课件44张PPT。第一章 机械振动2．单摆单摆的简谐运动小球 细线 长度形变 忽略不计 小于 分力 简谐 √√√×单摆做简谐运动的周期 平衡位置 正比 反比 无关 ××√√点击右图进入…Thank you for watching !2．单摆
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.知道什么是单摆．
2．理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动．(重点)
3．知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算．(重点、难点)
知识点一| 单摆的简谐运动
1．单摆
(1)组成：小球和细线．
(2)单摆是一种理想模型，实际摆可视为单摆的条件：
①细线形变要求：细线的长度形变可以忽略．
②质量要求：细线质量与小球质量相比可以忽略．
③细线长度要求：球的直径与细线的长度相比可以忽略．
④受力要求：与小球受到的重力及线的拉力相比，空气对它的阻力可以忽略不计．
⑤摆角要求：单摆在摆动过程中要求摆角小于5°(选填“大于”“小于”或“等于”)．
2．单摆的回复力
(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力．
(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x.
(3)运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动．
1．单摆的回复力是由摆球重力的分力提供的． (√)
2．单摆模型中对细线的要求是细线的伸缩可忽略，质量可忽略． (√)
3．单摆模型中对小球的要求是密度较大，其直径与线的长度相比可忽略． (√)
4．单摆回复力不符合简谐运动． (×)
1．单摆做简谐运动的条件是什么？
【提示】 单摆做简谐运动的条件是偏角很小，通常应在5 °以内．
2．单摆做简谐运动的回复力是否等于小球所受的合力？
【提示】 小球的重力沿圆弧切线方向上的分力提供回复力，而不是小球所受的合力．
1．运动特点
(1)摆球以悬挂点为圆心在竖直平面内做变速圆周运动．
(2)摆球以最低点为平衡位置做简谐运动．
2．摆球的受力
(1)一般位置：如图所示，G1＝Gsin θ，G2＝Gcos θ，G1的作用是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力，F－G2为摆球做圆周运动提供的向心力．
(2)平衡位置：摆球经过平衡位置时，G1＝0，回复力F回＝0；G2＝G，F－G的作用是提供向心力．
(3)单摆的简谐运动
在θ很小时(小于5°，θ的单位为弧度)，sin θ≈θ＝，G1＝Gsin θ＝x，G1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F回＝G1＝－x＝－kx.因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律，图像是正弦或余弦曲线．
(4)单摆的圆周运动F向＝F－G2＝F－mgcos θ＝.
1．振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力、合力及加速度的说法中正确的是( )
A．回复力为零
B．合力不为零，方向指向悬点
C．合力不为零，方向沿轨迹的切线
D．回复力为零，合力也为零
E．加速度不为零，方向指向悬点
【解析】 单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力和向心加速度，方向指向悬点(即指向圆心)．
【答案】 ABE
2．关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是( )
A．摆球受重力、摆线的张力作用
B．摆球的回复力最大时，向心力为零
C．摆球的回复力为零时，向心力最大
D．摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大
E．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向
【解析】 单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，故A对；重力垂直于摆线的分力提供回复力．当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则拉力小于重力；在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故D、E错，B、C对．
【答案】 ABC
3．若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的，则单摆摆动的频率________，振幅________(填“变大”“变小”或“不变”)．
【解析】 单摆的周期和频率由摆长和当地的重力加速度决定，与摆球的质量和速度无关；另外由机械能守恒定律可知，摆球经过平衡位置的速度减小了，则摆动的最大高度减小，振幅减小．
【答案】 不变 变小
对于单摆的两点说明
1．所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置．实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡．
2．回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供的，不可误认为回复力是重力G与摆线拉力T的合力．
知识点二| 单摆做简谐运动的周期
1．测量单摆周期
把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动．以摆球通过平衡位置时开始计时，用停表记下摆球通过平衡位置n次所用的时间t，因为单摆完成一个周期的振动，经过平衡位置两次，所以有t＝T，T＝.
用米尺量出悬线长度l′，用游标卡尺量出摆球的直径d，则摆长l＝l′＋.
2．探究单摆周期T与摆长l的关系
(1)改变单摆的摆长，测出不同摆长单摆的周期，自己设计一个表格，把所测数据填入表中．
(2)根据表中数据，在坐标纸上描点，以T为纵轴，l为横轴，画出T－l图像．
(3)根据表中数据，在坐标纸上描点，以T的平方为纵轴，l为横轴，画出T2－l图像．
分析T2－l图像，可得周期的平方与摆长成正比．
(4)惠更斯研究了单摆的振动，发现在偏角很小的情况下，单摆做简谐运动的周期T跟摆长l的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关，并且确定了如下的单摆周期的公式T＝2π .
1．单摆的振幅越大，周期越大． (×)
2．摆动幅度越大，周期越长． (×)
3．单摆的周期与摆球的质量无关． (√)
4．摆长应是从悬点到摆球球心的距离． (√)
1．由于单摆的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供的，那么是否摆球的质量越大，回复力越大，单摆摆动得越快，周期越小？
【提示】 不是．摆球摆动的加速度除了与回复力有关外，还与摆球的质量有关，即a∝，所以摆球质量增大后，加速度并不增大，其周期由T＝2π决定，与摆球的质量无关．
2．把单摆从赤道处移至两极处时，要保证单摆的周期不变，应如何调整摆长？
【提示】 两极处重力加速度大于赤道处重力加速度，由T＝2π知，应增大摆长，才能使周期不变．
1．周期公式的成立条件
(1)T＝2π 是单摆做简谐运动的周期公式，它必须是在小角度摆动的条件下才成立，理论上一般θ角不超过5°，但在实验中，摆角很小时单摆运动的细节不易观察清楚，带来的测量误差反而会大，因此实验中一般认为θ角不超过10°.
(2)在摆角很小时，角度的弧度值、正弦值、正切值可认为相等，这是物理中常用的一个数字近似．
(3)弹簧振子的周期与振子的质量有关，单摆的周期与摆球的质量无关．
2．摆长
摆长l是指摆动轨迹圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定是摆线的长度或摆线长度加小球半径长．如图所示[(b)、(c)、(d)图中小球均视作质点]：
图(a)中，摆长l＝l0＋，单摆周期T(a)＝2π .
图(b)中，摆球只能在垂直纸面平面内摆动，摆长l＝l0sin θ，单摆周期T(b)＝2π .
图(c)中，若摆球在纸面平面内摆动，摆长l＝l0，单摆周期T(c)＝2π ；若摆球在垂直纸面平面内摆动，摆长l＝l0(1＋sin θ)，单摆周期T(c)＝2π .
图(d)中，O′处为一钉子，摆线摆到竖直位置时，摆球做圆周运动的圆心就由O变为O′，摆球做简谐运动时，半个周期摆长为l，另半个周期摆长为l－l＝l，则其周期T(d)＝＋＝π ＋π .
3．重力加速度g
在实际问题中，g不一定为9.8 m/s2，而要由单摆所处的空间位置和摆球的运动情况、受力情况决定．
(1)如果单摆处在向上加速的系统中，摆球将处于超重状态，设向上的加速度为a，则系统中的等效重力加速度g′＝g＋a，因为系统中重力加速度增大，单摆的周期将变短，如正向上加速运动的航天器中的单摆．但单摆如果在轨道上正常运行的航天器内，摆球将完全失重，等效重力加速度g′＝0，单摆的周期无穷大，即单摆不摆动．
(2)如图所示，单摆的周期T＝2π .因为单摆的等效重力为摆球重力沿斜面向下的分力mgsin θ，故此场景中的等效重力加速度g′＝gsin θ.
4.如图所示是一个单摆(θ＜5°)，其周期为T，则下列说法正确的是( )
A．把摆球的质量增加一倍，其周期不变
B．摆球的振幅变小时，周期也变小
C．此摆由O→B运动的时间为
D．摆球由B→O时，动能向势能转化
E．摆球由O→C时，动能向势能转化
【解析】 单摆的周期与摆球的质量无关，A正确；单摆的周期与振幅无关，B错误；此摆由O→B运动的时间为，C正确；摆球B→O时，势能转化为动能，O→C时，动能转化势能，D错误，E正确．
【答案】 ACE
5．如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，已知OC线长是l，下端C点系着一个小球(可视为质点且做小角度摆动)．让小球在纸面内振动，周期T＝________.让小球在垂直纸面的平面内振动，周期T＝________.
【解析】 让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期T＝2π；让小球在垂直纸面的平面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为，周期T＝2π.
【答案】 2π 2π
6．一个单摆的长为l，在其悬点O的正下方0.19l处有一钉子P(如图所示)，现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角θ＜5°，放手后使其摆动，求出单摆的振动周期．
【解析】 释放后摆球到达右边最高点B处，由机械能守恒可知B和A等高，则摆球始终做简谐运动．摆球做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和．
小球在左边的周期为T1＝2π
小球在右边的周期为T2＝2π
则整个单摆的周期为
T＝＋＝π＋π ＝1.9π.
【答案】 1.9π
求单摆周期的方法
1．明确单摆的运动过程，看是否符合简谐运动的条件．
2．在运用T＝2π时，要注意l和g是否发生变化，如果发生变化，则分别求出不同l和g时的运动时间．
3．改变单摆振动周期的途径是：
(1)改变单摆的摆长．
(2)改变单摆的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重)．
4．明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系．
课时分层作业(二)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
1．关于单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置
B．摆球受到的回复力是它所受的合力
C．摆球经过平衡位置时，所受的合力不为零
D．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对于平衡位置的位移大小成正比
E．摆角很小时，摆球的回复力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
【解析】 回复力是使摆球回到平衡位置的力，其方向总是指向平衡位置，A选项正确；摆球所受的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是摆球所受的合力，B选项错误；摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，有向心力，合力不为零，方向指向悬点，C选项正确；摆角很小时，回复力与摆球相对于平衡位置的位移大小成正比，但合力没有此关系，D选项错误，E选项正确．
【答案】 ACE
2．发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大( )
A．增大摆球质量
B．增加摆长
C．减小单摆振幅
D．将单摆由山下移到山顶
E．把单摆放在减速上升的升降中
【解析】 由单摆的周期公式T＝2π可知，g减小或l增大时周期会变大．
【答案】 BDE
3．关于单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球运动的回复力是重力的分力
B．摆球经过轨迹上的同一点速度是相同的
C．摆球经过轨迹上的同一点加速度是相同的
D．摆球经过平衡位置时受力是平衡的
E．摆球经过平衡位置时回复力为零，合外力不为零
【解析】 摆球运动的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，A正确．根据简谐运动的对称性可知摆球经过轨迹上的同一点时速度大小相等，方向可能相同，也可能不同；加速度的大小、方向都相同，故B错，C正确．摆球经过平衡位置时，回复力为零，合外力不为零，并不平衡，所以D错误，E正确．
【答案】 ACE
4．两个单摆在相同的时间内，甲摆动45次，乙摆动60次，则( )
A．甲、乙两摆的周期之比为4∶3
B．甲、乙两摆的频率之比为3∶4
C．甲、乙两摆的摆长之比为4∶3
D．甲、乙两摆的摆长之比为16∶9
E．甲、乙两摆的振幅之比为16∶9
【解析】 设摆动时间为t，则T甲＝，T乙＝可得＝＝，＝.又由T＝2π可得＝＝，而振幅之比无法确定，故A、B、D正确．
【答案】 ABD
5．下列关于单摆周期的说法正确的是( )
A．用一个装满沙的漏斗和长细线做成一个单摆，在摆动时沙从漏斗中缓慢漏出，周期不变
B．当升降机向上匀加速运动时(a＜g)单摆的周期小于电梯匀速运动时单摆的周期
C．将摆由赤道移到北极，单摆振动周期减小
D．将单摆的摆角由5°增加到10°(不计空气阻力)，单摆的周期减小
E．将单摆由地球移到月球上，单摆的周期变大
【解析】 沙从漏斗中缓慢漏出时，等效摆长变化，周期变化，选项A错误；升降机以加速度a向上匀加速运动时T1＝2π，匀速运动时T2＝2π，T1＜T2，选项B正确；摆由赤道移到北极，重力加速度增大，则周期减小，选项C正确；单摆的周期与摆角大小无关，选项D错误；月球上重力加速度小于地球上重力加速度，故将单摆移到月球上时周期变大，E正确．
【答案】 BCE
6．关于单摆，下列说法中正确的是( )
A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置
B．摆球受到的回复力是它的合力
C．摆球经过平衡位置时，所受的合力不为零
D．摆角很小时，摆球受到的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比
E．摆球受的回复力是重力沿轨迹圆弧切线方向的分力
【解析】 根据回复力的定义，选项A正确；单摆的回复力除指明在最高点外都不是摆球受力的合力，但不管在哪个位置均可认为是重力沿轨迹圆弧切线方向的分力，所以选项B错误，E正确；经过平衡位置时，回复力为0，但合力不为0，因悬线方向上要受向心力，选项C正确；摆角很小时，摆球受到的回复力与偏离平衡位置的位移成正比，选项D错误．
【答案】 ACE
7．下列关于单摆的说法，正确的是( )
A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处的位移为A(A为振幅)，从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为零
B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合力
C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力
D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零
E．摆球在最高点时的回复力等于小球受的合力
【解析】 简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零，A正确．摆球的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，合力在摆线方向的分力提供向心力，B错误，C正确．摆球经过最低点(摆动的平衡位置)时回复力为零，但向心力不为零，所以合力不为零，加速度也不为零，D错误．在最高点时，向心力为零，合力等于回复力，E正确．
【答案】 ACE
8．一个摆长为l1的单摆，在地面上做简谐运动，周期为T1，已知地球的质量为M1，半径为R1；另一摆长为l2的单摆，在质量为M2，半径为R2的星球表面做简谐运动，周期为T2.若T1＝2T2，l1＝4l2，M1＝4M2，求地球半径与星球半径之比．
【解析】 在地球表面单摆的周期T1＝2π……①，在星球表面单摆的周期T2＝2π……②，＝g……③，G＝g′……④.联立①②③④得＝··＝.
【答案】 2∶1
[能力提升练]
9．如图所示，单摆做简谐运动，平衡位置为O点，A、B分别为最大位移处，M、N两点关于O点对称．则下列说法中错误的是( )
A．小球受重力、绳子拉力
B．小球做简谐运动的整个过程中，合外力都不等于单摆的回复力
C．小球在O点时合外力为0，在A、B两点不受绳子拉力
D．小球经过M点的振幅与小球在N的振幅大小相等、方向相反
E．小球摆动过程中机械能守恒
【解析】 小球只受两个力作用：重力和绳子的拉力，选项A正确；回复力的大小为振动方向上的合外力，对于单摆，它是重力沿运动方向上的分力，因为小球做的是圆周运动，所以法向合外力等于向心力，在最高点，合外力等于回复力，其他位置合外力不等于回复力，选项B错误；对单摆而言，平衡位置回复力为0，合外力提供向心力，不为0，在最大位移处，小球不做圆周运动，法向合外力为0，所以绳子拉力等于重力在法向的分力，选项C错误；振幅是标量，没有方向，不是位移，对于一个简谐运动而言，它是一个固定的值，选项D错误．单摆的小球密度大，摆角小，忽略空气阻力，因而在摆动中机械能守恒，E正确．
【答案】 BCD
10.如图所示，用绝缘细丝线悬挂着的带正电的小球在匀强磁场中做简谐运动，则( )
A．当小球每次通过平衡位置时，动能相同
B．当小球每次通过平衡位置时，速度相同
C．当小球每次通过平衡位置时，丝线拉力不相同
D．磁场对摆的周期无影响
E．撤去磁场后，小球摆动周期变大
【解析】 小球在磁场中运动时，由于洛伦兹力不做功，所以机械能守恒．运动到最低点，球的速度大小相同，但方向可能不同，A项正确，B项错误．小球从左、右两方向通过最低点时，向心力相同，洛伦兹力方向相反，所以拉力不同，C项正确．由于洛伦兹力不提供回复力，因此有无磁场，不影响振动周期，D项正确，E项错误．
【答案】 ACD
11．把在北京调准的摆钟，由北京移到赤道上时，摆钟的振动变______了，要使它恢复准确，应________摆长．
【解析】 把标准摆钟从北京移到赤道上，重力加速度g变小，则周期T＝2π＞T0，摆钟显示的时间小于实际时间，因此变慢了，要使它恢复准确，应缩短摆长．
【答案】 慢 缩短
12．两个等长的单摆，第一个放在地面上，另一个放在高空，当第一个单摆振动n次的同时，第二个单摆振动(n－1)次．如果地球半径为R，那么第二个单摆离地面的高度为多大？
【解析】 设第二个单摆离地面的高度为h，则距地心距离为(R＋h)，设此处重力加速度为g′，地表处重力加速度为g，则：
＝ ①
又由T＝2π得：＝
即＝ ②
由①②解得h＝.
【答案】
