①－kx
②
③2πf
④2π
⑤递减
⑥驱动力
⑦越小
⑧最大
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简谐运动的图像
简谐运动的图像遵从正弦函数的规律，描述了质点的位移随时间的变化规律．从图像可以直接获得的信息有质点在任意时刻的位移、质点的振幅、周期，此外还可以确定质点的速度、加速度、动能和势能等物理量以及它们的变化规律，具体分析如下：
1．可以确定振动物体在任一时刻的位移．如图所示，对应t1、t2时刻的位移分别是x1＝＋7 cm、x2＝－5 cm.
2．确定振动的振幅．图中最大位移的值就是振幅，如图表示的振幅是10 cm.
3．确定振动的周期和频率．振动图像上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期，由图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期T＝0.2 s，频率f＝＝5 Hz.
4．确定各时刻质点的振动方向．例如图中在t1时刻，质点正远离平衡位置运动；在t3时刻，质点正向着平衡位置运动．
5．比较各时刻质点的加速度(回复力)的方向和大小．例如在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负，两者方向相反；t2时刻，位移x2为负，则a2便为正，又因为|x1|＞|x2|，所以|a1|＞|a2|.
如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( )
甲 乙
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向左
B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度完全相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐增大
E．t＝0.8 s时振动系统的机械能最小
【解析】 t＝0.8 s时，振子经过O点向负方向运动，即向左运动，选项A正确；t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处，选项B正确；t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的位移等大反向，回复力和加速度也是等大反向，选项C错误；t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子从B点向左运动到平衡位置，其速度逐渐增加，选项D正确，简谐运动机械能守恒，选项E错误．
【答案】 ABD
简谐运动图像问题的处理思路
1．根据简谐运动图像的描绘方法和图像的物理意义，明确纵轴、横轴所代表的物理量及单位．
2．将简谐运动图像跟具体运动过程或振动模型联系起来，根据图像画出实际振动或模型的草图，对比分析．
3．判断简谐运动的回复力、加速度、速度变化的一般思路：根据F＝－kx判断回复力F的变化情况；根据F＝ma判断加速度的变化情况；根据运动方向与加速度方向的关系判断速度的变化情况．
简谐运动的周期性和对称性
1．周期性
做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能回到原来的状态，因此在处理实际问题时，要注意多解的可能性．
2．对称性
(1)速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率．
(2)时间的对称性：系统在通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等．在振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过这两点的时间相等．
(3)加速度的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度．
一个做简谐运动的质点在平衡位置O点附近振动；当质点从O点向某一侧运动时，经3 s第一次过P点，再向前运动，又经2 s第二次过P点，则该质点再经多长的时间第三次经过P点？
【解析】 若质点沿图中①的方向第一次过P点，历时3 s；由P到B，再由B到P共历时2 s，则由其对称性知P、B间往返等时，各为1 s，从而可知T/4＝4 s，周期T＝16 s．第三次再过P点，设由P向左到A再返回到P，历时为一个周期T减去P、B间往返的2 s，则需时t＝16 s－2 s＝14 s.
若沿图中②的方向第一次过P点，则有
3－tOP＝2＋tPO＋tOP＝T′/2，而tOP＝tPO
由上两式可解得tOP＝tPO＝ s，T′＝ s
则质点第三次过P点历时t′＝T′－2 s＝ s.
【答案】 14 s或 s
光滑水平面上的弹簧振子，振子质量为50 g，若在弹簧振子被拉到最大位移处释放时开始计时，在t＝0.2 s时，振子第一次通过平衡位置，此时速度为4 m/s.则在t＝1.2 s末，弹簧的弹性势能为________ J，该弹簧振子做简谐运动时其动能的变化频率为________Hz,1 min内，弹簧弹力对弹簧振子做正功的次数为________次．
【解析】 根据其周期性及对称性，则有周期T＝0.8 s，振子的最大速度为4 m/s，则最大动能Ekm＝mv2＝0.4 J．根据振子振动的周期性判定，在t＝1.2 s末，振子在最大位移处，据机械能守恒有Ep＝Ekm＝0.4 J，物体的振动周期为0.8 s，则其动能的变化周期为＝0.4 s，所以动能的变化频率为2.5 Hz.在物体振动的1个周期内(向平衡位置运动时弹力做正功)弹力两次做正功，根据其周期性可求得1 min内弹力做正功的次数为n＝×2次＝150次．
【答案】 0.4 2.5 150
单摆特性的应用
1．等时性
单摆做小角度摆动时可视为简谐运动，每次全振动所用的时间相等，即为单摆的周期．单摆的周期只与摆长和当地的重力加速度有关，与摆球的质量无关．
2．周期性
单摆的振动具有周期性．振动过程中，振动的位移、速度、动能、回复力都随时间做周期性变化．因此，在分析具体问题时必须考虑到由于单摆的周期性造成的多解．
3．对称性
单摆的运动过程关于平衡位置对称，主要表现在平衡位置两侧，当偏角相同时，摆球的速率、动能相同，平衡位置两侧的最大高度、最大偏角相等．
如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R ，甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放，问：
(1)两球第1次到达C点的时间之比；
(2)若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？
【解析】 (1)甲球做自由落体运动R＝gt，所以t1＝，乙球沿圆弧做简谐运动(由于 R，可认为摆角θ＜5°)．此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间为t2＝T＝×2π＝，所以t1∶t2＝.
(2)甲球从离弧形槽最低点h高处开始自由下落，到达C点的时间为t甲＝，由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C点的时间为t乙＝＋n＝(2n＋1)(n＝0,1,2…)
由于甲、乙在C点相遇，故t甲＝t乙
解得h＝(n＝0,1,2…)．
【答案】 (1) (2)(n＝0,1,2…)
单摆模型问题的求解方法
1．单摆模型指符合单摆规律的运动模型，模型满足条件：①圆弧运动；②小角度摆动；③回复力F＝－kx.
2．首先确认符合单摆模型条件，然后寻找等效摆长l及等效加速度g，最后利用公式T＝2π或简谐运动规律分析求解问题．
3．如图甲所示的双线摆的摆长l＝r ＋Lcos α.乙图中小球(可看做质点)在半径为R的光滑圆槽中靠近A点振动，其等效摆长为l＝R.
1．如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt)m.t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度．取重力加速度的大小g＝10 m/s2.以下判断正确的是( )
A．h＝1.7 m
B．简谐运动的周期是0.8 s
C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
E．t＝0.6 s时，物块的位移是－0.1 m
【解析】 t＝0.6 s时，物块的位移为y＝0.1sin(2.5π×0.6)m＝－0.1 m；则对小球h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7 m，选项A、E正确；简谐运动的周期是T＝＝s＝0.8 s，选项B正确；0.6 s内物块运动的路程是3A＝0.3 m，选项C错误；t＝0.4 s＝，此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D错误．
【答案】 ABE
2．下列说法正确的是( )
A．在同一地点，单摆做简谐振动的周期的平方与其摆长成正比
B．弹簧振子做简谐振动时，振动系统的势能与动能之和保持不变
C．在同一地点，当摆长不变时，摆球质量越大，单摆做简谐振动的周期越小
D．系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率
E．已知弹簧振子初始时刻的位置及其振动周期，就可知振子在任意时刻运动速度的方向
【解析】 根据单摆周期公式T＝2π可以知道，在同一地点，重力加速度g为定值，故周期的平方与其摆长成正比，故A正确；弹簧振子做简谐振动时，只有动能和势能参与转化，根据机械能守恒条件可知，振动系统的势能与动能之和保持不变，故B正确；根据单摆周期公式：T＝2π可以知道，单摆的周期与质量无关，故C错误；当系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率，故D正确；若弹簧振子初始时刻的位置在平衡位置，知道周期后，可以确定在任意时刻运动速度的方向，若弹簧振子初始时刻的位置不在平衡位置，则无法确定，故E错误．
【答案】 ABD
3.如图所示，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的．物块在光滑水平面上左右振动，振幅为A0，周期为T0.当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅和周期分别为A和T，则A________A0(填“>”“<”或“＝”)，T ________T0(填“>”“<”或“＝”)．
【解析】 当弹簧振子通过平衡位置时，a、b之间粘胶脱开，a、b由于惯性继续向右运动，弹簧伸长，对物块有向左的拉力，物块a向右做减速运动，动能减少，物块b在光滑水平面上做匀速直线运动，动能不变，由能量守恒定律知只有物块a减少的动能转化为弹簧的弹性势能，所以弹簧的最大伸长量减小，故振幅减小．振动中振子的质量变小，振子的周期变小．
【答案】 < <
4．在“探究单摆的周期与摆长的关系”实验中，某同学准备好相关实验器材后，把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度后释放，同时按下秒表开始计时，当单摆再次回到释放位置时停止计时，将记录的这段时间作为单摆的周期．以上操作中有不妥之处，请对其中两处加以改正．
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【解析】 ①应在摆球通过平衡位置时开始计时；②应测量单摆多次全振动的时间，再计算出周期的测量值．(或在单摆振动稳定后开始计时)
【答案】 见解析
5．一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔．在竖直面内放置有一记录纸．当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示的图像，y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标．由此图求振动的周期和振幅．
【解析】 设振动的周期为T，由题意可得：在振子振动的一个周期内，纸带发生的位移大小为2x0，
故T＝.设振动的振幅为A，则有：2A＝y1－y2，
故A＝.
【答案】
1/9课件44张PPT。第一章 机械振动章末复习课234567简谐运动的图像8910111213141516简谐运动的周期性和对称性17181920212223单摆特性的应用2425262728293031323334353637383940414243Thank you for watching !章末综合测评(一)
(时间：60分钟 满分：90分)
(选择题：填正确答案标号．选对1个得2分，选对2个得4分，选对3个得5分．每选错1个扣3分，最低得分为0分)
1．(1)(5分)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是( )
A．振动周期是2×10－2 s
B．第2个10－2 s内物体的位移是－10 cm
C．物体的振动频率为25 Hz
D．物体的振幅是10 cm
E．物体位移随时间变化的关系式为x＝10sin 4t cm
(2)(10分)有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有负向最大位移．
①求振子的振幅和周期；
②画出该振子的位移—时间图像；
③写出振子的振动方程．
【解析】 (1)振动周期是完成一次全振动所用的时间，在图像上是两相邻极大值间的距离，所以周期是4×10－2 s．又f＝，所以f＝25 Hz，则A项错误，C项正确；正、负极大值表示物体的振幅，所以振幅A＝10 cm，则D项正确；第2个10－2 s的初位置是10 cm，末位置是0，根据位移的概念有x＝－10 cm，则B项正确．由T＝4×10－2 s，ω＝＝50π rad/s，故关系式为x＝10sin 50πt cm，E错误．
(2)①弹簧振子在B、C之间做简谐运动，故振幅A＝10 cm，振子在2 s内完成了10次全振动，振子的周期T＝＝0.2 s.
②振子从平衡位置开始计时，故t＝0时刻，位移是0，经周期振子的位移为负向最大，故如图所示．
③由函数图像可知振子的位移与时间函数关系式为x＝10sin(10πt＋π) cm.
【答案】 (1)BCD (2)①10 cm 0.2 s ②见解析图 ③x＝10sin(10πt＋π) cm
2．(1)(5分)如图所示，图甲为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为该弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是( )
A．在t＝0.2 s时，弹簧振子可能运动到B位置
B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度大小相同
C．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地增加
D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同
E．在t＝0.1 s与t＝0.5 s两个时刻，弹簧振子的动能相同
(2)(10分)如图所示为一弹簧振子的振动图像，求：
①从计时开始经多长时间第一次达到弹性势能最大？
②在2～3 s这段时间内弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各怎样变化？
【解析】 (1)t＝0.2 s时，振子的位移为正的最大，但由于没有规定正方向，所以此时振子的位置可能在A点也可能在B点，A正确．t＝0.1 s时速度为正，t＝0.3 s时速度为负，两者大小相等，方向相反，B对．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子远离平衡位置，速度减小，动能减小，C错．t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，位移大小相等，方向相反，故加速度大小相等，方向相反，D错．t＝0.1 s与t＝0.5 s两个时刻振子的位移等值反向，速度等值反向，故动能相等，E对．
(2)①由题图知，在计时开始的时刻振子恰好以沿x轴正方向的速度通过平衡位置，此时弹簧振子有最大动能，随着时间的延长，速度不断减小，而位移逐渐增大，经T，即1 s，其位移达到最大，此时弹性势能最大．
②由题图知，t＝2 s时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零；随着时间的延长，位移不断增大，加速度也变大，速度不断减小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大；当t＝3 s时，加速度达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值．
【答案】 (1)ABE (2)①1 s ②见解析
3．(1)(5分)关于振子的振动过程，以下说法正确的是( )
A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小
B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
E．振子在平衡位置，弹性势能一定最小
(2)(10分)两根质量均可不计的弹簧，劲度系数分别为k1、k2，它们与一个质量为m的小球组成弹簧振子，静止时，两弹簧均处于原长，如图所示．试证明弹簧振子做的运动是简谐运动．
【解析】 (1)振子在平衡位置两侧往复振动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，势能最大，所以B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以选项C错误；振子在平衡位置时，弹簧不一定处于原长，如竖直放置的弹簧振子，故E选项错误．
(2)以平衡位置为坐标原点建立坐标轴，设左右两边弹簧的弹力分别为F1、F2，振子在平衡位置时F合＝F1＋F2＝0，当振子离开平衡位置时，因两弹簧发生形变而使振子受到指向平衡位置的力．设离开平衡位置的正位移为x，则振子所受的合力为F＝－(k1x＋k2x)＝－(k1＋k2)x＝－kx.所以，弹簧振子的运动为简谐运动．
【答案】 (1)ABD (2)见解析
4．(1)(5分)如图所示为一单摆的振动图像，则( )
A．t1和t3时刻摆线的拉力等大
B．t1和t3时刻摆球速度相等
C．t3时刻摆球速度正在减小
D．t4时刻摆线的拉力正在减小
E．t5时刻摆球加速度正在减小
(2)(10分)某物体做简谐运动，其位移与时间的变化关系式为x＝10sin 5πt cm，由此可知：
①物体的振幅为多少？
②物体振动的频率为多少？
③在t＝0.1 s时，物体的位移是多少？
【解析】 (1)由振动图像可知t1、t3时刻摆球在同一位置，速度大小相等，方向不同，但回复力等大，A对，B错；t3时刻摆球正在向平衡位置运动，速度正在增大，C错；t4时刻摆球正在向最大位移处运动，速度减小，拉力减小，D正确；t5时刻摆球正在向平衡位置运动，加速度正在减小，E正确．
(2)将本题中表达式x＝10sin 5πt cm与简谐运动的表达式x＝Asin (ωt＋φ0)对应项比较，可得：
①振幅A＝10 cm.
②振动频率f＝＝ Hz＝2.5 Hz.
③t＝0.1 s时，位移x＝10sin(5π×0.1) cm＝10 cm.
【答案】 (1)ADE (2)①10 cm ②2.5 Hz
③10 cm
5．(1)(5分)一单摆的振动图像如图所示，下列说法中正确的是( )
A．t＝0.5 s时，摆球处于平衡状态
B．t＝1.0 s时，摆球处于平衡状态
C．t＝2.0 s时，摆球处于平衡位置
D．摆球摆动过程中，在任何位置都不是平衡状态
E．t＝1.0 s时，摆线所受拉力最大
(2)(10分)一质点做简谐运动，其位移和时间关系如图所示．
①在t＝1.5×10－2 s到t′＝2×10－2 s的时间内，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？
②从t＝0到t＝8.5×10－2 s的时间内，质点的路程、位移各为多大？
【解析】 (1)位移为0时，回复力为0，回复力产生的加速度为0，但由于摆球做圆弧运动，还有向心加速度，既然有加速度就不是平衡状态，只能是平衡位置，故B错，C正确；t＝0.5 s时，位移最大，尽管没有向心加速度，但有沿圆弧切线方向的加速度，故也不是平衡状态，A错；摆球摆动过程中，在任何位置都有加速度，没有一处是平衡状态，D正确；t＝1.0 s时，摆球的速度最大，恰好过最低点，摆线所受拉力最大，E正确．
(2)①由题图可知在1.5×10－2～2×10－2内，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大．
②从t＝0至8.5×10－2 s时间内为个周期，质点的路程为s＝17A＝34 cm,8.5×10－2 s时质点回到平衡位置，这段时间的位移为2 cm.
【答案】 (1)CDE (2)①变大 变大 变小 变小 变大 ②34 cm 2 cm
6．(1)(5分)下列说法中正确的是( )
A．某物体做自由振动时，其振动频率与振幅无关
B．某物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关
C．某物体发生共振时的频率就是其自由振动的频率
D．某物体发生共振时的振动就是无阻尼振动
E．当驱动力的频率和物体固有频率相差越大时，物体振幅越大
(2)(10分)如图所示为一弹簧振子的振动图像，试完成以下问题：
①写出该振子简谐运动的表达式；
②该振子在第100 s时的位移是多少？前100 s内的路程是多少？
【解析】 (1)物体做自由振动时，振动频率为固有频率，与振幅无关，故A对；物体做受迫振动时，振动频率总等于驱动力的频率，故B对；物体发生共振时，说明驱动力的频率等于物体的固有频率，故C对；物体发生共振时，同样会受到阻力作用而发生阻尼振动，故D错；当驱动力的频率和固有频率相等时，振幅最大，E错误．
(2)①由振动图像可得：振幅A＝5 cm，周期T＝4 s，初相φ＝0，则圆频率ω＝＝ rad/s
故该振子做简谐运动的表达式为x＝5sint (cm)
②振子经过一个周期位移为零，路程为5×4 cm＝20 cm，前100 s时刚好经过了25个周期，所以第100 s振子位移x＝0，振子路程s＝20×25 cm＝500 cm＝5 m.
【答案】 (1)ABC (2)见解析
1
