习题课2 匀速圆周运动
[学习目标] 1.理解线速度、角速度和周期的关系：v＝ωr＝. 2.理解圆周运动的周期性，会解决相关问题． 3.能熟练运用向心力公式及圆周运动公式解决有关圆周运动的实际问题．
描述圆周运动的各物理量间的关系
1．线速度、角速度、周期和转速都是描述圆周运动快慢的物理量，但意义不同．线速度描述物体沿圆周运动的快慢．角速度、周期和转速描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢．由ω＝＝2πn，知ω越大，T越小，n越大，则物体转动得越快，反之则越慢．ω、T、n三个物理量知道其中一个，另外两个也就成为已知量．
2．对公式v＝rω及a＝＝rω2的理解
(1)由v＝rω，知r一定时，v与ω成正比；ω一定时，v与r成正比；v一定时，ω与r成反比．
(2)由a＝＝rω2，知v一定时，a与r成反比；ω一定时，a与r成正比．
【例1】 如图所示，定滑轮的半径r＝2 cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a＝2 m/s2做匀加速运动，在重物由静止下落距离为1 m的瞬间，求滑轮边缘上的点的角速度ω和向心加速度a.
[解析] 重物下落1 m时，瞬时速度为
v＝＝ m/s＝2 m/s.
显然，滑轮边缘上每一点的线速度也都是2 m/s，故滑轮转动的角速度，即滑轮边缘上每一点转动的角速度为ω＝＝rad/s＝100 rad/s.
向心加速度为
a＝ω2r＝1002×0.02 m/s2＝200 m/s2.
[答案] 100 rad/s 200 m/s2
1.如图所示为一种滚轮——“平盘无极变速器”的示意图，它由固定于主动轴上的平盘和可随从动轴移动的圆柱形滚轮组成．由于摩擦的作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动．如果认为滚轮不会打滑，那么主动轴转速n1、从动轴转速n2、滚轮半径r以及滚轮中心距离主动轴轴线的距离x之间的关系是( )
A．n2＝n1 B．n2＝n1
C．n2＝n1 D．n2＝n1
A [平盘上距离主动轴轴心x处的线速度为v＝2πxn1，滚轮与平盘间不打滑，则滚轮的转动线速度等于v，因此，滚轮的转速与其线速度之间满足v＝2πrn2，故v＝2πxn1＝2πrn2，即n2＝n1，选项A正确，其他选项均错．]
圆周运动的周期性引起的多解问题
1．分析多解原因：匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去．
2．确定处理方法
(1)抓住联系点：明确两个物体参与运动的性质和求解的问题，两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键．
(2)先特殊后一般：分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定．
【例2】 如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，可绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，在圆心O正上方h处有一个正在间断滴水的容器，每当一滴水落在盘面时恰好下一滴水离开滴口．某次一滴水离开滴口时，容器恰好开始水平向右做速度为v的匀速直线运动，将此滴水记作第一滴水．不计空气阻力，重力加速度为g.求：
(1)相邻两滴水下落的时间间隔？
(2)要使每一滴水在盘面上的落点都在一条直线上，求圆盘转动的角速度？
(3)第二滴和第三滴水在盘面上落点之间的距离最大可为多少？
思路点拨：解答本题应从以下思路进行 ：
(1)容器向右做匀速直线运动，则水滴以初速度v做类平抛运动．
(2)要使落点在一条直线上，在Δt时间内圆盘转过半周的整数倍即可．
(3)第二滴和第三滴水恰好落在O点两侧时，距离最大．
[解析] (1)由“每当一滴水落在盘面时恰好下一滴水离开滴口”可知，相邻两滴水下落的时间间隔就是一滴水下落的时间，则有h＝g(Δt)2
解得Δt＝.
(2)要使每一滴水在盘面上的落点都在一条直线上，Δt时间内圆盘转过的角度为θ＝kπ，故ω＝＝kπ(k＝1,2,3，…)．
(3)第二滴和第三滴水落点恰能在一条直径上，且位于O点两侧时，距离最大，有x1＝v·2Δt，x2＝v·3Δt
而x＝x1＋x2＝5v.
[答案] (1) (2)kπ(k＝1,2,3…) (3)5v
2.如图所示，质点A从某一时刻开始在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，出发点与圆心等高，与此同时位于圆心的质点B自由下落．已知圆周半径为R，求质点A的角速度ω满足什么条件时，才能使A、B相遇．
[解析] 要使质点A与质点B相遇，则需从开始运动到相遇经历的时间应相等，即tA＝tB，考虑到圆周运动的周期性，质点A从开始运动到相遇经历的时间为tA＝T＋nT(n＝0,1,2,3，…)
对于质点B，由自由落体运动规律R＝gt得
tB＝
由圆周运动的周期公式有T＝
解上述方程得ω＝π(n＝0,1,2,3，…)．
[答案] ω＝π(n＝0,1,2,3，…)
圆周运动与平抛运动的组合问题
平抛运动与圆周运动的组合问题分为两类：一类是物体先做平抛运动，后进入圆轨道受到约束做圆周运动；另一类是物体先做圆周运动，失去约束沿水平方向抛出，后做平抛运动．解决第一类问题的关键点为平抛运动的末速度的方向是沿圆轨道进入点处的切线方向．解决第二类问题的关键点是物体失去约束时的速度等于平抛运动的初速度．
【例3】 如图所示，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m＝1.0 kg的小球．现将小球拉到A点(保持绳绷直)由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点．地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L＝1.0 m，B点离地高度H＝1.0 m，A、B两点的高度差h＝0.5 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气影响，求：
(1)地面上DC两点间的距离s；
(2)轻绳所受的最大拉力大小．
[解析] (1)小球从A到B过程受绳的拉力和重力作用，绳的拉力始终与小球运动方向垂直，不做功，只有重力做功，则动能定理得mgh＝mv ①
小球从B到C做平抛运动，则
在水平方向有s＝vBt ②
在竖直方向有H＝gt2 ③
联立①②③式解得s＝1.41 m.
(2)小球下摆到B点时，绳子的拉力与小球重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律有
F－mg＝m ④
联立①④式解得F＝20 N
由牛顿第三定律得F′＝F＝20 N
即轻绳所受的最大拉力为20 N.
[答案] (1)1.41 m (2)20 N
3.如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道．已知重力加速度为g，则A、B之间的水平距离为( )
A. B.
C. D.
A [设小球到B点时速度为v，如图所示，在B点分解其速度可知vx＝v0，vy＝v0 tan α，又知小球在竖直方向做自由落体运动，则有vy＝gt，联立得t＝，A、B之间的水平距离为xAB＝v0t＝，所以只有A项正确．]
1.如图所示为一种早期的自行车，这种带链条传动的自行车前轮的直径很大，这样的设计在当时主要是为了( )
A．提高速度
B．提高稳定性
C．骑行方便
D．减小阻力
A [在骑车人脚蹬车轮转速一定的情况下，据公式v＝ωr知，轮子半径越大，车轮边缘的线速度越大，车行驶得也就越快，故A选项正确．]
2.两个小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆的O点做圆周运动，如图所示，当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则转轴O到小球2的距离是( )
A. B.
C. D.
B [两小球角速度相等，即ω1＝ω2.设两球到O点的距离分别为r1、r2，即 ＝ ；又由于r1＋r2＝L，所以r2＝ ，故选B.]
3．(多选)在某转弯处，规定火车行驶的速率为v0，则下列说法中正确的是( )
A．当火车以速率v0行驶时，火车的重力与支持力的合力方向一定沿水平方向
B．当火车的速率v>v0时，火车对外轨有向外的侧向压力
C．当火车的速率v>v0时，火车对内轨有向内的挤压力
D．当火车的速率vABD [在转弯处，火车以规定速度行驶时，在水平面内做圆周运动，重力与支持力的合力充当向心力，沿水平面指向圆心，选项A正确．当火车的速率v>v0时，火车重力与支持力的合力不足以提供向心力，火车对外轨有向外的侧向压力；当火车的速率v4．(多选)如图所示，小球原来能在光滑水平面上做匀速圆周运动，若剪断BC间的细线，当A球重新做匀速圆周运动后，A球的( )
A．运动半径变大
B．速率变大
C．角速度变大
D．周期变大
AD [球A的向心力由线的拉力提供，开始时，F向＝(mB＋mC)g，若剪断BC间的细线，拉力提供的向心力F′向＝mBg＜F向，故球A将做离心运动，所以运动半径要变大，A正确；重新做匀速圆周运动时由F′向＝mA＝mArω2＝mAr2知B、C错，D对．]
5．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108 km/h.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．
(1)如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
(2)如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？
[解析] (1)汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其向心力由车与路面间的静摩擦力提供，当静摩擦力达到最大值时，由向心力公式可知这时的半径最小，有Fm＝0.6mg＝m ，由速度v＝30 m/s，得弯道半径r＝150 m.
(2)汽车过拱桥，看作在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，根据向心力公式有：mg－FN＝m ，为了保证安全，车对路面间的弹力FN必须大于等于零，有mg≥ m ，则R≥90 m.
[答案] (1)150 m (2)90 m
课件42张PPT。第二章 匀速圆周运动习题课2 匀速圆周运动描述圆周运动的各物理量间的关系圆周运动的周期性引起的多解问题圆周运动与平抛运动的组合问题点击右图进入…Thank you for watching !重难强化训练(二)
(时间：45分钟 分值：100分)
一、选择题(本题共10个小题，每题6分，共60分．第1～6题为单选题，7～10题为多选题．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不选的得0分．)
1．机动车检测站进行车辆尾气检测原理如下：车的主动轮压在两个相同粗细的有固定转动轴的滚动圆筒上，可在原地沿前进方向加速，然后把检测传感器放入尾气出口，操作员把车加速到一定程度，持续一定时间，在与传感器相连的电脑上显示出一系列相关参数．现有如下检测过程简图：车轴A的半径为ra，车轮B的半径为rb，滚动圆筒C的半径rc，车轮与滚动圆筒间不打滑．当车轮以恒定转速n(每秒钟n转)运行时，下列说法正确的是( )
A．C的边缘线速度为2πnrc
B．A、B的角速度大小相等，均为2πn，且A、B沿顺时针方向转动，C沿逆时针方向转动
C．A、B、C的角速度大小相等，均为2πn，且均沿顺时针方向转动
D．B、C的角速度之比为
B [由v＝2πnR可知B轮的线速度为vb＝2πnrb，B、C线速度相同，即C的线速度为vc＝vb＝2πnrb，A错误．B、C线速度相同，B、C角速度比为半径的反比，D错误．A、B为主动轮，C为从动轮，A、B顺时针转动，C逆时针转动，B正确，C错误．]
2.如图所示，一根轻杆(质量不计)的一端以O点为固定转轴，另一端固定一个小球，小球以O点为圆心在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动．当小球运动到图中位置时，轻杆对小球作用力的方向可能( )
A．沿F1的方向
B．沿F2的方向
C．沿F3的方向
D．沿F4的方向
C [小球以O点为圆心在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，小球所受外力的合力提供向心力，对小球受力分析，只有F3与重力的合力有可能指向圆心，C正确，A、B、D错误．]
3.未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示．当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力．为达到上述目的，下列说法正确的是( )
A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大
B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
B [旋转舱对宇航员的支持力提供宇航员做圆周运动的向心力，即mg＝mω2r，解得ω＝，即旋转舱的半径越大，角速度越小，而且与宇航员的质量无关，选项B正确．]
4.如图所示是一个内壁光滑的锥形漏斗，其轴线垂直于水平面，锥形漏斗固定不动，两个质量相同的球A、B紧贴着漏斗内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则 ( )
A．球A的线速度必小于球B的线速度
B．球A的加速度必小于球B的加速度
C．球A的角速度必小于球B的角速度
D．球A所受合力必大于球B所受合力
C [球受重力和支持力，靠重力和支持力的合力提供圆周运动的向心力，根据F合＝ma＝m＝mω2r比较线速度、角速度、向心加速度的大小．两球所受的重力大小相等，支持力方向相同，根据力的合成，知两支持力大小、合力大小相等．根据F合＝m得v＝，合力、质量相等，r大的线速度大，所以球A的线速度大于球B的线速度，故A、D错误．根据F合＝ma，知向心加速度相等，故B错误．根据F合＝mrω2，得ω＝，r大的角速度小，所以球A的角速度小于球B的角速度，故C正确．]
5．如图所示，质量为m的小球固定在长为l的细轻杆的一端，绕轻杆的另一端O在竖直平面内做圆周运动．球转到最高点A时，线速度大小为，此时( )
A．杆受到mg的拉力
B．杆受到mg的压力
C．杆受到mg的拉力
D．杆受到mg的压力
B [以小球为研究对象，小球受重力和沿杆方向杆的弹力，设小球所受弹力方向竖直向下，则N＋mg＝，将v＝代入上式得N＝－mg，即小球在A点受杆的弹力方向竖直向上，大小为mg，由牛顿第三定律知杆受到mg的压力．]
6. “快乐向前冲”节目中有这样一种项目，选手需要借助悬挂在高处的绳飞跃到沟对面的平台上，如果已知选手的质量为m，选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角为α，如图所示，不考虑空气阻力和绳的质量(选手可看为质点)，下列说法正确的是( )
A．选手摆动到最低点时所受绳子的拉力等于mg
B．选手摆动到最低点时所受绳子的拉力大于mg
C．选手摆动到最低点时所受绳子的拉力大于选手对绳子的拉力
D．选手摆动到最低点的运动过程为匀变速曲线运动
B [由于选手摆动到最低点时，绳子拉力和选手自身重力的合力提供选手做圆周运动的向心力，有T－mg＝F向，T＝mg＋F向>mg，B正确，A错误；选手摆到最低点时所受绳子的拉力和选手对绳子的拉力是作用力和反作用力的关系，根据牛顿第三定律，它们大小相等、方向相反且作用在同一条直线上，故C错误；选手摆到最低点的运动过程中，是变速圆周运动，合力是变力，故D错误．]
7．(多选)如图所示，用细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动，圆周半径为R，则下列说法正确的是( )
A．小球过最高点时，绳子张力可能为零
B．小球过最高点时的最小速度为零
C．小球刚好过最高点时的速度为
D．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
AC [绳子只能提供拉力作用，其方向不可能与重力相反，D错误；在最高点有mg＋FT＝m，拉力FT可以等于零，此时速度最小为vmin＝，故B错误，A、C正确．]
8．(多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
AC [小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R.当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：fa＝mωl，当fa＝kmg时，kmg＝mωl，ωa＝；对木块b：fb＝mω·2l，当fb＝kmg时，kmg＝mω·2l，ωb＝，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fa9．在云南省某些地方到现在还要依靠滑铁索过江(如图甲)，若把滑铁索过江简化成图乙的模型，铁索的两个固定点A、B在同一水平面内，AB间的距离为L＝80 m，绳索的最低点离AB间的垂直距离为h＝8 m，若把绳索看作是圆弧，已知一质量m＝52 kg的人借助滑轮(滑轮质量不计)滑到最低点的速度为10 m/s(g取10 m/s2)，那么( )
A．人在整个绳索上运动可看成是匀速圆周运动
B．可求得绳索的圆弧半径为104 m
C．人在滑到最低点时对绳索的压力为570 N
D．在滑到最低点时人处于失重状态
BC [根据题意，R2＝402＋(R－8)2
得R＝104 m
在最低点F－mg＝m
得F＝570 N
此时人处于超重状态，B、C选项正确．]
10．有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动．如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h，下列说法中正确的是( )
A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越大
D．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
BC [摩托车受力如图所示．
由于N＝
所以摩托车受到侧壁的压力与高度无关，保持不变，摩托车对侧壁的压力F也不变，A错误；由F＝mgtan θ＝m＝mω2r知h变化时，向心力F不变，但高度升高，r变大，所以线速度变大，角速度变小，周期变大，选项B、C正确，D错误．]
二、非选择题(本题共2小题，共40分)
11．(20分)某物理小组的同学设计了一个粗测玩具小车通过凹形桥最低点时的速度的实验．所用器材有：玩具小车、压力式托盘秤、凹形桥模拟器(圆弧部分的半径为R＝0.20 m)．
(a) (b)
完成下列填空：
(1)将凹形桥模拟器静置于托盘秤上，如图(a)所示，托盘秤的示数为1.00 kg；
(2)将玩具小车静置于凹形桥模拟器最低点时，托盘秤的示数如图(b)所示，该示数为__________________________________kg；
(3)将小车从凹形桥模拟器某一位置释放，小车经过最低点后滑向另一侧．此过程中托盘秤的最大示数为m；多次从同一位置释放小车，记录各次的m值如下表所示．
序号
1
2
3
4
5
m(kg)
1.80
1.75
1.85
1.75
1.90
(4)根据以上数据，可求出小车经过凹形桥最低点时对桥的压力为________N；小车通过最低点时的速度大小为________m/s.(重力加速度大小取9.80 m/s2，计算结果保留2位有效数字)
[解析] (2)题图(b)中托盘秤的示数为1.40 kg.
(4)小车5次经过最低点时托盘秤的示数平均值为m＝ kg
＝1.81 kg.
小车经过凹形桥最低点时对桥的压力为
F＝(m－1.00)g＝(1.81－1.00)×9.80 N≈7.9 N
由题意可知小车的质量为
m′＝(1.40－1.00) kg＝0.40 kg
对小车，在最低点时由牛顿第二定律得
F－ m′g＝
解得v≈1.4 m/s.
[答案] (2)1.40 (4)7.9 1.4
12．(20分)一水平放置的圆盘，可以绕中心O点旋转，盘上放一个质量是0.4 kg的铁块(可视为质点)，铁块与中间位置的转轴处的圆盘用轻质弹簧连接，如图所示．铁块随圆盘一起匀速转动，角速度是10 rad/s时，铁块距中心O点30 cm，这时弹簧对铁块的拉力大小为11 N，g取10 m/s2，求：
(1)圆盘对铁块的摩擦力大小；
(2)若此情况下铁块恰好不向外滑动(视最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，则铁块与圆盘间的动摩擦因数为多大？
[解析] (1)弹簧弹力与铁块受到的静摩擦力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
F＋f＝mω2r
代入数值解得：f＝1 N.
(2)此时铁块恰好不向外侧滑动，则所受到的静摩擦力就是最大静摩擦力，则有f＝μmg
故μ＝＝0.25.
[答案] (1)1 N (2)0.25
