北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第24讲《分式与分式方程》全章复习与巩固(基础)（含答案）

《分式》全章复习与巩固（基础）
【学习目标】
1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．
3．掌握分式的四则运算．
4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．
【知识网络】
/【要点梳理】
要点一、分式的有关概念及性质
1．分式
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子/叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式/才有意义.
2.分式的基本性质　　//（M为不等于0的整式）.3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
要点二、分式的运算
1．约分　
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　
3．基本运算法则
　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
/ ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
/ ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
（2）乘法运算 /，其中/是整式，/.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算 /，其中/是整式，/.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算 /
分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序
　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
要点三、分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.
要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.
要点四、分式方程的应用　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
【典型例题】
类型一、分式及其基本性质
/1、在/中，分式的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C；
【解析】/是分式.
【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
/2、当/为何值时，分式/的值为0？
【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值．
【答案与解析】
解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．
由题意，得/ 解得/．
∴ 当/时，分式/的值为0．
【总结升华】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况.
举一反三：
【变式】（1）若分式/的值等于零，则/＝_______；　　　　（2）当/________时，分式/没有意义．【答案】（1）由/＝0，得/. 当/＝2时/－2＝0，所以/＝－2；　　　　　　　　　 （2）当/，即/＝1时，分式/没有意义．
类型二、分式运算
/3、计算：/．
【答案与解析】
解：/
/．
【总结升华】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把/和/先约分；二是将/和/约分后的结果错认为是1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键．
举一反三：
【变式】（2019?滨州）化简：/÷（/﹣/）
【答案】
解：原式=/÷/
=/?/
=﹣/．
类型三、分式方程的解法
/4、（2019?呼伦贝尔）解方程：/．
【思路点拨】观察可得最简公分母是（x﹣1）（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【答案与解析】
解：方程的两边同乘（x﹣1）（x+1），得
3x+3﹣x﹣3=0，
解得x=0．
检验：把x=0代入（x﹣1）（x+1）=﹣1≠0．
∴原方程的解为：x=0．
【总结升华】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
举一反三：
【变式】/，
【答案】
解： 方程两边同乘以/，得
/
检验：当/时，最简公分母/，
∴/是原方程的解．
类型四、分式方程的应用
/5、（2019?东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？
【思路点拨】先设原计划每天铺设x米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．
【答案与解析】
解：设原计划每天铺设x米管道，由题意得：
/﹣/=5，
解得：x=20，
经检验：x=20是原方程的解．
答：原计划每天铺设20米管道．
【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
举一反三：
【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km，王老师家到学校的路程为0.5 km，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?
【答案】
解：设王老师步行的速度为/ km/h，则他骑自行车的速度为3/ km/h．
根据题意得：/．
解得：/．
经检验/是原方程的根且符合题意．
当/时，/．
答：王老师步行的速度为5km/h，他骑自行车的速度为15km/h．
【巩固练习】
一.选择题
1．（2019春?无锡期末）下列各式：（﹣m）2，/，/，x2+/y2，5，/，/中，分式有（　　）
　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
2.把分式/中的/都扩大3倍，则分式的值( )．
A.扩大3倍 B.扩大6倍
C.缩小为原来的/ D.不变
3．下列各式中，正确的是( )．
A./ B./
C./ D./
4.式子/的值为0，那么/的值是（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．不存在
5．（2019?德州）化简/﹣/等于（　　）
A．/ B．/ C．﹣/ D．﹣/
6.下列分式中，最简分式是( )．
A./ B./
C./ D./
7．将分式方程/化为整式方程时，方程两边应同乘（ ）．
A．/ B．/
C．/ D．/
8.方程/的解是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．无解
二.填空题
9．若x＞/，那么/的值是______________．
10．当/______时，分式/有意义．
11．当/______时，分式/的值为正．
12．/＝______．
13.（2019?内江）化简：（/+/）/=　 　．
14.写出下列分式中的未知的分子或分母：
（1）/；（2）/；（3）/．
15．分式方程/若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是______．
16．方程/的解是______．
三.解答题
17.计算/；（2）/．
18.已知/，求/．
19. 已知/，求/的值．
20.（2019?济南）济南与北京两地相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，求高铁列车的平均行驶速度．

【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】B；
【解析】解：（﹣m）2，/，x2+/y2，5，/的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．/，/分母中含有字母，因此是分式．
故选B．
2. 【答案】D；
【解析】/.
3. 【答案】A；
【解析】/.
4. 【答案】B；
【解析】由题意/且/，解得/.
5. 【答案】B；
【解析】解：原式=/+/=/+/=/=/，故选B.
6. 【答案】D；
7. 【答案】D；
【解析】原方程的最简公分母为/.
8. 【答案】D；
【解析】解分式方程得/，经检验，/为原方程的增根.
二.填空题
9. 【答案】1；
【解析】若x＞/，
不等式两边同时乘以5，得到5x＞2，
则2﹣5x＜0，
∴|2﹣5x|=5x﹣2，
那么/=/=1．.
10.【答案】/；
11.【答案】/；
【解析】要使分式的值为正，需/，解得/.
12.【答案】/；
【解析】/.
13.【答案】a；
【解析】解：原式=/?/=（a+3）?/=a．
14.【答案】（1）/ （2）/ （3）/
15.【答案】/；
16.【答案】/；
【解析】去分母得，/，化简得：/，经检验，/是原方程的根.
三.解答题
17.【解析】
解：（1）/
/
/
/．
（2）原式/．
18.【解析】
解：原式//
/．
当/时，原式/．
19.【解析】
解： 设/，则/，/，/．
所以/．
20.【解析】
解：设普通快车的速度为xkm/时，由题意得：
/﹣/=4，
解得：x=80，
经检验：x=80是原分式方程的解，
3x=3×80=240，
答：高铁列车的平均行驶速度是240km/时．