3．万有引力定律的应用
学 习 目 标
知 识 脉 络(教师用书独具)
1.掌握解决天体运动问题的基本思路．(重点)
2．会灵活计算天体的质量和密度．(重点)
3．了解万有引力定律在天文学上的重要应用.
一、预言彗星回归
1．哈雷根据万有引力理论对1682年出现的哈雷慧星的轨道运动进行了计算，指出了不同年份出现的情况，并预言了再次出现的时间．
2．1743年，克雷洛计算了遥远的木星和土星对哈雷彗星运动规律的影响，指出了运动经过近日点的时间．
3．总之，由万有引力理论可以预知哈雷彗星每次临近地球的时间，并且经过验证都是正确的．
二、预言未知星体
1．已发现天体的轨道推算
18世纪，人们观测到太阳系第七个行星——天王星的轨道和用万有引力定律计算出来的轨道有一些偏差．
2．未知天体的发现
根据已发现的天体的运动轨道结合万有引力定律推算出还没发现的未知天体的轨道，如海王星、冥王星就是这样发现的．
三、计算天体质量
1．地球质量的计算
选择地球表面的物体为研究对象，若不考虑地球自转，质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝G，则M＝，只要知道g、R的值，就可计算出地球的质量．
2．太阳质量的计算
选择某一行星为研究对象，质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G＝，由此可得太阳质量Ms＝，由此式可知只要测出行星绕太阳运动的公转周期T和距离r就可以计算出太阳的质量．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性． ( )
(2)天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道发现的．( )
(3)科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析． ( )
(4)地球表面的物体，重力就是物体所受的万有引力． ( )
(5)绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力． ( )
(6)利用地球绕太阳转动，可求地球的质量． ( )
【提示】 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)×
2．下列说法正确的是( )
A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星
D [由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．由此可知，A、B、C错误，D正确．]
3．(多选)由下列哪一组物理量可以计算地球的质量( )
A．月球的轨道半径和月球的公转周期
B．月球的半径和月球的自转周期
C．卫星的质量和卫星的周期
D．卫星离地面的高度、卫星的周期和地球的半径
AD [只要知道天体的一颗卫星或行星的周期和轨道半径，利用公式G＝mr就可以计算出中心天体的质量，故选项A、D正确．]
4．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为( )
A. B.
C. D.
B [设飞船的质量为m，它做圆周运动的半径为行星半径R，则G＝m()2R，所以行星的质量为M＝，行星的平均密度ρ＝＝＝，B项正确．]
天体质量和密度的估算
1．求天体质量的思路
绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，其向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量．
2．天体质量的计算
“自力更生法”
“借助外援法”
情景
已知天体(如地球)的半径R和天体表面的重力加速度g
行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动
思路
物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：
mg＝G
gR2＝GM(黄金代换)
行星或卫星受到的万有引力充当向心力：
G＝m
或G＝mω2r
或G
＝m2r
结果
天体(如地球)质量：
M＝
中心天体质量：
M＝
或M＝
或M＝
3.计算天体的密度
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝
将M＝代入上式得ρ＝.
特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝.
【例1】 我国探月的“嫦娥”工程已启动，在不久的将来，我国宇航员就会登上月球．假设探月宇航员站在月球表面一斜坡上的M点，并沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点N，斜面的倾角为θ，如图所示．将月球视为密度均匀、半径为R的球体，引力常量为G，则月球的密度为( )
A. B.
C. D.
思路点拨：利用平抛运动的规律可确定月球表面的重力加速度g，然后利用“自力更生法”求出月球的质量，从而得到月球的密度．
C [根据平抛运动规律有MN·sin θ＝，MN·cos θ＝v0t，两式相比得月球表面的重力加速度g＝，月球对物体的万有引力等于物体的重力，有＝mg，月球的密度ρ＝，解得ρ＝，C正确．]
?1?计算天体质量和密度的公式，既可以计算地球质量，也可以计算太阳等其他星体的质量，需明确计算的是中心天体的质量.
?2?要注意理解并区分公式中的R、r，R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，只有在近“地”轨道运行时才有r＝R.
1．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的密度为 ( )
A. B.
C. D.
B [ 物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋mR＝G，ρ＝，以上三式联立解得地球的密度ρ＝.故选项B正确，选项A、C、D错误．]
天体运动问题分析
1．解决天体运动问题的基本思路
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G＝ma，式中a是向心加速度．
2．常用的关系式
(1)G＝m＝mω2r＝mr，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力．
(2)mg＝G，即gR2＝GM，物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力．该公式通常被称为黄金代换式．
3．四个重要结论
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动．
(1)由G＝m得v＝.r越大，天体的v越小．
(2)由G＝mω2r得ω＝.r越大，天体的ω越小．
(3)由G＝m2r得T＝2π，r越大，天体的T越大．
(4)由G＝man得an＝，r越大，天体的an越小．
以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”．
4．双星模型
如图所示，宇宙中有相距较近、质量可以相比的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫作“双星”．
5．双星模型的特点
(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点．
(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供．
(3)两星的运动周期、角速度都相同．
(4)两星的运动轨道半径之和等于它们之间的距离，即r1＋r2＝L.
【例2】 如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．太阳对各小行星的引力相同
B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星 的向心加速度值
D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
C [太阳对行星的万有引力提供行星运动的向心力．因各小行星到太阳中心的距离不同，皆大于地球到太阳中心的距离，根据万有引力公式G＝m＝m2r＝ma，知太阳对各小行星的引力不相同，各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，则选项A、B错误．由a＝和v2＝得：r越小，a越大，v越大；r越大，a越小，v越小，则选项C正确，选项D错误．]
?1?分析该类问题的关键是抓住“万有引力提供向心力”这一主线.
?2?定量计算时，除抓住以上主线外，有时要借助于“黄金代换式”才能顺利解决问题.
2.研究火星是人类探索向火星移民的一个重要步骤．设火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道在地球轨道外侧，如图所示，与地球相比较，则下列说法中正确的是 ( )
A．火星运行速度较大
B．火星运行角速度较大
C．火星运行周期较大
D．火星运行的向心加速度较大
C [根据万有引力提供向心力G＝m＝mω2r＝mr＝ma，得v＝，ω＝，T＝2π，a＝，由此可知，轨道半径越大，周期越大，但速度、角速度、加速度越小，因火星的轨道半径比地球的轨道半径大，故火星的周期大，但火星的速度、角速度、加速度都较小，故C正确，A、B、D错误．]
【例3】 月球与地球质量之比约为1∶80.有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为( )
A．1∶6 400 B．1∶80
C．80∶1 D．6 400∶1
C [设地球和月球的质量分别为M、m，地月球心间距为r，地球和月球的转动半径分别为r1、r2，由题意知ω1＝ω2＝ω，则G＝Mω2r1，G＝mω2r2，所以＝＝.地球和月球转动角速度相同，可知两者绕O点运动的线速度大小之比为＝＝＝，即月球与地球绕O点运动的线速度大小之比为80∶1，选项C正确．]
双星模型的两个重要结论
(1)双星模型中，星体运动的轨道半径和质量成反比，即r1∶r2＝m2∶m1，双星系统的转动中心离质量较大的星体近．
(2)双星系统的转动周期与双星的距离L、双星的总质量(m1＋m2)有关，即T＝2π.
3.现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点，众多的恒星组成了不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，事实上，冥王星也是和另一星体构成双星，如图所示，这两颗行星m1、m2各以一定速率绕它们连线上某一中心O匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起，现测出双星间的距离始终为L，且它们做匀速圆周运动的半径r1与r2之比为3∶2，则( )
A．它们的角速度大小之比为2∶3
B．它们的线速度大小之比为3∶2
C．它们的质量之比为3∶2
D．它们的周期之比为2∶3
B [双星的角速度和周期都相同，故A、D均错误；由G＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2，解得m1∶m2＝r2∶r1＝2∶3，C错误．由v＝ωr知，v1∶v2＝r1∶r2＝3∶2，B正确．]
1．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A. B.
C. D.
B [由物体静止时的平衡条件N＝mg得g＝，根据G＝mg和G＝m得M＝，故选B.]
2.“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道．观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图所示．已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为( )
A. B.
C. D.
A [根据弧长及对应的圆心角．可得“嫦娥三号”的轨道半径r＝，根据转过的角度和时间，可得ω＝，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，可得G＝mω2r，由以上三式可得M＝.故选A.]
3．设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为r，土星绕太阳运动的周期为T，万有引力常量G已知，根据这些数据，不能求出的量有( )
A．土星线速度的大小
B．土星加速度的大小
C．土星的质量
D．太阳的质量
C [根据已知数据可求：土星的线速度大小v＝、土星的加速度a＝r、太阳的质量M＝，无法求土星的质量，所以选C.]
4.(多选)“嫦娥二号”已成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家．如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的 ( )
A．线速度大于地球的线速度
B．向心加速度大于地球的向心加速度
C．向心力仅由太阳的引力提供
D．向心力仅由地球的引力提供
AB [飞行器与地球同步绕太阳做圆周运动，所以ω飞＝ω地，由圆周运动线速度和角速度的关系v＝rω得v飞＞v地，选项A正确；由公式a＝rω2知，a飞＞a地，选项B正确；飞行器受到太阳和地球的万有引力，方向均指向圆心，其合力提供向心力，故C、D选项错误．]
5．宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起．设二者的质量分别为m1和m2，二者相距为L，求：
(1)双星的轨道半径之比；
(2)双星的线速度之比．
[解析] 这两颗星必须各以一定速率绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起，所以两天体间距离L应保持不变，二者做圆周运动的角速度ω必须相同．如图所示，设二者轨迹圆的圆心为O，圆半径分别为R1和R2
由万有引力提供向心力有
G＝m1ω2R1 ①
G＝m2ω2R2 ②
(1)①②两式相除，得＝.
(2)因为v＝ωR，所以＝＝.
[答案] (1)m2∶m1 (2)m2∶m1
课件57张PPT。第三章 万有引力定律3．万有引力定律的应用近日点哈雷慧星冥王星万有引力定律海王星万有引力 万有引力 距离r公转周期天体质量和密度的估算天体运动问题分析点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(九)
[基础达标练]
(时间：15分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径为1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为( )
A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg
D [天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力，“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律知：＝，得M＝，其中r＝R＋h，代入数据解得M＝7.4×1022 kg，选项D正确．]
2．科学家们推测，太阳系内除八大行星之外还有另一颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定( )
A．这颗行星的公转周期与地球相等
B．这颗行星的半径等于地球的半径
C．这颗行星的密度等于地球的密度
D．这颗行星上同样存在着生命
A [因只知道这颗行星的轨道半径，所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等．
由G＝m可知，行星的质量在方程两边可以消去，因此无法知道其密度．]
3．(多选)科学家在研究地月组成的系统时，从地球向月球发射激光，测得激光往返时间为t.若还已知万有引力常量G，月球绕地球旋转(可看成匀速圆周运动)的周期T，光速c(地球到月球的距离远大于它们的半径)．则由以上物理量可以求出( )
A．月球到地球的距离
B．地球的质量
C．月球受地球的引力
D．月球的质量
AB [根据激光往返时间为t和激光的速度可求出月球到地球的距离，A正确；又因知道月球绕地球旋转的周期T，根据G＝m2r可求出地球的质量M＝，B正确；根据题中数据只能计算中心天体的质量，D错误；因不知月球的质量，无法计算月球受地球的引力，C也错误．]
4．(多选)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则( )
A．恒星的质量为
B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为
D．行星运动的加速度为
ACD [行星绕恒星转动一圈时，运行的距离等于周长即v·T＝2πr 得r＝，C选项正确；由万有引力公式及牛顿第二定律知＝mr得M＝＝3＝，A选项正确；由a＝＝，D选项正确．行星绕恒星的运动与其自身质量无关，行星的质量由已知条件无法求出，故B选项错误．]
5.“嫦娥二号”卫星环月飞行的高度距离月球表面100 km，所探测到的有关月球的数据比环月飞行高度为200 km的“嫦娥一号”更加详实．若两颗卫星环月飞行均可视为匀速圆周运动，飞行轨道如图所示．则( )
A．“嫦娥二号”环月飞行的周期比“嫦娥一号”更小
B．“嫦娥二号”环月飞行的线速度比“嫦娥一号”更小
C．“嫦娥二号”环月飞行时角速度比“嫦娥一号”更小
D．“嫦娥二号”环月飞行时向心加速度比“嫦娥一号”更小
A [由T＝可知，A正确；由v＝可知B错误；由ω＝＝可知，C错误；由a＝可知，D错误．]
6．(多选)据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是行星的连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度的大小和该层至行星中心的距离R，以下判断中正确的是( )
A．若v与R成正比，则环是连续物
B．若v与R成反比，则环是连续物
C．若v2与R成反比，则环是卫星群
D．若v2与R成正比，则环是卫星群
AC [若环是行星的连续物，则其角速度与行星自转的角速度相同，故v与R成正比，A对，B错．若环是行星的卫星群，则由G＝m可得v2＝，即v2与R成反比，C对，D错．]
二、非选择题(14分)
7．火星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，火星与太阳间的引力提供火星运动的向心力，已知火星运行的轨道半径为r，运行周期为T，引力常量为G，试写出太阳质量的表达式．
[解析] 设太阳质量为M，火星的质量为m
火星与太阳间的引力提供向心力，则有
＝
v＝
两式联立得M＝.
[答案]
[能力提升练]
(时间：25分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．地球“空间站”正在地球赤道平面内的圆周轨道上运行，其离地高度为同步卫星离地高度的十分之一，且运行方向与地球自转方向一致．关于该“空间站”说法正确的有( )
A．运行的加速度一定等于其所在高度处的重力加速度
B．运行的速度等于同步卫星运行速度的倍
C．站在地球赤道上的人观察到它向东运动
D．在“空间站”工作的宇航员因受力平衡而在其中悬浮或静止
AC [空间站运动的加速度和其所在位置的重力加速度均由其所受万有引力提供，故A正确；由G＝m?v＝，运行速度与轨道半径的平方根成反比，并非与离地高度的平方根成反比，故B错误；由G＝m2R?T＝2πR，所以空间站运行周期小于地球自转的周期，故C正确；空间站宇航员所受万有引力完全提供向心力，处于完全失重状态，D错误．]
2．火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目．假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期为T1，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为T2，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则T1与T2之比为 ( )
A. B.
C. D.
D [火星探测器绕火星做圆周运动过程中，火星对探测器的万有引力提供向心力，即G＝mR12?T1＝，同理可知飞船绕地球的周期T2＝，所以＝＝，D项正确．]
3．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为 ( )
A.T B.T
C.T D.T
B [设m1的轨道半径为R1，m2的轨道半径为R2，两星之间的距离为L.
由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同．由向心力公式可得：
对m1：G＝m1R1 ①
对m2：G＝m2R2 ②
又因为R1＋R2＝L，m1＋m2＝M
由①②式可得：T＝2π
所以当两星总质量变为kM，两星之间的距离变为原来的n倍，圆周运动的周期为T′＝2π＝T，故A、C、D错误，B正确．]
4.经长期观测发现，A行星运行的轨道半径为R0，周期为T0，但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离．如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B，则行星B运动的轨道半径为( )
A．R＝R0 B．R＝R0
C．R＝R0 D．R＝R0
A [行星发生最大偏离时，A、B行星与恒星在同一直线上且位于恒星同一侧，设行星B的运行周期为T、轨道半径为R，则有t0－t0＝2π，所以T＝.由开普勒第三定律得＝，R＝R0，所以选项A正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)如图为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图．首先在发动机作用下，探测器受到推力在距月面高度为h1处悬停(速度为0，h1远小于月球半径)；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为h2处的速度为v，此后发动机关闭，探测器仅受重力下落至月面，已知探测器总质量为m(不包括燃料)，地球和月球的半径比为k1，质量比为k2，地球表面附近的重力加速度为g，求月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小．
[解析] 设地球的质量和半径分别为M和R，月球的质量、半径和表面附近的重力加速度分别为M′、R′和g′，探测器刚接触月面时的速度大小为vt.
由mg′＝G和mg＝G，得g′＝g.
由v－v2＝2g′h2，得vt＝.
[答案] g
6．(14分)进入21世纪，我国启动了探月计划——“嫦娥工程”．同学们也对月球有了更多的关注．
(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径；
(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点．已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M月．
[解析] (1)根据万有引力定律和向心力公式
G＝M月R月()2 ①
mg＝G ②
联立①②得
R月＝.
(2)设月球表面的重力加速度为g月，根据题意：
v0＝ ③
mg月＝G ④
联立③④得 M月＝.
[答案] (1) (2)
