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《24.4弧长和扇形的面积（1）》导学案
课题 弧长和扇形的面积（1） 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1．理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长和扇形的面积． 2．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想，培养学生的探索能力．3．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系．
重点难点 重点：推导弧长及扇形面积计算公式的过程． 难点：掌握弧长及扇形面积计算公式，会用公式解决问题．
教学过程
知识链接 如图所示是一个________，圆周的一部分是____________我们知道圆的周长公式C=__________.
合作探究 知识点1、弧长的计算公式．思考：（1）如何计算圆周长？ （2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？ （3）1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？ 例1、制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度L（结果取整数）． 知识点2、扇形的计算公式．如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做_______．可以发现，扇形的面积除了与圆的半径有关外还与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就________．怎样计算圆半径为R，圆心角为n°的扇形面积呢？ 想一想：如何计算圆的面积？ 圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？ 1°的圆心角所对的扇形面积是多少？ n°的圆心角呢？ 知识点3、弧长与扇形面积的关系．我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝________，n°的圆心角的扇形面积公式为__________，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？ 例2、如下左图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3 m．求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．
自主尝试 如果一个扇形的弧长是 QUOTE π,半径是6,那么此扇形的圆心角为( )A.40° B.45° C.60° D.80° 2.已知100°的圆心角所对的弧长l=5π,则该圆的半径r等于( )A.7 B.8 C.9 D.10 3.圆心角为 60°，且半径为 3 的扇形的弧长为( )A. B. C. D. 4.点A,B,C是半径为15cm的圆上三点,∠BAC=36°,则弧BC的长为______cm.5.已知☉O的半径OA=5,扇形OAB的面积为15π,则所对的圆心角是( ) A.120° B.72° C.36° D.60°§K]6.如果扇形的圆心角为150°,扇形面积为240πcm2,那么扇形的弧长为( )A.5πcm B.10πcm C.20πcm D.40πcm7.某花园内有一块五边形的空地如图所示,为了美化环境,现计划在以五边形各顶点为圆心,1m长为半径的扇形区域内(阴影部分)种上花草,那么种上花草的扇形区域总面积是 .
当堂检测 1.如图所示,在Rt△ABC中,斜边AB=2,∠A=45°,把△ABC绕点B顺时针旋转60°到△A′BC′的位置,则顶点C经过的路线长为 . 2.三个半径为 2 cm 的圆如图 所示叠放在一起，用一根一定长的绳子绕三个圆刚好一圈，则绳的长为________cm. 3.如图,在△ABC中∠BAC=90°,AB=AC=2,以AB为直径的圆交BC于D,则图中阴影部分的面积为 .4.如图,把Rt△ACB的斜边AB放在定直线l上,按顺时针方向在l上转动两次,使它转到△A″B′C′的位置.设BC=1,∠A=30°,则顶点A运动到点A″的位置时.K] (1)求点A经过的路线长是多少? (2)点A所经过的路线与l所围成的图形的面积是多少?(计算结果不取近似值)
小结反思 今天学习了什么？有什么收获？
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《24.4弧长和扇形的面积（1）》导学案
课题 弧长和扇形的面积（1） 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1．理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长和扇形的面积． 2．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想，培养学生的探索能力．3．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系．
重点难点 重点：推导弧长及扇形面积计算公式的过程． 难点：掌握弧长及扇形面积计算公式，会用公式解决问题．
教学过程
知识链接 如图所示是一个________，圆周的一部分是____________我们知道圆的周长公式C=__________.在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索．
合作探究 知识点1、弧长的计算公式．思考：（1）如何计算圆周长？ （2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？ （3）1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？ 教师引导学生思考、分析、讨论，从而得出弧长的计算公式． 在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是，即．于是n°的圆心角所对的弧长为．例1、制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度L（结果取整数）． 解：由弧长公式，得的长＝500π≈1 570（mm）． 因此所要求的展直长度L＝2×700＋1 570＝2 970（mm）．知识点2、扇形的计算公式．如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．可以发现，扇形的面积除了与圆的半径有关外还与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大．怎样计算圆半径为R，圆心角为n°的扇形面积呢？ 由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分． 想一想：如何计算圆的面积？ 圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n°的圆心角呢？●归纳：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S＝πR2，所以1°的扇形面积是，于是圆心角为n°的扇形面积是S扇形＝．知识点3、弧长与扇形面积的关系．我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？∵l＝πR，S扇形＝πR2，∴πR2＝R·πR．∴S扇形＝lR．例2、如下左图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3 m．求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）． 解：如上右图，连接OA，OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接AC．∵ OC＝0.6 m，DC＝0.3 m，∴ OD＝OC－DC＝0.3（m）．∴ OD＝DC．又 AD⊥DC，∴ AD是线段OC的垂直平分线．∴ AC＝AO＝OC．从而 ∠AOD＝60°，∠AOB＝120°．有水部分的面积S＝S扇形OAB－S△OAB＝×0.62－AB·OD＝0.12π－×0.6×0.3 ≈0.22（m2）．总结：求阴影部分的面积我们通常用拼凑法。
自主尝试 如果一个扇形的弧长是 QUOTE π,半径是6,那么此扇形的圆心角为( )AA.40° B.45° C.60° D.80° 2.已知100°的圆心角所对的弧长l=5π,则该圆的半径r等于( )CA.7 B.8 C.9 D.10 3.圆心角为 60°，且半径为 3 的扇形的弧长为( )BA. B. C. D. 4.点A,B,C是半径为15cm的圆上三点,∠BAC=36°,则弧BC的长为______cm.答案：65.已知☉O的半径OA=5,扇形OAB的面积为15π,则所对的圆心角是( )B A.120° B.72° C.36° D.60°§K]解:设所对的圆心角的度数为n°,则=15π,n=72.6.如果扇形的圆心角为150°,扇形面积为240πcm2,那么扇形的弧长为( )CA.5πcm B.10πcm C.20πcm D.40πcm解：.由πr2=240π,解得r=24. 又由S=lr,得240π=l×24,得l=20πcm.7.某花园内有一块五边形的空地如图所示,为了美化环境,现计划在以五边形各顶点为圆心,1m长为半径的扇形区域内(阴影部分)种上花草,那么种上花草的扇形区域总面积是 .答案:m2解：设五边形的五个内角分别为n1°,n2°,…,n5°,则n1+n2+…+n5=(5-2)×180=540,∴阴影部分面积为++…+===(m2).网ZXXK]
当堂检测 1.如图所示,在Rt△ABC中,斜边AB=2,∠A=45°,把△ABC绕点B顺时针旋转60°到△A′BC′的位置,则顶点C经过的路线长为 . 答案:π解：∵在Rt△ABC中,∠A=45°, ∴∠ABC=45°,∴AC=BC. ∵斜边AB=2,∴BC=2. ∴顶点C经过的路线长为=π. 2.三个半径为 2 cm 的圆如图 所示叠放在一起，用一根一定长的绳子绕三个圆刚好一圈，则绳的长为________cm.答案：12+4 3.如图,在△ABC中∠BAC=90°,AB=AC=2,以AB为直径的圆交BC于D,则图中阴影部分的面积为 .答案:1 解：AB=AC,∴∠C=45°, ∴AD=BD,∴两个弓形面积相等, ∴阴影部分的面积就等于△ACD的面积, ∴S△ACD=2×1÷2=1,即阴影部分的面积为1.4.如图,把Rt△ACB的斜边AB放在定直线l上,按顺时针方向在l上转动两次,使它转到△A″B′C′的位置.设BC=1,∠A=30°,则顶点A运动到点A″的位置时.K] (1)求点A经过的路线长是多少? (2)点A所经过的路线与l所围成的图形的面积是多少?(计算结果不取近似值)解：(1)∵∠A=30°, ∴∠ABC=∠A′BC′=60°,AB=2,AC=, ∴∠ABA′=120°, ∴==π, ==π, ∴点A经过的路线长为π+π=π.(2)S扇形BAA′=××2=, S扇形C′A′A″=××=,S△A′BC′=×1×=,§X§K] ∴点A经过的路线与l所围成的图形的面积是π+π+=+.
小结反思 今天学习了什么？有什么收获？
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