3. 圆周运动的实例分析
学 习 目 标
知 识 脉 络(教师用书独具)
1.知道向心力可以由一个力或几个力的合力提供，会分析具体问题中的向心力来源．(难点)
2.能用匀速圆周运动规律分析、处理生产和生活中的实例．(重点、难点)
3.了解什么是离心运动，知道物体做离心运动的条件.
一、汽车过拱形桥
1．向心力来源：重力和桥面的支持力的合力提供向心力．
2．动力学关系
(1)如图甲所示，汽车在凸形桥的最高点时，满足的关系为mg－N＝，N＝mg－m，由牛顿第三定律可知汽车对桥面的压力大小等于支持力，因此汽车在凸形桥上运动时，对桥的压力小于重力．当v＝时，其压力为零．
甲 乙
(2)如图乙所示，汽车经过凹形桥的最低点时，满足的关系为N－mg＝，N＝mg＋m，汽车对桥的压力大小N′＝N.汽车过凹形桥时，对桥的压力大于重力．
二、“旋转秋千”
“旋转秋千”运动可简化为圆锥摆模型，如图所示．
1．向心力来源：重力和悬线的拉力的合力提供．
2．动力学关系
mgtan_α＝mω2r，又r＝lsin_α，则ω＝，周期T＝2π
所以cos α＝，由此可知，α与角速度ω和绳长l有关，在绳长l确定的情况下，角速度ω越大，α越大．
三、火车转弯
1．火车在弯道上的运动特点
火车车轮上突出的轮缘在铁轨上起到限定方向的作用，如果火车在水平路基上转弯，外侧对轮缘的弹力就是火车转弯的向心力，轮缘与外轨间的作用力很大，铁轨与轮缘极易受损，故实际在转弯处，火车的外轨略高于内轨．
2．向心力的来源
根据轨道半径和规定的行驶速度适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力和支持力的合力来提供．
四、离心运动
1．定义：物体沿圆周运动的切线方向飞出或远离圆心的运动．
2．原因：合外力提供的向心力消失或不足．
3．离心机械：利用离心运动的机械．
4．应用：脱水筒、离心机．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)汽车驶过凸形桥最高点时，对桥的压力可能等于零． ( )
(2)汽车驶过凹形桥低点时，对桥的压力一定大于重力． ( )
(3)体重越大的人坐在秋千上旋转时，缆绳与中心轴的夹角越小． ( )
(4)火车转弯时的向心力是车轨与车轮间的挤压提供的． ( )
(5)火车按规定的速率转弯时，内外轨都不受火车的挤压作用．
( )
(6)做离心运动的物体一定不受外力作用． ( )
(7)做圆周运动的物体只有突然失去向心力时才做离心运动．
( )
【提示】 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)× (7)×
2．如图所示，在某次军事演习中，一辆战车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进，则战车对路面的压力最大和最小的位置分别是( )
A．A点，B点 B．B点，C点
C．B点，A点 D．D点，C点
C [战车在B点时由FN－mg＝m知FN＝mg＋m，则FN>mg，故对路面的压力最大，在C和A点时由mg－FN＝m知FN＝mg－m，则FNRA，故FNC>FNA，故在A点对路面压力最小，故选C.]
3．如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是( )
A．A的速度比B的大
B．A与B的向心加速度大小相等
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
D [在转动过程中，A、B两座椅的角速度相等，但由于B座椅的半径比较大，故B座椅的速度比较大，向心加速度也比较大，A、B项错误；A、B两座椅所需向心力不等，而重力相同，故缆绳与竖直方向的夹角不等，C项错误；根据F＝mω2r判断A座椅的向心力较小，所受拉力也较小，D项正确．]
4.(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处( )
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
AC [汽车转弯时，恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明公路外侧高一些，支持力的水平分力刚好提供向心力，此时汽车不受静摩擦力的作用，与路面是否结冰无关，故选项A正确，选项D错误．当vvc时，支持力的水平分力小于所需向心力，汽车有向外侧滑动的趋势，在摩擦力大于最大静摩擦力前不会侧滑，故选项B错误，选项C正确．]
竖直面内的圆周运动
1．轻绳模型
如图所示，轻绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，由mg＝m，得v＝.即绳类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝.
在最高点时：
(1)v＝时，拉力或压力为零．
(2)v>时，物体受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．
(3)v<时，物体不能达到最高点．(实际上球未到最高点就脱离了轨道)
2．轻杆模型
如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，即杆类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝0.
在最高点时：
(1)v＝0时， 小球受向上的支持力N＝mg.
(2)0(3)v＝时，小球只受重力．
(4)v>时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．
【例1】 (多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F-v2图像如图乙所示．则( )
甲 乙
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
思路点拨： 由于杆既可以提供支持力，又可以提供拉力，故小球通过最高点时的速度可以不同，则通过F-v2图像，可得到小球通过最高点时杆的弹力和小球速度大小的定量关系，从而找到解题的突破口．
ACD [对小球在最高点进行受力分析，速度为零时，F－mg＝0，结合图像可知a－mg＝0；当F＝0时，由牛顿第二定律可得mg＝，结合图像可知mg＝，联立解得g＝，m＝，选项A正确，B错误．由图像可知b＜c，当v2＝c时，根据牛顿第二定律有F＋mg＝，则杆对小球有向下的拉力，由牛顿第三定律可知，选项C正确；当v2＝2b时，由牛顿第二定律可得mg＋F′＝，可得F′＝mg，选项D正确．]
竖直平面内圆周运动的分析方法
物体在竖直平面内做圆周运动时：
1．明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型．
2．明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点．
3．分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解．
1.(多选)如图所示，质量为m的物体，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是( )
A．受到向心力为mg＋m
B．受到的摩擦力为μm
C．受到的摩擦力为μ
D．受到的合力方向斜向左上方
CD [体在最低点时受到重力mg、支持力FN和摩擦力Ff，如图所示，其沿径向的合力Fn提供向心力，Fn＝m，A错误．由Fn＝FN－mg，得FN＝mg＋m，则物体受到的滑动摩擦力Ff＝μFN＝μ，B错误，C正确．Ff水平向左，故物体受到的合力斜向左上方，D正确．]
物体在球壳最
低点的受力分析
火车转弯问题分析
1．明确圆周平面
火车转弯处的铁轨，虽然外轨高于内轨，但整个外轨是等高的，整个内轨是等高的．因而火车在行驶的过程中，中心的高度不变，即火车中心的轨迹在同一水平面内．故火车的圆周平面是水平面，而不是斜面．火车的向心加速度和向心力均沿水平方向指向轨道的圆心．
2．受力特点
在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，火车所受支持力的方向斜向上，火车所受支持力与重力的合力可以提供向心力．
3．速度与轨道压力的关系
(1)若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力充当向心力，则mgtan θ＝m，如图所示，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角(tan θ≈，h为内外轨高度差，L为内外轨间距)，v0为转弯处的规定速度．此时，内外轨道对火车均无挤压作用；
(2)若火车行驶速度v0>，外轨对轮缘有侧压力；
(3)若火车行驶速度v0<，内轨对轮缘有侧压力．
【例2】 有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m．(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值．
思路点拨：解答本题时可按以下思路进行分析：
[解析] (1)外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有N＝m＝ N＝105 N.
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于105 N.
(2)火车的重力和铁轨对火车的弹力的合力提供向心力，如图所示，
则mgtan θ＝m
由此可得tan θ＝＝0.1.
[答案] (1)105 N (2)0.1
火车转弯问题的两点注意
(1)合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下．因为，火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心．
(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用．速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力．
2．(多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是( )
A．v一定时，r越小则要求h越大
B．v一定时，r越大则要求h越大
C．r一定时，v越小则要求h越大
D．r一定时，v越大则要求h越大
AD [设轨道平面与水平方向的夹角为θ，由mgtan θ＝m，得tan θ＝，又因为tan θ≈sin θ＝，所以＝.可见v一定时，r越大，h越小，故A正确，B错误；当r一定时，v越大，h越大，故C错误，D正确．]
对离心运动的理解
1．离心运动的实质：离心运动是物体逐渐远离圆心的一种物理现象，它的本质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到指向圆心的力．
2．离心运动、近心运动的判断：物体做离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力F与所需向心力(m或mrω2)的大小关系决定．(如图所示)
(1)若F＝mrω2(或m)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动．
(2)若F＞mrω2(或m)，即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动．
(3)若F＜mrω2(或m)，即“提供”不足，物体做离心运动．
(4)若F＝0，物体做离心运动，并沿切线方向飞出．
【例3】 如图所示是摩托车比赛转弯时的情形．转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动．对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是( )
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
B [摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，选项A错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，选项B正确；摩托车将沿曲线做离心运动，选项C、D错误．]
分析离心运动需注意的问题
1．物体做离心运动时并不存在“离心力”，“离心力”的说法是因为有的同学把惯性当成了力．
2．离心运动并不是沿半径方向向外远离圆心的运动．
3．摩托车或汽车在水平路面上转弯，当最大静摩擦力不足以提供向心力时，即Fmax＜m，做离心运动．
3.如图所示，在光滑的水平面上，小球在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是( )
A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
A [F突然消失时，小球将沿该时刻线速度方向，即沿轨迹Pa做离心运动，选项A正确；F突然变小时，小球将会沿轨迹Pb做离心运动，选项B、D均错误；F突然变大时，小球将沿轨迹Pc做近心运动，选项C错误．]
1．通过阅读课本，几个同学对生活中的圆周运动的认识进行交流．甲说：“ 洗衣机甩干衣服的道理就是利用了水在高速旋转时会做离心运动．” 乙说：“ 火车转弯时，若行驶速度超过规定速度，则内轨与车轮会发生挤压．” 丙说：“ 汽车过凸形桥时要减速行驶，而过凹形桥时可以较大速度行驶．” 丁说：“ 我在游乐园里玩的吊椅转得越快，就会离转轴越远，这也是利用了离心现象．” 你认为正确的是( )
A．甲和乙 B．乙和丙
C．丙和丁 D．甲和丁
D [甲和丁所述的情况都是利用了离心现象，D正确；乙所述的情况，外轨会受到挤压，汽车无论是过凸形桥还是凹形桥都要减速行驶，A、B、C选项均错．]
2.(多选)如图所示，在匀速转动的洗衣机脱水桶内壁上，有一件湿衣服随圆桶一起转动而未滑动，则( )
A．衣服随圆桶做圆周运动的向心力由静摩擦力提供
B．圆桶转速增大，衣服对桶壁的压力也增大
C．圆桶转速足够大时，衣服上的水滴将做离心运动
D．圆桶转速增大以后，衣服所受摩擦力也增大
BC [衣服做圆周运动的向心力由桶壁的弹力提供，A错误．转速增大，衣服对桶壁压力增大，而摩擦力保持不变，B正确，D错误．转速足够大时，衣服上的水滴做离心运动，C正确．]
3.(多选)火车在铁轨上转弯可以看做是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损．为解决火车高速转弯时使外轨受损这一难题，你认为理论上可行的措施是( )
A．减小弯道半径
B．增大弯道半径
C．适当减小内外轨道的高度差
D．适当增加内外轨道的高度差
BD [当火车速度增大时，可适当增大转弯半径或适当增大轨道倾角，以减小外轨所受压力．]
4．如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧．若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为( )
A. B．2
C. D.
C [小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界条件为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，选项C正确．]
5．如图所示，小球A质量为m，固定在长为L的轻细直杆一端，并随杆一起绕杆的另一端点O在竖直平面内做圆周运动，如果小球经过最高位置时，杆对小球的作用力大小等于小球的重力．求：
(1)小球的速度大小；
(2)当小球经过最低点时速度为，此时，求杆对球的作用力的大小和球的向心加速度的大小．
[解析] (1)小球A在最高点时，对球受力分析：重力mg，拉力F＝mg或支持力F＝mg
根据小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力，得
mg±F＝m ①
F＝mg ②
解①②两式，可得v＝或v＝0.
(2)小球A在最低点时，对球受力分析：重力mg、拉力F′，设向上为正方向
根据小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力，F′－mg＝m，解得F′＝mg＋m＝7mg，
故球的向心加速度a＝＝6g.
[答案] (1)或0 (2)7mg 6g
课件67张PPT。第二章 匀速圆周运动3. 圆周运动的实例分析小于重力支持力mg－N N－mg 大于 拉力 mgtanα lsinα 大 略高于外侧消失或不足轨道半径规定的行驶速度远离圆心竖直面内的圆周运动火车转弯问题分析对离心运动的理解点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(六)
[基础达标练]
(时间：15分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．秋千的吊绳有些磨损．在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千( )
A．在下摆过程中 B．在上摆过程中
C．摆到最高点时 D．摆到最低点时
D [当秋千摆到最低点时速度最大，由F－mg＝m知，吊绳中拉力F最大，吊绳最容易断裂，选项D正确．]
2．某同学在进行课外实验时，做了一个“人工漩涡”的实验，取一个装满水的大盆，用手掌在水中快速转动，就在水盆中形成了“漩涡”，随着手掌转动越来越快，形成的漩涡也越来越大，则关于漩涡形成的原因，下列说法中正确的是 ( )
A．由于水受到向心力的作用
B．由于水受到合外力的作用
C．由于水受到离心力的作用
D．由于水做离心运动
D [水在手的拨动下做圆周运动，当水转动越来越快时，需要的向心力也越来越大，当其所需向心力大于所受合外力时，即做离心运动，故选项D正确．]
3.汽车在转弯时容易打滑出事故，为了减少事故发生，除了控制车速外，一般会把弯道做成斜面．如图所示，斜面的倾角为θ，汽车的转弯半径为r，则汽车安全转弯速度大小为( )
A. B.
C. D.
C [高速行驶的汽车转弯时所需的向心力由重力和路面的支持力的合力提供同，完全不依靠摩擦力，如图．
根据牛顿第二定律得：
mgtan θ＝m
解得：v＝
故选C.]
4.(多选)如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周运动．圆环半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时( )
A．小球对圆环的压力大小等于mg
B．小球受到的向心力等于0
C．小球的线速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
CD [小球在最高点时刚好不脱离圆环，则圆环刚好对小球没有作用力，小球只受重力，重力竖直向下提供向心力，根据牛顿第二定律得小球的向心加速度大小为a＝＝g，再根据圆周运动规律得a＝＝g，解得v＝.]
5.(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的A点和C点，如图所示，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时木架停止转动，则( )
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B．在绳被烧断瞬间，a绳中张力突然增大
C．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动
D．若角速度ω较大，小球可在垂直于平面ABC的竖直平面内做圆周运动
BCD [绳b烧断前，竖直方向合力为零，即Fa＝mg，烧断b后，因惯性，要在竖直面内做圆周运动，且F′a－mg＝m，所以F′a>Fa，A错，B对．当ω足够小时，小球不能摆过AB所在高度，C对．当ω足够大时，小球在竖直面内能通过AB上方最高点．从而做圆周运动，D对．]
6.如图所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则两个物体的运动情况是( )
A．两物体均沿切线方向滑动
B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动
D．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远
D [A、B受力情况如图所示．A、B两物体刚好还未发生滑动时，物体A需要的向心力FA＝fmax＋T＝mω2rA，物体B需要的向心力FB＝fmax－T＝mω2rB，因此FA＞FB，烧断细线后，细线上拉力T消失，对A有fmax＜mω2rA，物体A做离心运动；对B有fmax＞mω2rB，物体B随盘一起转动，选项D正确．]
二、非选择题(14分)
7.如图所示，一光滑的半径为0.1 m的半圆形轨道放在水平面上，一个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，当小球将要从轨道口飞出时，轨道对小球的压力恰好为零，g取10 m/s2，求：
(1)小球在B点速度是多少？
(2)小球落地点离轨道最低点A多远？
(3)落地时小球速度为多少？
[解析] (1)小球在B点时只受重力作用，竖直向下的重力提供小球做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律可得：mg＝m
代入数值解得：vB＝＝1 m/s.
(2)小球离开B点后，做平抛运动．根据平抛运动规律可得：2r＝gt2
s＝vBt，代入数值联立解得：s＝0.2 m.
(3)根据运动的合成与分解规律可知，小球落地时的速度为v＝＝ m/s.
[答案] (1)1 m/s (2)0.2 m (3) m/s
[能力提升练]
(时间：25分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1.无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管．已知管状模型内壁半径为R，则下列说法正确的是( )
A．铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上的
B．模型各个方向上受到的铁水的作用力相同
C．若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力
D．管状模型转动的角速度ω最大为
C [铁水做圆周运动，重力和弹力的合力提供向心力，没有离心力，故A错误；铁水在竖直面内做圆周运动，故模型各个方向上受到的铁水的作用力不一定相同，故B错误；若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，则是重力恰好提供向心力，故C正确；为了使铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，管状模型转动的角速度不能小于临界角速度，故D错误．]
2.(多选)如图所示，水平转台上放着A、B、C三个物体，质量分别为2m、m、m，离转轴的距离分别为R、R、2R，与转台间的动摩擦因数相同，转台旋转时，下列说法中正确的是( )
A．若三个物体均未滑动，C物体的向心加速度最大
B．若三个物体均未滑动，B物体受的摩擦力最大
C．转速增加，A物体比B物体先滑动
D．转速增加，C物体先滑动
AD [三个物体均未滑动时，做圆周运动的角速度相同，均为ω，根据a＝ω2r知，半径最大的向心加速度最大，A正确；三个物体均未滑动时，静摩擦力提供向心力，fA＝2mω2R，fB＝mω2R，fC＝2mω2R，B物体受的摩擦力最小，B错误；转速增加时，角速度增加，当三个物体都刚要滑动时，对A：2μmg＝2mω2R，对B：μmg＝mω2R，对C：μmg＝2mω2R，所以当转速增加时，C的静摩擦力提供向心力首先达到不足，C物体先滑动，D正确；A与B要么不动，要么一起滑动，C错误．]
3.质量为m的物体随水平传送带一起匀速运动，A为传送带的终端皮带轮，如图所示，皮带轮半径为r，要使物体通过终端时能水平抛出，皮带轮的转速至少为( )
A. B.
C. D.
A [若物体通过终端能水平抛出，说明到达皮带轮时刻，物体与皮带轮间无相互作用力，即重力充当向心力，则mg＝，即v＝，而n＝＝＝.]
4．如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水平面，今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A点进入圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点D，则小球在通过D点后( )
A．会落到水平面AE上
B．一定会再次落到圆轨道上
C．可能会落到水平面AE上
D．可能会再次落到圆轨道上
A [小球刚好能过最高点时速度v＝，离开D后做平抛运动，下落高度为R，时间为t＝，水平位移x＝vt＝R＞R，所以小球一定落在AE上，故选A.]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)如图所示，被长为L的细绳系着的小球A能绕O点在竖直平面内做圆周运动，O点离地面的竖直高度为h＝3L，如果绳受到的拉力等于小球重力的5倍时就会断裂，那么小球运动到最低点的速度多大时，绳恰好断裂？小球以该速度飞出后落地点距O点的水平距离为多少？
[解析] 小球在最低点绳恰好断裂时，绳上拉力为
T＝5mg，根据牛顿第二定律得，T－mg＝m
则小球在最低点的速度为v0＝
小球在最低点细绳恰好断裂后做平抛运动，则
h－L＝gt2
h＝3L且s＝v0t
联立解得：s＝4L.
[答案] 4L
6．(14分)如图所示，桥面为圆弧形的立交桥AB，横跨在水平路面上，长为L＝160 m，桥高h＝35 m．可以认为桥的两端A、B与水平路面的连接处是平滑的，一辆质量m＝2.0 t的小轿车，驶过半径R＝90 m的一段圆弧形桥面，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)若桥面为凸形，轿车以v1＝10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？
(2)若轿车通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力，则速度v2是多大？
(3)若轿车以问题(2)中的速度v2通过凸形桥面顶点，求轿车到达水平路面时速度的大小及其方向与水平方向夹角的余弦值．
[解析] (1)轿车通过桥面最高点时，由桥面的支持力和重力提供向心力，由牛顿第二定律得：
mg－N＝m
可得N＝m＝2 000×N≈1.78×104 N
由牛顿第三定律得：汽车对桥面压力是N′＝N＝1.78×104 N.
(2)若轿车通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力，由重力提供向心力，由牛顿第二定律得：
mg＝m
可得v2＝＝ m/s＝30 m/s.
(3)若轿车以问题(2)中的速度v2通过凸形桥面顶点后做平抛运动，则有
h＝gt2，t＝＝ s＝ s
轿车到达水平路面时速度的大小v＝＝40 m/s
速度方向与水平方向夹角的余弦值cos α＝＝0.75.
[答案] (1)1.78×104 N (2)30 m/s (3)40 m/s 0.75
