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《24.3正多边形和圆》导学案
课题 正多边形和圆 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1. 理解正多边形概念和性质，知道正多边形的中心、半径、中心角和边心距． 2. 会画正多边形，了解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形，过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形．
重点难点 重点： 正多边形的画法、利用正多边形解决有关问题．难点：应用多边形和圆的有关知识计算及画多边形
教学过程
知识链接 1、什么样的图形是正多边形？ 2、说出下列几种常见的正多边形的名称3、说出下列生活中的图案含有哪些正多边形？
合作探究 知识点1、正多边形和圆的联系活动1、正多边形与圆到底有什么样的关系呢?（以正五边形为例）回答下列的问题:①如图所示：如何将圆等分为5份？②如图，已经将圆等分，并做出五边形，你能证明它一定是正五边形吗？通过这两个操作，我们发现多边形和圆具有以下关系：●归纳：这个正多边形就是这个圆的____________,这个圆叫做这个正多边形的_______.活动2、利用刚才的结论如何三等分圆周呢？●通过学习我们能回答正多边形与圆有着密切的联系： (1)圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆具有旋转不变性． (2)正多边形也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，当n为偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心。且绕中心旋转，都能和原来的图形重合． (3)正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念，同样说明正多边形与圆有着很多内在的联系．知识点2、正多边形和圆中的相关概念我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的_____，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的______，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的________（如图）．相关计算关系：例 如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．
自主尝试 1.下列命题正确的是( )A.各边相等的多边形是正多边形 B.各角相等的多边形是正多边形 C.既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形 D.各边相等,各角也相等的多边形是正多边形2.下列说法:①各边相等的圆内接多边形是正多边形;②各角相等的圆内接多边形是正多边形.正确的是( )A.① B.② C.①② D.都不正确 3、已知点A、B、C、D、E是⊙O 的5等分点，画出⊙O的内接正五边形和外切正五边形.4、已知☉O和☉O上的一点A(如图). (1)作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH; (2)在(1)题的作图中,如果点E在弧AD上, 求证:DE是☉O的内接正十二边形的一边.5、正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1∶2∶3 B.1∶∶ C.1∶∶3 D.1∶2∶6、在半径为R的圆中,内接正方形与内接正六边形的边长之比为______.
当堂检测 1.如图,在☉O中,OA=AB,OC⊥AB,则下列结论错误的是( )A.弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长 C.= D.∠BAC=30°2.一元钱的硬币的直径约为24mm,则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过___________mm(结果保留根号). 3.若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( )A.6,3 B.3,3 C.6,3 D.6,34.正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为( )A.2∶ B.∶2 C.2∶1 D.∶15.如图(1),(2),(3),…,(n),M,N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM、ON. (1)求图(1)中∠MON的度数. (2)图(2)中∠MON的度数是_______,图(3)中∠MON的度数是___. (3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
小结反思 通过本节课学习你有什么收获？
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《24.3正多边形和圆》导学案
课题 正多边形和圆 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1. 理解正多边形概念和性质，知道正多边形的中心、半径、中心角和边心距． 2. 会画正多边形，了解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形，过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形．
重点难点 重点： 正多边形的画法、利用正多边形解决有关问题．难点：应用多边形和圆的有关知识计算及画多边形
教学过程
知识链接 1、什么样的图形是正多边形？ 2、说出下列几种常见的正多边形的名称3、说出下列生活中的图案含有哪些正多边形？正多边形和圆有什么关系呢？本节课我们一起学习。
合作探究 知识点1、正多边形和圆的联系活动1、正多边形与圆到底有什么样的关系呢?（以正五边形为例）回答下列的问题我们就会知道答案：①如图所示：如何将圆等分为5份？②如图，已经将圆等分，并做出五边形，你能证明它一定是正五边形吗？证明：∵ ＝，∴ AB＝BC＝CD＝DE＝EA，＝3＝．∴ ∠A＝∠B． 同理 ∠B＝∠C＝∠D＝∠E． 又 五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．引导学生分析，由等分圆得到弧相等、弦相等从而画出正多边形，反过来正多边形由边相等得到弧相等，从而得出等分圆。 通过这两个操作，我们发现多边形和圆具有以下关系：●归纳：这个正多边形就是这个圆的内接正多边形,这个圆叫做这个正多边形的外接圆.活动2、利用刚才的结论如何三等分圆周呢？(1)度量法： ①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°，如图： ②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，如图： (2)尺规作图：用圆规在⊙O上截取长度等于半径（2cm）的弦，连结AB、BC、CA即可，如图：(3)计算与尺规作图结合法：由圆内接正三角形的边长与圆的半径的关系可得，正三角形的边长为cm，R=2cm，用圆规在⊙O上截取长度为cm的弦AB、AC，连结AB、BC、CA即可．●通过活动1、2归纳：作正多边形的方法有两种：（1）用圆规等分圆周；（2）用尺规作图法将简单正多边形变化为复杂正多边形。●通过学习我们能回答正多边形与圆有着密切的联系： (1)圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆具有旋转不变性． (2)正多边形也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，当n为偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心。且绕中心旋转，都能和原来的图形重合． (3)正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念，同样说明正多边形与圆有着很多内在的联系．知识点2、正多边形和圆中的相关概念我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距（如图）．相关计算关系：例 如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．教师引导学生分析、讨论，根据题意，画图，添加补充线，然后解答 ∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
自主尝试 1.下列命题正确的是( )DA.各边相等的多边形是正多边形 B.各角相等的多边形是正多边形 C.既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形 D.各边相等,各角也相等的多边形是正多边形2.下列说法:①各边相等的圆内接多边形是正多边形;②各角相等的圆内接多边形是正多边形.正确的是( )AA.① B.② C.①② D.都不正确 3、已知点A、B、C、D、E是⊙O 的5等分点，画出⊙O的内接正五边形和外切正五边形.4、已知☉O和☉O上的一点A(如图). (1)作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH; (2)在(1)题的作图中,如果点E在弧AD上, 求证:DE是☉O的内接正十二边形的一边. 解(1)作法:①作直径AC;②作直径BD⊥AC; ③依次连接A,B,C,D四点. ∴四边形ABCD即为☉O的内接正方形. ④分别以A,C为圆心,OA的长为半径作弧,交☉OE,H,F,G; ⑤顺次连接A,E,F,C,G,H各点; ∴六边形AEFCGH为☉O的内接正六边形,如图所示. (2)连接OE,DE.∵∠AOD==90°,∠AOE==60°, ∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=30°. ∴DE为☉O的内接正十二边形的一边.5、正三角形的边心距、半径和高的比是( )AA.1∶2∶3 B.1∶∶ C.1∶∶3 D.1∶2∶ 解:如图过点C作CD⊥AB,垂足为D,则CD必过中心O点,连接OB,设OD=x,则OB=2x,所以△ABC的高线为3x,因此正三角形的边心距、半径和高的比为1∶2∶3.6、在半径为R的圆中,内接正方形与内接正六边形的边长之比为______.答案: QUOTE ∶1 解:内接正方形的边长为R,内接正六边形的边长为R,其比为∶1.
当堂检测 1.如图,在☉O中,OA=AB,OC⊥AB,则下列结论错误的是( )DA.弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长 C.= D.∠BAC=30° 解:∵OA=AB=OB,∴△OAB是等边三角形,∴∠AOB=60°.又∵OC⊥AB,∴=,∠AOC=∠BOC=30°,∴∠BAC=15°,所以选项A,B,C都正确,D错误.2.一元钱的硬币的直径约为24mm,则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过___________mm(结果保留根号).答案:12 QUOTE 解:如图,已知此圆半径为12mm,则OB=12mm.在直角△OBD中,∠BOD=60°, ∴∠OBD=30°,∴OD=6mm, BD==6mm. ∴BC=12mm.3.若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( )BA.6,3 B.3,3 C.6,3 D.6,3 解:作图如下,由正方形的性质、垂径定理可得OE=AE=3,OA=3.4.正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为( )AA.2∶ B.∶2 C.2∶1 D.∶1 解:设正六边形的半径是r,则外接圆的半径为r,内切圆的半径是正六边形的边心距,因而是r,因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2∶.5.如图(1),(2),(3),…,(n),M,N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM、ON. (1)求图(1)中∠MON的度数. (2)图(2)中∠MON的度数是_______,图(3)中∠MON的度数是___. (3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).解:(1)连接OB,OC. ∵正△ABC内接于☉O, ∴∠OBM=∠OCN=30°, ∠BOC=120°. 又∵BM=CN,OB=OC, ∴△OBM≌△OCN.∴∠BOM=∠CON. ∴∠MON=∠BOC=120°. (2)90° 72° (3)∠MON=.
小结反思 通过本节课学习你有什么收获？
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