邻影像间弧长较小，表明最高点附近的线速度较小，运动较慢，A对；在最低点附近，相邻影像间弧长较大，对应相同时间内通过的圆心角较大，故角速度较大，运动较快，B对．]
二、非选择题(14分)
7.如图所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下由静止开始运动，B物体的质量为m，同时A物体在竖直面内由M点开始做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动．求满足使A、B速度相同的力F的取值．
[解析] 速度相同即大小、方向相同，B为水平向右，A一定要在最低点才能保证速度水平向右．由题意可知：当A从M点运动到最低点时
t＝nT＋T(n＝0,1,2，…)，线速度v＝ωr
对于B(初速度为0)：
v＝at＝(nT＋T)＝(n＋)
解得：F＝(n＝0,1,2，…)．
[答案] F＝(n＝0,1,2，…)
[能力提升练]
(时间：25分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．电脑中用的光盘驱动器采用恒定角速度驱动光盘，光盘上凹凸不平的小坑是存贮数据的．请问激光头在何处时，电脑读取数据速度较快( )
A．内圈 B．外圈
C．中间位置 D．与位置无关
B [光盘做匀速圆周运动，光盘上某点的线速度v＝rω，ω恒定，则r越大时，v就越大，因此激光头在光盘外圈时，电脑读取数据速度比较快．]
2．如图所示是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为 ( )
A. B.
C. D.
C [前进速度即为Ⅲ轮的线速度，由同一个轮上的角速度相等，同一条线上的线速度相等可得：ω1r1＝ω2r2，ω3＝ω2，再有ω1＝2πn，v＝ω3r3，所以v＝，C正确．]
3．风速仪结构如图(a)所示．光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋转时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡住．已知风轮叶片转动半径为r，每转动n圈带动凸轮圆盘转动一圈．若某段时间Δt内探测器接收到的光强随时间变化关系如图(b)所示，则该时间段内风轮叶片 ( )
(a) (b)
A．转速逐渐减小，平均速率为
B．转速逐渐减小，平均速率为
C．转速逐渐增大，平均速率为
D．转速逐渐增大，平均速率为
B [根据题意，从图(b)可以看出，在Δt时间内，探测器接收到光的时间在增长，凸轮圆盘的挡光时间也在增长，可以确定圆盘凸轮的转动速度在减小；在Δt时间内可以从图看出有4次挡光，即凸轮圆盘转动4周，则风轮叶片转动了4n周，风轮叶片转过的弧长为l＝4n×2πr，叶片转动速率为：v＝，故选项B正确．]
4．如图所示，某机器内有两个围绕各自固定轴匀速转动的铝盘A、B.A盘上有一信号发射装置P，能发射出水平红外线，P到圆心的距离为28 cm.B盘上固定带窗口的红外线接收装置Q，Q到圆心的距离为16 cm.P、Q转动的线速度相同，都是4π m/s.当P、Q正对时，P发出的红外线恰好进入Q的接收窗口，则Q接收到红外线信号的周期是( )
A B
A．0.56 s B．0.28 s
C．0.16 s D．0.07 s
A [P的周期TP＝＝＝0.14 s
Q的周期TQ＝＝＝0.08 s
因为经历的时间必须等于它们周期的整数倍，
由数学知识可得0.14和0.08的最小公倍数为0.56 s．故经历的最短时间为0.56 s，故A项正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)如图所示，在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径之比r1∶r2∶r3＝3∶2∶1，则A、B、C三点的线速度大小之比为vA∶vB∶vC＝________；A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝________；A、B、C三个轮子的转速之比n1∶n2∶n3＝________.
[解析] 由于O1、O3两轮共轴，所以A、C两点角速度相等，即ωA＝ωC；由于O1、O2通过皮带传动，所以A、B两点线速度的大小相等，即vA＝vB，由v＝ωr，r1∶r3＝3∶1，ωA＝ωC，则vA∶vC＝3∶1，整理得：vA∶vB∶vC＝3∶3∶1；由ω＝，r1∶r2＝3∶2，vA＝vB，则ωA∶ωB＝2∶3，整理得：ωA∶ωB∶ωC＝2∶3∶2，由ω＝2πn，得：n1∶n2∶n3＝2∶3∶2.
[答案] 3∶3∶1 2∶3∶2 2∶3∶2
6．(14分)为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴上固定两个薄圆盘A、B，A、B平行相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在圆盘的半径的夹角是30°，如图所示，求该子弹的速度．
[解析] 子弹从A盘到B盘，盘转动的角度
θ＝2πn＋(n＝0,1,2,3，…)，
盘转动的角速度
ω＝＝2πf＝2πn＝2π× rad/s＝120 π rad/s.
子弹在A、B间运动的时间等于圆盘转动θ角所用的时间，即＝，
所以v＝＝ m/s(n＝0,1,2,3，…)，
v＝ m/s(n＝0,1,2,3，…)．
[答案] v＝ m/s(n＝0,1,2,3，…)
