北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第25讲 平行四边形及其性质(基础)（含答案）

平行四边形及其性质（基础）

【学习目标】
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理.
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．
3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用．
4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”。“夹在两条平行线间的垂线段相等” ．
【要点梳理】
知识点一、平行四边形的定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
知识点二、平行四边形的性质定理
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
知识点三、平行线的性质定理
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
2．平行线性质定理及其推论
夹在两条平行线间的平行线段相等.
平行线性质定理的推论：
夹在两条平行线间的垂线段相等.
【典型例题】
类型一、平行四边形的性质
1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．求证：DF＝EC．
【答案与解析】
证明：∵ 在ABCD中，CD∥AB，
∠DFA＝∠FAB．
又∵ AF是∠DAB的平分线，
∴ ∠DAF＝∠FAB，
∴ ∠DAF＝∠DFA，
∴ AD＝DF．
同理可得EC＝BC．
∵ 在ABCD中，AD＝BC，
∴ DF＝EC．
【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等提供了条件．
举一反三：
【变式】如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.

【答案】
证明：猜想：BE ∥DF且BE＝DF.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴CB=AD，CB∥AD
∴∠BCE＝∠DAF
在△BCE和△DAF中

∴△BCE≌△DAF
∴BE＝DF，∠BEC＝∠DFA
∴BE∥DF
即 BE ∥DF且BE＝DF.
2.（2019·永州）如图，在?ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE=CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
【思路点拨】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA，即可证明；（2）证明△ABE为等边三角形，由勾股定理求出BF，由AAS证明△ADF≌△ECF，得出△ADF与△ECF的面积相等，平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积，即可得出结果．
【答案与解析】
（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠AEB=∠DAE，
又∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∴BE=CD．
（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°
∴△ABE为等边三角形，
∴AE=AB=4，
∵BF⊥AE，
∴AF=EF=2，
∴BF=，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
在△ADF和△ECF中，
,
∴△ADF≌△ECF（AAS）
∴△ADF的面积=△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=．
【总结升华】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定、勾股定理；解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质．
3.如图，在?ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G．求证：（1）∠1=∠2；???(2）DG=B′G．
【思路点拨】（1）根据平行四边形得出DC∥AB，推出∠2=∠FEC，由折叠得出∠1=∠FEC=∠2，即可得出答案；（2）求出EG=B′G，推出∠DEG=∠EGF，由折叠求出∠B′FG=∠EGF，求出DE=B′F，证△DEG≌△B′FG即可．
【答案与解析】
证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，∴∠2=∠FEC，由折叠得：∠1=∠FEC，∴∠1=∠2；（2）∵∠1=∠2，∴EG=GF，∵AB∥DC，∴∠DEG=∠EGF，由折叠得：EC′∥B′F，∴∠B′FG=∠EGF，∵DE=BF=B′F，∴DE=B′F，∴△DEG≌△B′FG（SAS），∴DG=B′G．
【总结升华】本题考查了平行四边形性质，折叠性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
4.如图，已知?ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：AB=BE．
【思路点拨】根据平行四边形性质得出AB=DC，AB∥CD，推出∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，证△CDF≌△BEF，推出BE=DC即可．
【答案与解析】
证明：∵F是BC边的中点，∴BF=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥CD，∴∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，∵在△CDF和△BEF中 ∴△CDF≌△BEF（AAS），∴BE=DC，∵AB=DC，∴AB=BE．
【总结升华】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，关键是推出△CDF≌△BEF．
举一反三：
【变式】如图，已知在?ABCD中，延长AB，使AB=BF，连接DF，交BC于点E．求证：E是BC的中点．
【答案】
证明：在□ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，∴∠CDF=∠F，∠CBF=∠C，∵AB=FB，∴DC=FB，∴△DEC≌△FEB，∴EC=EB，即E为BC的中点．
类型二、平行线的性质定理及其推论
5.（1）如图1，已知△ABC，过点A画一条平分三角形面积的直线；（2）如图2，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等；（3）如图3，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线．
【思路点拨】（1）根据三角形的面积公式，只需过点A和BC的中点画直线即可；（2）结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明；（3）结合（1）和（2）的结论进行求作．
【答案与解析】
解：（1）取BC的中点D，过A、D画直线，则直线AD为所求；（2）证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h．∴S△EGH=GH×h，S△FGH=GH×h，∴S△EGH=S△FGH，∴S△EGH-S△GOH=S△FGH-S△GOH，∴△EGO的面积等于△FHO的面积；（3）解：取BC的中点D，连接MD，过点A作AN∥MD交BC于点N，过M、N画直线，则直线MN为所求．
【总结升华】此题主要是根据三角形的面积公式，知：三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分；同底等高的两个三角形的面积相等．
举一反三：
【变式】（南京校级期中）有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程．
探索：
已知：如图1，AD∥BC，AB∥CD．求证：AB=CD．
应用此定理进行证明求解．
应用一、已知：如图2，AD∥BC，AD＜BC，AB=CD．求证：∠B=∠C；
应用二、已知：如图3，AD∥BC，AC⊥BD，AC=4，BD=3．求：AD与BC两条线段的和．
【答案】
探索：
证明：如图1，
连接AC，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA
∵AB∥CD．∴∠BAC=∠DCA
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（ASA），
∴AB=CD；
应用一：
证明：如图2，
作DE∥AB交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴AB=DE
∵AB=CD，
∴DE=CD，
∴∠DEC=∠C
∵DE∥AB，
∴∠B=∠DEC，
∴∠B=∠C；
应用二、
解：如图3，
作DF∥AC交BC的延长线于点F
∵AD∥BC，∴AC=DF、AD=CF，
∵DF∥AC，∴∠BDF=∠BEC，
∵AC⊥BD，∴∠BDF=∠BEC=90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：BF=5，
故BC+AD=BC+CF=BF=5．
【巩固练习】
一.选择题
1. 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（ ）
A.AC⊥BD B.AB＝CD
C. BO＝OD D.∠BAD＝∠BCD
2. 已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=（　　）
A．18° B．36° C．72° D．144°
3. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，0）、（4，0）、（2，4），则顶点C的坐标是（　　）
A．（4，6） B．（4，2） C．（6，4） D．（8，2）
4.（金华校级月考）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n；则下列说法正确的是（　　）
A．AB∥PC B．△ABC的面积等于△BCP的面积
C．AC=BP D．△ABC的周长等于△BCP的周长
5. 平行四边形的一边长是10，那么它的两条对角线的长可以是（　　）
A.4和6　　B.6和8　　C.8和10　　D.10和12
6.（2019·丹东）如图，在ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
二.填空题
7. 如图所示，在ABCD中，对角线相交于点O，已知AB＝24 ，BC＝18 ，△AOB的周长为54 ，则△AOD的周长为________．
8. 已知ABCD，如图所示，AB＝8，BC＝10，∠B＝30°，ABCD的面积为________．
9．在ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10，则AC＝______，AB＝______．
10.（2019?惠安县二模）如图，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC边上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是　 　．
11．如图所示，平行四边形ABCD的周长是18cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD与△AOB的周长差是5cm，则边AB的长是 _______cm．
12．如图所示，平行四边形ABCD中，BE⊥AD，CE平分∠BCD，AB=10，BC=16，则AE=__________.
三.解答题
13．（2019?邵阳）如图所示，点E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF=DE．求证：AE=CF．
14. 如图，ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．（1）求∠APB的度数；（2）如果AD=5cm，AP=8cm，求△APB的周长．
15. 如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG=DC，CE=CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP．求证：FP=EP．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】A；
2.【答案】B；
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠A，BC∥AD，∴∠A+∠B=180°，∵∠B=4∠A，∴∠A=36°，∴∠C=∠A=36°，故选B.
3.【答案】C；
【解析】∵平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，0）、（4，0）、（2，4），∴DC=AB=4，DC∥AB，∴C的横坐标是4+2=6，纵坐标是4，即C的坐标是（6，4）．故选C.
4.【答案】B；
【解析】解：AB不一定平行于PC，A不正确；
∵平行线间的距离处处相等，∴△ABC的面积等于△BCP的面积，B正确；
AC不一定等于BP，C不正确；
△ABC的周长不一定等于△BCP的周长，D不正确，
故选：B．
5.【答案】D；
【解析】设两条对角线的长为.所以,,所以选D.
6.【答案】B；
【解析】因为∠AFB＝∠FBC，∠ABF＝∠FBC，所以AF＝AB＝6；同理可证：DE＝DC＝6；EF＝AF+DE-AD＝2，即6+6-AD=2，解得AD=10.
二.填空题
7.【答案】48；
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OD＝OB，AD＝BC＝18cm．又因为△AOB的周长为54，所以OA＋OB＋AB＝54，因为AB＝24，所以OA＋OB＝54－24＝30()，所以OA＋OD＝30()，所以OA＋OD＋AD＝30＋18＝48()．即△AOD的周长为48．
8.【答案】40；
【解析】过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ABH中，∠B＝30°，AB＝8，
∴AH＝AB＝4()．
∴BC·AH＝10×4＝40()．
9.【答案】5，5；
【解析】由题意，∠DAC＝∠BCA＝30°，AB＝BC=5，.
10．【答案】10；
【解析】解：∵AB=AC=5，∴∠B=∠C，
由DF∥AC，得∠FDB=∠C=∠B，
∴FD=FB，
同理，得DE=EC．
∴四边形AFDE的周长=AF+AE+FD+DE
=AF+FB+AE+EC
=AB+AC
=5+5=10．
故答案为10．
11．【答案】2；
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵△AOD的周长=OA+OD+AD，△AOB的周长=OA+OB+AB，又∵△AOD与△AOB的周长差是5，∴AD=AB+5，设AB=x，AD=5+x，则2（x+5+x）=18，解得x=2，即AB=2．故答案为2．
12.【答案】6；
【解析】∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC=16，AB=CD=10，∴∠DEC=∠ECB，∵CE平分∠DCB，∴∠DCE=∠BCE，∴∠DEC=∠DCE，∴DE=DC=AB=10，∴AE=16-10=6，故答案为：6．
三.解答题
13.【解析】
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴∠EDA=∠FBC，
在△AED和△CFB中，

∴△AED≌△CFB（SAS），
∴AE=CF．
14.【解析】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，在△APB中，∴∠APB=180-（∠PAB+∠PBA）=90°；（2）∵AP平分∠DAB，∴∠DAP=∠PAB，∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA∴∠DAP=∠DPA∴△ADP是等腰三角形，∴AD=DP=5,同理：PC=CB=5,即AB=DC=DP+PC=10，在RT△APB中，AB=10cm，AP=8，∴BP==6（cm）∴△APB的周长是6+8+10=24（cm）．
15.【解析】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DGC=∠GCB（两直线平行，内错角相等），∵DG=DC，∴∠DGC=∠DCG，∴∠DCG=∠GCB，∵∠DCG+∠DCP=180°，∠GCB+∠FCP=180°，∴∠DCP=∠FCP，∵在△PCF和△PCE中，∴△PCF≌△PCE（SAS），∴PF=PE．