2. 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
学 习 目 标
知 识 脉 络(教师用书独具)
1.通过对圆周运动实例的分析，归纳总结物体做圆周运动的条件，理解向心力的概念．(重点)
2．归纳影响向心力大小的相关因素，理解公式确切的含义．(重点)
3．理解向心加速度的概念，会计算向心加速度的大小．(难点)
一、向心力
1．定义：做匀速圆周运动的物体所受合力方向始终指向圆心，这个合力就叫做向心力．
2．方向：始终指向圆心，总是与运动方向垂直．
3．作用：向心力只改变速度方向，不改变速度大小．
4．来源：向心力是按照力的作用效果命名的．可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供．
5．向心力的大小
(1)实验探究
①探究目的：探究向心力大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系．
②实验方法：控制变量法．
③实验过程
a．保持ω、r相同，研究向心力F与小球质量之间的关系．
b．保持m、r相同，研究向心力F与角速度ω之间的关系．
c．保持ω、m相同，研究向心力F与半径r之间的关系．
④实验结论：做匀速圆周运动所需向心力的大小，在质量和角速度一定时，与半径成正比；在质量和半径一定时，与角速度的平方成正比；在半径和角速度一定时，与质量成正比．
(2)向心力的公式：F＝mω2r或F＝m.
二、向心加速度
1．定义
做圆周运动的物体受到向心力的作用，由向心力产生的加速度，叫做向心加速度．
2．大小
a＝ω2r＝.
3．方向
向心加速度的方向时刻与速度方向垂直，且始终指向圆心．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)做匀速圆周运动的物体所受的向心力是恒力． ( )
(2)向心力和重力、弹力一样，是性质力． ( )
(3)向心力可以由重力或弹力等来充当，是效果力． ( )
(4)向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．( )
(5)由于匀速圆周运动的速度大小不变，故向心加速度不变．
( )
(6)由于a＝ω2r，则向心加速度与半径成正比． ( )
【提示】 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)×
2．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列判断正确的是( )
A．合力的大小不变，方向一定指向圆心
B．合力的大小不变，方向也不变
C．合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小
D．合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小
AD [匀速圆周运动的合力等于向心力，由于线速度v的大小不变，故F合只能时刻与v的方向垂直，即指向圆心，故A对、B错；由合力F合的方向时刻与速度的方向垂直而沿切线方向无分力，故该力只改变速度的方向，不改变速度的大小，C错、D对．]
3．(多选)用细绳拴着小球做圆锥摆运动，如图所示，下列说法正确的是( )
A．小球受到重力、绳子的拉力和向心力的作用
B．小球做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力的合力
C．向心力的大小可以表示为F＝mrω2，也可以表示为F＝mgtan θ
D．以上说法都正确
BC [小球受两个力的作用：重力和绳子的拉力，两个力的合力提供向心力，因此有F＝mgtan θ＝mrω2.所以正确答案为B、C.]
4．如下列选项所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向可能正确的是( )
B [做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度，其方向指向圆心，B正确．]
对向心力的理解
1．向心力大小的计算
F＝m＝mrω2＝mωv＝mr，在匀速圆周运动中，向心力大小不变；在非匀速圆周运动中，其大小随速率v的变化而变化．
2．向心力来源的分析
物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供．可以由一个力充当向心力；也可以由几个力的合力充当向心力；还可以是某个力的分力充当向心力．
实例
向心力
示意图
用细线拴住的小球在竖直面内做圆周运动至最高点时
绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动
线的拉力提供向心力，F向＝FT
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止
转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝Ff
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动
重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合
【例1】 如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直．当转盘逆时针匀速转动时，下列说法正确的是( )
A．P受的摩擦力方向为a
B．P受的摩擦力方向为b
C．P受的摩擦力方向为c
D．P受的摩擦力方向可能为d
思路点拨：
C [物块P在水平转盘上随转盘一起做匀速圆周运动，必须有向心力作用，而重力、支持力合力为零，故物块P的向心力应由指向圆心的静摩擦力来提供，故选C.]
向心力与合外力判断方法
(1)向心力是按力的作用效果来命名的，它不是某种确定性质的力，可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供．
(2)对于匀速圆周运动，合外力提供物体做圆周运动的向心力；对于非匀速圆周运动，其合外力不指向圆心，它既要改变线速度大小，又要改变线速度方向，向心力是合外力的一个分力．
(3)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各力沿半径方向分量的矢量和为向心力．
1.有一个惊险的杂技节目叫“飞车走壁”，杂技演员骑摩托车(可视为质点)先在如图所示的大型圆筒底部做速度较小、半径较小的圆周运动，通过加速，圆周运动半径亦逐步增大，最后能以较大的速度在垂直的壁上做匀速圆周运动，这时使车子和人整体做圆周运动的向心力是( )
A．筒壁对车的摩擦力
B．筒壁对车的弹力
C．摩托车本身的动力
D．重力和摩擦力的合力
B [当车子和人在垂直的壁上做匀速圆周运动时，在竖直方向上，摩擦力等于重力，这两个力是平衡力；在水平方向上，车子和人转动的向心力是由筒壁对车的弹力来提供，所以正确选项为B.]
对向心加速度的理解
1．方向
向心加速度总是沿着圆周运动的半径指向圆心，不论加速度a的大小是否变化，a的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动．
2．大小
(1)向心加速度的几种表达式
(2)a与r的关系图像如图所示
(3)理解
①当匀速圆周运动的半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比．随频率的增加或周期的减小而增大．
②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．
③当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．
【例2】 如图所示，长为l的细线一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，让小球在水平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，细线与竖直方向成θ角，求小球运动的向心加速度．
[解析] 方法一：小球在水平面内做匀速圆周运动，受力分析如图所示，
小球重力和细线拉力的合力提供小球的向心力，
根据牛顿第二定律，有mgtan θ＝ma
解得a＝gtan θ
方法二：小球在水平面内做匀速圆周运动，根据向心加速度的公式，有a＝ω2r
根据几何关系，有r＝lsin θ
联立上式，解得a＝ω2lsin θ.
[答案] gtan θ(或ω2lsin θ)
分析向心加速度时的两点注意
(1)向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系．
(2)在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应先确定各点是线速度相等，还是角速度相同．在线速度相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相等时，向心加速度与半径成正比．
2.如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
D [由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误．]
圆周运动中的动力学问题
1．圆周运动是牛顿第二定律应用的进一步延伸
将F＝ma应用于圆周运动，Fn为向心力，an为向心加速度，即得Fn＝man＝m＝mω2R＝mR.
2．解决圆周运动问题的基本思路
(1)明确研究对象．
(2)分析运动情况：即做什么性质的圆周运动(匀速圆周运动还是变速圆周运动)；确定轨道所在的平面、圆心位置和半径，从而确定向心力的方向．
(3)分析受力情况(注意不要把向心力作为某一性质的力进行分析)，在径向求合外力(即选定向心方向为正方向)．
(4)由牛顿第二定律列方程，根据已知量和要求量选择合适的向心加速度公式．
(5)求解或进行必要的讨论．
【例3】 有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
思路点拨：对飞椅受力分析，求得椅子受到的合力的大小，根据向心力的公式可以求得角速度ω与夹角的关系．
[解析] 设转盘转动角速度为ω时，钢绳与竖直方向的夹角为θ，对飞椅受力分析如图．则座椅到中心轴的距离为R＝r＋Lsin θ①
对座椅应用牛顿第二定律有Fn＝mgtan θ＝mRω2②
联立①②两式得ω＝.
[答案]
求解圆周运动的动力学问题做好“三分析”
一是几何关系分析，目的是确定圆周运动的圆心、半径，做圆周运动的圆平面．
二是运动分析，目的是表示出物体做圆周运动所需要的向心力公式．
三是受力分析，目的是利用力的合成与分解的知识，表示出物体做圆周运动时外界所提供的向心力．
3.如图所示，细绳一端系着质量m＝0.1 kg的小物块A，置于光滑水平台面上；另一端通过光滑小孔O与质量M＝0.5 kg的物块B相连，B静止于水平地面上．当A以O为圆心做半径r＝0.2 m的匀速圆周运动时，地面对B的支持力FN＝3.0 N，求物块A的速度和角速度的大小．(g＝10 m/s2)
[解析] 对A、B受力分析如图所示，设细绳的拉力为F，对A应用牛顿第二定律有F＝m
对B列平衡方程有F＋FN＝Mg
解得A的速度大小为v＝2 m/s
A的角速度大小为ω＝＝10 rad/s.
[答案] 2 m/s 10 rad/s
1．(多选)做匀速圆周运动的物体所受的向心力是( )
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．物体所受的合外力
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的
BC [做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合外力，由于指向圆心，且与线速度垂直，不能改变线速度的大小，只用来改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以A、D错误，B、C正确．]
2．在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心．能正确地表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的选项是( )
C [由于雪橇在冰面上滑动，故滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即方向应为圆的切线方向，因做匀速圆周运动，合外力一定指向圆心，由此可知C正确．]
3．(多选)如图为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度a的大小随半径r变化的图像，其中A为双曲线的一个分支，由图可知( )
A．A物体运动的线速度大小不变
B．A物体运动的角速度不变
C．B物体运动的角速度不变
D．B物体运动的线速度大小不变
AC [由a＝知，做匀速圆周运动的物体线速度大小不变时，向心加速度与半径成反比，故A正确，B错误；由a＝ω2r知，角速度不变时，向心加速度与半径成正比，故C正确，D错误．]
4.如图所示，天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，整体一起向左匀速运动，系A的吊绳较短，系B的吊绳较长，若天车运动到P处突然静止，则两吊绳所受拉力FA、FB的大小关系是 ( )
A．FA＞FB＞mg
B．FA＜FB＜mg
C．FA＝FB＝mg
D．FA＝FB＞mg
A [当天车突然停止时，A、B两物体将做圆周运动，在最低点时，向心力由吊绳的拉力与重力的合力提供，即F－mg＝m，故F＝mg＋m，所以有FA＞FB＞mg.]
5．一位链球运动员在水平面内旋转质量为4 kg的链球，链球每1 s转一圈，转动半径为1.5 m，求：
(1)链球的线速度；
(2)链球做圆周运动需要的向心力．
[解析] (1)链球的角速度ω＝，故线速度v＝rω＝＝3π m/s＝9.42 m/s.
(2)根据向心力公式F＝可得F＝ N＝236.6 N.
[答案] (1)9.42 m/s (2)236.6 N
课件56张PPT。第二章 匀速圆周运动2. 匀速圆周运动的向心力和向心加速度指向圆心垂直方向大小一个力几个力的合力控制变量法 mω2r正正正圆心ω2r 向心力速度方向垂直对向心力的理解对向心加速度的理解圆周运动中的动力学问题点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(五)
[基础达标练]
(时间：15分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．关于做匀速圆周运动物体的向心加速度的方向，下列说法中正确的是( )
A．与线速度的方向始终相同
B．与线速度的方向始终相反
C．始终指向圆心
D．始终保持不变
C [向心加速度的方向始终与线速度垂直，A、B、D错误．始终指向圆心，C正确．]
2．如图所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是( )
A．老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用
B．老鹰受重力和空气对它的作用力
C．老鹰受重力和向心力的作用
D．老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用
B [老鹰在空中做圆周运动，受重力和空气对它的作用力两个力的作用，两个力的合力充当它做圆周运动的向心力．但不能说老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力三个力的作用．选项B正确．]
3．(多选)如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的是( )
A．线速度vA＞vB
B．运动周期TA＞TB
C．它们受到的摩擦力FfA＞FfB
D．筒壁对它们的弹力FNA＞FNB
AD [由于两物体角速度相等，而rA＞rB，所以vA＝rAω＞vB＝rBω，A项对；由于ω相等，则T相等，B项错；因竖直方向受力平衡，Ff＝mg，所以FfA＝FfB，C项错；弹力等于向心力，所以FNA＝mrAω2＞FNB＝mrBω2，D项对．]
4.如图所示，M能在水平光滑杆上自由滑动，滑杆连架装在转盘上．M用绳跨过在圆心处的光滑滑轮与另一质量为m的物体相连．当转盘以角速度ω转动时，M离轴距离为r，且恰能保持稳定转动．当转盘转速增至原来的2倍，调整r使之达到新的稳定转动状态，则滑块M ( )
A．所受向心力变为原来的4倍
B．线速度变为原来的
C．半径r变为原来的
D．M的角速度变为原来的
B [向心力为绳的拉力，而绳的拉力等于mg，故向心力不变；转速变为两倍，ω变为原来的两倍；由F＝mωv，线速度变为原来的；由F＝mω2r半径变为原来的.]
5.如图所示，一个圆形框架以竖直的直径为转轴匀速转动．在框架上套着两个质量相等的小球A、B，小球A、B到竖直转轴的距离相等，它们与圆形框架保持相对静止．下列说法正确的是( )
A．小球A所受的合力小于小球B所受的合力
B．小球A与框架间可能没有摩擦力
C．小球B与框架间可能没有摩擦力
D．圆形框架以更大的角速度转动，小球B受到的摩擦力一定增大
C [小球受到的合力充当向心力，因为到竖直转轴的距离相等，所以两小球的速度大小相等，半径相等，由F合＝m可知，两小球受到的合力大小相等，A错误；小球A受到的重力竖直向下，受到的支持力垂直圆环该点切线方向背向圆心，故两个力的合力不可能指向竖直转轴，所以一定受到摩擦力作用，小球B受到竖直向下的重力，垂直该点切线方向指向圆心的支持力，合力可能垂直指向竖直转轴，所以小球B可能不受摩擦力作用，B错误，C正确；当圆形框架以更大的角速度转动时，小球B受到的摩擦力可能增大，也可能减小，故D错误．]
6. (多选)如图所示的圆锥摆中，摆球A、B在同一水平面上做匀速圆周运动，关于A、B球的运动情况和受力情况，下列说法中正确的是( )
A．摆球A受重力、拉力和向心力的作用
B．摆球A受重力和拉力的作用
C．摆球A、B做匀速圆周运动的周期相等
D．摆球A、B做匀速圆周运动的周期不相等
BC [对A、B进行受力分析球A受重力和拉力作用A错误，B正确；如图所示设摆线与竖直方向的夹角为θ，OO′的高度为h，则r＝htan θ，由牛顿第二定律得?mgtan θ＝m?T＝2π，周期与倾角无关，故答案为BC.]
二、非选择题(14分)
7．长为L的细线，拴一质量为m的小球，细线上端固定，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，细线与竖直方向成θ角时，求：
(1)细线中的拉力大小；
(2)小球运动的线速度的大小．
[解析] (1)小球受重力及绳子的拉力作用，如图所示，竖直方向上
FTcos θ＝mg，故拉力FT＝.
(2)小球做圆周运动的半径r＝Lsin θ，
向心力F＝FTsin θ＝mgtan θ，
而F＝m，故小球的线速度v＝.
[答案] (1) (2)
[能力提升练]
(时间：25分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．(多选)在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，以角速度ω做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
AC [由向心力表达式F线＝F向＝mlω2可知，F线上拉力越大，线越易断，故选项A、C正确，B错误；若m不变，当l减半而角速度ω加倍时，线的拉力加倍，故D错误．]
2.如图所示，长为L的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在水平转轴O上，杆随转轴O在竖直平面内匀速转动，角速度为ω，某时刻杆对球的作用力恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角θ是( )
A．sin θ＝ B．tan θ＝
C．sin θ＝ D．tan θ＝
A [小球所受重力和轻杆的作用力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgsin θ＝mLω2，解得sin θ＝，故A正确，B、C、D错误．]
3.(多选)如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方有一钉子C，OC距离为，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的( )
A．线速度突然增大为原来的2倍
B．角速度突然增大为原来的2倍
C．向心加速度突然增大为原来的2倍
D．悬线拉力突然增大为原来的2倍
BC [悬线与钉子碰撞前后，线的拉力始终与小球运动方向垂直，小球的线速度不变，A错；当半径减小时，由ω＝知ω变大为原来的2倍，B对；再由a＝知向心加速度突然增大为原来的2倍，C对；而在最低点F－mg＝m，故碰到钉子后合力变为原来的2倍，悬线拉力变大，但不是原来的2倍，D错．]
4．(多选)如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，A的质量是2m，B和C的质量均为m，A、B离轴距离为R，C离轴距离为2R.则当圆台旋转时，若A、B、C均未滑动，则( )
A．C的向心加速度最大
B．B受到的摩擦力最小
C．当圆台转速增大时，B比A先滑动
D．当圆台转速增大时，C比B先滑动
ABD [三个物体在圆台上，以相同的角速度做圆周运动，其向心力是由f静提供的，而F＝ma＝mω2r，所以静摩擦力的大小由m、ω、r三者决定，其中ω相同，aA＝aB＝ω2R，aC＝ω2·2R＝2ω2R，故A正确；因为RA＝RC，mA＝2mC，所以FA＝FC，因为mB＝mC，RB＜RC，所以FC＞FB，故FB最小，B选项正确；当圆台转速增大时，f静都随之增大，当增大至刚好要滑动时，达到最大静摩擦力μmg＝mω2r，而ωA＝ωB，RA＝RB，mA＝2mB，FA＝2FB，fAmax＝2fBmax，所以B不比A先滑动，C选项错误；RC＝2RB，mB＝mC，所以FC＞FB，而fCmax＝fBmax，所以C比B先滑动，选项D正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为零)．物体和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍．求：
(1)当转盘的角速度ω1＝时，细绳上的拉力T1；
(2)当转盘的角速度ω2＝时，细绳上的拉力T2.
[解析] 当绳中的拉力为零时，设此时转盘的最大角速度是ω0，则其最大静摩擦力提供向心力，μmg＝mrω，得ω0＝.
(1)当ω1＝＜ω0时，由静摩擦力提供向心力，绳的拉力T1为零．
(2)当ω2＝＞ω0时，由最大静摩擦力和绳的拉力的合力提供向心力，F合＝μmg＋T2＝F向＝mrω2，T2＝μmg.
[答案] (1)0 (2)μmg
6．(14分)如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0；
(2)物块与转台间的动摩擦因数μ.
[解析] (1)物块做平抛运动，在竖直方向上有
H＝gt2 ①
在水平方向上有
s＝v0t ②
由①②式解得
v0＝s
代入数据得v0＝1 m/s. ③
(2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有
fm＝m ④
fm＝μN＝μmg ⑤
由④⑤式解得 μ＝
代入数据得μ＝0.2.
[答案] (1)1 m/s (2)0.2
