[体系构建]
[核心速填]
1．线速度定义公式：v＝＝.
2．线速度的方向：与半径垂直和圆弧相切．
3．角速度定义公式：ω＝＝.
4．周期：做匀速圆周运动的物体，转动一周所用的时间，T＝＝.
5．向心力的含义：做匀速圆周运动的物体受到方向始终指向圆心的合力．
6．向心力的公式：F＝mω2r＝m＝mωv.
7．向心力的方向：始终指向圆心与线速度方向垂直．
8．向心力的作用：只改变速度的方向，不改变速度的大小．
9．向心加速度定义：做匀速圆周运动的物体，在向心力的作用下产生的加速度．
10．向心加速度的大小：a＝ω2r＝＝ωv.
11．向心加速度的方向：与向心力的方向相同，指向圆心．
圆周运动的运动分析
1．圆周运动的运动学分析
(1)正确理解描述圆周运动的快慢的物理量及其相互关系
线速度、角速度、周期和转速都是描述圆周运动的快慢，但意义不同．线速度是描述做圆周运动的快慢；角速度、周期和转速描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢．
(2)对公式的理解
由v＝rω，r一定时，v与ω成正比；ω一定时，v与r成正比；v一定时，ω与r成反比．
由a＝ω2r可知，若ω为常数，向心加速度与r成正比；若v为常数，根据a＝可知，向心加速度与r成反比．
2．圆周运动的动力学分析
(1)匀速圆周运动：采用正交分解法，其坐标原点是做圆周运动的物体，相互垂直的两个坐标轴中，一定有一个坐标轴的正方向沿半径指向圆心．
(2)变速圆周运动：采用正交分解法，有一个坐标轴的正方向沿半径指向圆心，加速度沿半径方向的分量即为向心加速度，其大小为a＝＝ω2r.合外力沿半径方向的分量提供向心力，其作用是改变速度的方向，其大小为F＝mω2r＝m.加速度沿轨迹方向的分量即为切向加速度，它反映的是速度大小改变的快慢．
【例1】 随着经济的持续发展，人民生活水平的不断提高，近年来我国私家车数量快速增长，高级和一级公路的建设也正加速进行．为了防止在公路弯道部分由于行车速度过大而发生侧滑，常将弯道部分设计成外高内低的斜面．如果某品牌汽车的质量为m，汽车行驶时弯道部分的半径为r，汽车轮胎与路面的动摩擦因数为μ，路面设计的倾角为θ，如图所示．(重力加速度g取10 m/s2)
(1)为使汽车转弯时不打滑，汽车行驶的最大速度是多少？
(2)若取sin θ＝，r＝60 m，汽车轮船与雨雪路面的动摩擦因数为μ＝0.3，则弯道部分汽车行驶的最大速度是多少？
[解析] (1)受力分析如图所示竖直方向：Ncos θ＝mg＋fsin θ
水平方向：Nsin θ＋fcos θ＝m
又f＝μN
可得v＝.
(2)代入数据可得：v＝14.6 m/s.
[答案] (1) (2)14.6 m/s
[一语通关] 为使汽车转弯时不打滑，汽车所受的静摩擦力不超过最大静摩擦力，当行驶的速度达到最大速度时最大摩擦力提供向心力.
1.(多选)中央电视台《今日说法》栏目报道了一起发生在湖南长沙某区湘府路上的离奇交通事故．家住公路拐弯处的张先生和李先生在三个月内连续遭遇七次大卡车侧翻在自家门口的场面，第八次有辆卡车冲撞进李先生家，造成三死一伤和房屋严重损毁的血腥惨案．经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图所示．交警根据图示作出以下判断，你认为正确的是( )
A．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做离心运动
B．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做向心运动
C．公路在设计上可能内(东)高外(西)低
D．公路在设计上可能外(西)高内(东)低
AC [汽车进入民宅，远离圆心，因而车做离心运动，A对，B错．汽车在水平公路上拐弯时，静摩擦力提供向心力，此处，汽车以与水平公路上相同速度拐弯，易发生侧翻，摩擦力不足以提供向心力；也可能是路面设计不太合理，内高外低．重力沿斜面方向的分力背离圆心而致，C对，D错．]
圆周运动中的临界问题
1．当物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态，通常叫做临界状态，出现临界状态时，既可理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现”．
2．临界问题分类
(1)汽车过拱桥
如图所示，汽车过凸形桥顶时，桥对车的支持力N＝G－m，当压力为零时，即G－m＝0，v＝，这个速度是汽车能正常过拱桥的临界速度．
v＜是汽车安全过桥的条件．
(2)物体不滑动
如图所示，物体随着水平圆盘一块转动，汽车在水平路面上转弯，它们做圆周运动的向心力等于静摩擦力，当静摩擦力达到最大时，物体运动速度也达到最大，由fm＝m得vm＝，这就是物体以半径r做圆周运动的临界速度．
(3)绳子被拉断
设绳子能够承受的最大拉力为F，被绳子拴着的小球在竖直面内经最低点的最大速度为vm，则F－mg＝m，vm＝，这就是小球经最低点的临界速度．
【例2】 在一水平放置的圆盘上面放有一劲度系数为k的弹簧，如图所示，弹簧的一端固定于轴O上，另一端挂一质量为m的物体A，物体与盘面间的动摩擦因数为μ.开始时弹簧未发生形变，长度为R，求：
(1)盘的转速n0多大时，物体A开始滑动？
(2)当转速达到2n0时，弹簧的伸长量Δx是多少？
[解析] (1)若圆盘转速较小，则静摩擦力提供向心力，当圆盘转速较大时，弹力与摩擦力的合力提供向心力．
圆盘开始转动时，A所受静摩擦力提供向心力，则有μmg≥mRω.又因为ω0＝2πn0，由两式得n0≤，即当n0＝时，物体A开始滑动．
(2)转速增加到2n0时，有μmg＋kΔx＝mrω，
ω1＝2π·2n0，r＝R＋Δx.整理得Δx＝
[答案] (1) (2)
[一语通关] 1.水平面内圆周运动的临界问题
关于水平面内的匀速圆周运动的临界问题，主要是临界速度和临界力的问题．常见的是与绳的拉力、弹簧的拉力、接触面的弹力和摩擦力等相关的问题．通过受力分析来确定临界状态和临界条件，是较常用的解题方法．
2．竖直面内圆周运动的临界问题
物体在竖直面内做圆周运动时，绝大多数属于变速圆周运动，常常涉及临界问题．在不同约束条件下，物体完成圆周运动的临界条件不同．
2.如图所示，细绳一端系着质量为M＝0.6 kg的物体A，静止于水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3 kg的物体B，A的中点与圆孔距离为0.2 m，且A和水平面间的最大静摩擦力为2 N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω满足什么条件时，物体B会处于静止状态？(取g＝10 m/s2，结果保留一位小数)
[解析] 要使B静止，A应与水平面相对静止，考虑A能与水平面相对静止的两个极限状态
当ω为所求范围的最小值时，A有向圆心运动的趋势，水平面对A的静摩擦力方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2 N，此时对A有T－fm＝Mωr，B静止时受力平衡，T＝mg＝3 N，解得ω1＝2.9 rad/s
当ω为所求范围的最大值时，A有远离圆心运动的趋势，水平面对A的摩擦力方向指向圆心，且大小为2 N，此时对A有T＋fm＝Mωr，解得ω2＝6.5 rad/s.
故ω的范围为：2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s.
[答案] 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
课件31张PPT。第二章 匀速圆周运动章末复习课转动一周 相切垂直mω2r mωv 圆心圆心线速度方向大小向心力ωv 向心力 圆周运动的运动分析圆周运动中的临界问题Thank you for watching !章末综合测评(二) 万有引力定律
(时间：90分钟 分值：100分)
一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分.1～7题为单选题，8～12题为多选题．全部选对的得4分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．)
1．在物理学建立、发展的过程中，许多物理学家的科学发现推动了人类历史的进步．关于科学家和他们的贡献，下列说法中错误的是( )
A．德国天文学家开普勒对他的导师——第谷观测的行星数据进行了多年研究，得出了开普勒三大行星运动定律
B．英国物理学家卡文迪许利用“卡文迪许扭秤”首先较准确的测定了万有引力常量
C．伽利略用“月—地检验”证实了万有引力定律的正确性
D．牛顿认为在足够高的高山上以足够大的水平速度抛出一物体，物体就不会再落在地球上
C [根据物理学史可知C错误，A、B、D正确．]
2．宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A．0 B.
C. D.
B [飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即G＝mg，得g＝，选项B正确．]
3．地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a；假设月球绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r1，向心加速度为a1.已知万有引力常量为G，地球半径为R.下列说法中正确的是( )
A．地球质量M＝
B．地球质量M＝
C．地球赤道表面处的重力加速度g＝a
D．加速度之比＝
A [根据万有引力充当向心力：＝ma1，可知地球质量M＝，A正确，B错误；地球表面物体的向心加速度大小与到地轴的距离有关，与重力加速度不同，C错误；向心加速度a＝Rω2，不与半径的平方成反比，D错误．]
4．如图所示，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是( )
A．a2＞a3＞a1 B．a2＞a1＞a3
C．a3＞a1＞a2 D．a3＞a2＞a1
D [空间站和月球绕地球运动的周期相同，由a＝2r知，a2＞a1；对地球同步卫星和月球，由万有引力定律和牛顿第二定律得G＝ma，可知a3＞a2，故选项D正确．]
5．如图所示，A为静止于地球赤道上的物体，B为绕地球沿椭圆轨道运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B、C两卫星轨道的交点．已知A、B、C绕地心运动的周期相同，相对于地心，下列说法中正确的是( )
A．物体A和卫星C具有相同大小的线速度
B．物体A和卫星C具有相同大小的加速度
C．卫星B在P点的加速度与卫星C在该点的加速度一定不相同
D．可能出现在每天的某一时刻卫星B在A的正上方
D [物体A和卫星B、C周期相同，故物体A和卫星C角速度相同，但半径不同，根据v＝ωR可知二者线速度不同，A项错误；根据a＝Rω2可知，物体A和卫星C向心加速度不同，B项错误；根据牛顿第二定律，卫星B和卫星C在P点的加速度a＝，故两卫星在P点的加速度相同，C项错误；对于D选项，物体A是匀速圆周运动，线速度大小不变，角速度不变，而卫星B的线速度是变化的，近地点最大，远地点最小，即角速度发生变化，而周期相等，所以如图所示开始转动一周的过程中，会出现A先追上B，后又被B落下，一个周期后A和B都回到自己的起点．所以可能出现：在每天的某一时刻卫星B在A的正上方，则D正确．]
6．同步卫星位于赤道上方，相对地面静止不动．如果地球半径为R，自转角速度为ω，地球表面的重力加速度为g.那么，同步卫星绕地球的运行速度为( )
A. B.
C. D.
D [同步卫星的向心力等于地球对它的万有引力G＝mω2r，故卫星的轨道半径r＝.物体在地球表面的重力约等于所受地球的万有引力G＝mg，即GM＝gR2.所以同步卫星的运行速度v＝rω＝ω·＝，D正确．]
7．恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星．中子星的半径较小，一般在7～20 km，但它的密度大得惊人．若某中子星的半径为10 km，密度为1.2×1017 kg/m3，那么该中子星上的第一宇宙速度约为( )
A．7.9 km/s B．16.7 km/s
C．2.9×104 km/s D．5.8×104 km/s
D [中子星上的第一宇宙速度即为它表面处的卫星的环绕速度，此时卫星的轨道半径近似地认为是该中子星的球半径，且中子星对卫星的万有引力充当向心力，由G＝m，得
v＝，又M＝ρV＝ρ，得v＝r＝1×104× m/s
＝5.8×107 m/s＝5.8×104 km/s.]
8.不可回收的航天器在使用后，将成为太空垃圾．如图所示是漂浮在地球附近的太空垃圾示意图，对此如下说法中正确的是( )
A．离地越低的太空垃圾运行周期越小
B．离地越高的太空垃圾运行角速度越小
C．由公式v＝得，离地越高的太空垃圾运行速率越大
D．太空垃圾一定能跟同一轨道上同向飞行的航天器相撞
AB [太空垃圾绕地球做匀速圆周运动，根据G＝m＝mω2r＝mr，可得：离地越低，周期越小，角速度越大，速度越大，选项A、B正确，C错误．太空垃圾与同一轨道上同向飞行的航天器速率相等，不会相撞，选项D错误．]
9.如图所示是牛顿研究抛体运动时绘制的一幅草图，以不同速度抛出的物体分别沿a、b、c、d轨迹运动，其中a是一段曲线，b是贴近地球表面的圆，c是椭圆，d是双曲线的一部分．已知引力常量为G、地球质量为M、半径为R、地面附近的重力加速度为g.以下说法中正确的是( )
A．沿a运动的物体初速度一定小于
B．沿b运动的物体速度等于
C．沿c运动的物体初速度一定大于第二宇宙速度
D．沿d运动的物体初速度一定大于第三宇宙速度
AB [b是贴近地球表面的圆，沿此轨迹运动的物体满足G＝m，解得v＝，或满足mg＝m，解得v＝，以上得到的两个速度均为第一宇宙速度，发射速度小于第一宇宙速度则不能成为人造卫星，如轨迹a，A、B正确．发射速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，卫星的轨道为椭圆，如轨迹c，C错误．发射速度大于第二宇宙速度，轨迹将不闭合，发射速度大于第三宇宙速度，轨迹也不闭合，故d轨迹不能确定其发射速度是否大于第三宇宙速度，D错误．]
10.宇航员驾驶飞船环绕一未知星球表面飞行一周用时为T，然后飞船减速降落在该星球表面，宇航员让随身携带的小铁锤从高为h1处自由下落，得到小铁锤与地面距离随时间变化如图所示，已知引力常量为G，根据题中所给信息，判断下列说法中正确的是( )
A．可以测出该星球表面的重力加速度
B．可以测出该星球的密度
C．可以测出该飞船的质量
D．可以测出小铁锤撞击地面前一瞬间的速度
ABD [由h1＝gt可得该星球表面的重力加速度g＝，A正确．由G＝m2R和密度定义式ρ＝可知ρ＝，故可以测出该星球的密度，B正确．小铁锤撞击地面前一瞬间的速度v＝gt1，D正确．不能测出该飞船的质量，C错误．]
11.如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R.下列说法正确的是( )
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
BC [地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A错误，B正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为r，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为，选项C正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D错误．]
12．“神舟十号”与“天宫一号”交会对接飞行过程分为远距离导引段、自主控制段、对接段、组合体飞行段和分离撤离段．则下列说法正确的是( )
A．在远距离导引段，“神舟十号”应在距“天宫一号”目标飞行器前下方某处
B．在远距离导引段，“神舟十号”应在距“天宫一号”目标飞行器后下方某处
C．在组合体飞行段，“神舟十号”与“天宫一号”绕地球做匀速圆周运动的速度小于7.9 km/s
D．分离后，“天宫一号”变轨升高至飞行轨道运行时，其速度比在交会对接轨道时大
BC [在远距离导引段，“神舟十号”位于“天宫一号”的后下方的低轨道上飞行，通过适当加速，“神舟十号”向高处跃升，并追上“天宫一号”与之完成对接，A错，B对．“神舟十号”与“天宫一号”组合体在地球上空数百公里的轨道上运动，线速度小于第一宇宙速度7.9 km/s，C对．分离后，“天宫一号”上升至较高轨道上运动，线速度变小，D错．]
二、非选择题(本题共6小题，共52分．按题目要求作答，计算题要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位．)
13．(8分)有两颗人造卫星，都绕地球做匀速圆周运动，已知它们的轨道半径之比r1∶r2＝4∶1，求这两颗卫星的：
(1)线速度之比；
(2)角速度之比；
(3)周期之比；
(4)向心加速度之比．
[解析] (1)由G＝m得v＝
所以v1∶v2＝1∶2.
(2)由G＝mω2r得ω＝
所以ω1∶ω2＝1∶8.
(3)由T＝得T1∶T2＝8∶1.
(4)由G＝ma得a1∶a2＝1∶16.
[答案] (1)1∶2 (2)1∶8 (3)8∶1 (4)1∶16
14．(8分)火箭发射“神舟”号宇宙飞船开始阶段是竖直升空，设向上的加速度a＝5 m/s2，宇宙飞船中用弹簧测力计悬挂一个质量为m＝9 kg的物体，当飞船升到某高度时，弹簧测力计示数为85 N，那么此时飞船距地面的高度是多少？(地球半径R＝6 400 km，地球表面重力加速度g取10 m/s2)
[解析] 在地面附近，G＝mg，
在高空中，G＝mg′，
在宇宙飞船中，对质量为m的物体，
由牛顿第二定律可得：
F－mg′＝ma，
由以上三式解得：
h＝3.2×103 km.
[答案] 3.2×103 km
15．(8分)我国探月工程已规划至“嫦娥四号”，并计划在2017年将“嫦娥四号”探月卫星发射升空，到时将实现在月球上自动巡视机器人勘测．已知万有引力常量为G，月球表面的重力加速度为g，月球的平均密度为ρ，月球可视为球体，球体积计算公式V＝πR3.求：
(1)月球质量M；
(2)“嫦娥四号”探月卫星在近月球表面做匀速圆周运动的环绕速度v.
[解析] (1)设月球半径为R，则
G＝mg
月球的质量为：
M＝ρπR3
联立得：M＝，R＝.
(2)万有引力提供向心力：
G＝m
又因为R＝
所以：v＝.
[答案] (1) (2)
16．(8分)我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星－500”的实验活动．假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的，质量是地球质量的.已知地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，忽略火星以及地球自转的影响，求：
(1)火星表面的重力加速度g′的大小；
(2)王跃登陆火星后，经测量发现火星上一昼夜的时间为t，如果要发射一颗火星的同步卫星，它正常运行时距离火星表面将有多远？
[解析] (1)在地球表面，万有引力与重力相等，
＝m0g，
对火星＝m0g′，
联立解得g′＝g.
(2)火星的同步卫星做匀速圆周运动的向心力由火星的万有引力提供，且运行周期与火星自转周期相同．设卫星离火星表面的高度为h，则
＝m0()2(R′＋h)
解出同步卫星离火星表面高度h＝－R.
[答案] (1)g (2)－R
17．(10分)(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即＝k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知万有引力常量为G，太阳的质量为M太．
(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定月地距离为3.84×108 m，月球绕地球运动的周期为2.36×106 s，试计算地球的质量M地．(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，结果保留一位有效数字)
[解析] (1)因行星绕太阳做匀速圆周运动，于是轨道半长轴a即为轨道半径r.根据万有引力定律和牛顿第二定律有
G＝m行2r ①
于是有＝M太 ②
即k＝M太．
(2)在地月系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，由②式可得
＝M地
解得M地＝6×1024 kg.(M地＝5×1024 kg也算对)
[答案] 见解析
18．(10分)据国外媒体报道，天文学家日前在距离地球127光年处发现了一个拥有7颗行星的“太阳系”，这些行星与其中央恒星之间遵循基本天体运行规律，和我们太阳系的规则相似．这一星系的中央恒星名为“HD10180”．分析显示，其中一个行星绕中央恒星“HD10180”的公转周期为584天，是地球绕太阳公转周期的1.6倍；与中央恒星“HD10180”的距离是2.3亿千米，等于太阳和地球之间平均距离的1.6倍，将行星与地球的公转轨道视为圆．
(1)求恒星“HD10180”的质量与太阳的质量之比．
(2)已知该行星的质量是地球质量的25倍，半径是地球半径的16倍，求该行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比．
[解析] (1)设中央恒星质量为M1，这个行星质量为m1，绕恒星运转的轨道半径为r1，周期为T1，太阳质量为M2，地球质量为m2，地球绕太阳运转的轨道半径为r2，周期为T2；
对行星：G＝m1r12
对地球：G＝m2r22
联立解得＝＝1.6.
(2)设该行星的第一宇宙速度为v1，行星半径为R1，则有
G＝m，解得v1＝.
设地球的第一宇宙速度为v2，地球半径为R2，则有
G＝m，解得v2＝.
＝1.25.
[答案] (1)1.6 (2)1.25
