习题课2 电磁感应的综合应用
[学习目标] 1.应用楞次定律判断感应电流的方向． 2.综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的图像问题． 3.掌握电磁感应中动力学问题的分析方法，能用能量观点分析和解决电磁感应问题．
利用“结论法”判断感应电流的方向
1.“增反减同”法
感应电流的磁场，总要阻碍引起感应电流的磁通量(原磁场磁通量)的变化．
(1)当原磁场磁通量增加时，感应电流的磁场方向与原磁场方向相反．
(2)当原磁场磁通量减少时，感应电流的磁场方向与原磁场方向相同．
口诀记为“增反减同”．
2．“来拒去留”法
由于磁场与导体的相对运动产生电磁感应现象时，产生的感应电流与磁场间有力的作用，这种力的作用会“阻碍”相对运动．口诀记为“来拒去留”．
3．“增缩减扩”法
就闭合电路的面积而言，致使电路的面积有收缩或扩张的趋势．收缩或扩张是为了阻碍电路原磁通量的变化．若穿过闭合电路的磁通量增加时，面积有收缩趋势；若穿过闭合电路的磁通量减少时，面积有扩张趋势．口诀为“增缩减扩”．
说明：此法只适用于回路中只有一个方向的磁感线的情况．
4．“增反减同”法
自感线圈总是阻碍引起感应电流的原电流的变化：
(1)当原电流增大时，自感电流的方向与原电流方向相反．
(2)当原电流减小时，自感电流的方向与原电流的方向相同．口诀记为“增反减同”．
【例1】 如图所示，一水平放置的矩形闭合线圈abcd在细长磁铁的N极附近竖直下落，保持bc边在纸外，ad边在纸内，由图中位置Ⅰ经过位置Ⅱ到位置Ⅲ，位置Ⅰ和位置Ⅲ都很接近位置Ⅱ，这个过程中线圈的感应电流( )
A．沿abcd流动
B．沿dcba流动
C．先沿abcd流动，后沿dcba流动
D．先沿dcba流动，后沿abcd流动
A [由条形磁铁的磁场分布可知，线圈在位置Ⅱ时穿过闭合线圈的磁通量最小为零，线圈从位置Ⅰ到位置Ⅱ，从下向上穿过线圈的磁通量在减少，线圈从位置Ⅱ到位置Ⅲ，从上向下穿过线圈的磁通量在增加，根据楞次定律可知感应电流的方向是abcd.]
楞次定律的使用步骤
1.如图所示，当磁铁突然向铜环运动时，铜环的运动情况是 ( )
A．向右摆动 B．向左摆动
C．静止 D．无法判定
A [当磁铁突然向铜环运动时，穿过铜环的磁通量增加，为阻碍磁通量的增加，铜环远离磁铁向右运动．]
电磁感应中的图像问题
1.问题类型
(1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图像．
(2)由给定的图像分析电磁感应过程，求解相应的物理量．
2．图像类型
(1)各物理量随时间t变化的图像，即B-t图像、Φ-t图像、E-t图像和I-t图像．
(2)导体切割磁感线运动时，还涉及感应电动势E和感应电流I随导体位移变化的图像，即E-x图像和I-x图像．
3．解决此类问题需要熟练掌握的规律
安培定则、左手定则、楞次定律、右手定则、法拉第电磁感应定律、欧姆定律等．
【例2】 将一段导线绕成图甲所示的闭合回路，并固定在纸面内，回路的ab边置于垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ中．回路的圆环区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ，以向里为磁场Ⅱ的正方向，其磁感应强度B随时间t变化的曲线如图乙所示．用F表示ab边受到的安培力，以水平向右为F的正方向，能正确反映F随时间t变化的图像是( )
甲 乙
A B
C D
思路点拨：①本类题目线圈面积不变而磁场发生变化，可根据E＝nS判断E的大小及变化．②为B-t图像的斜率，且斜率正、负变化时对应电流的方向发生变化．
B [由题图乙可知0～时间内，磁感应强度随时间线性变化，即＝k(k是一个常数)，圆环的面积S不变，由E＝＝＝kS，可知圆环中产生的感应电动势大小不变，则回路中的感应电流大小不变，ab边受到的安培力大小不变，从而可排除选项C、D；0～时间内，由楞次定律可判断出流过ab边的电流方向为由b至a，结合左手定则可判断出ab边受到的安培力的方向向左，为负值，故选项A错误，B正确．]
解决电磁感应图像问题的基本步骤
1．已知图像，根据物理规律求解相应的物理量．
2．根据所提供的物理情景作出相应的图像．
2．(2019·全国卷Ⅱ)如图，两条光滑平行金属导轨固定，所在平面与水平面夹角为θ，导轨电阻忽略不计．虚线ab、cd均与导轨垂直，在ab与cd之间的区域存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场．将两根相同的导体棒PQ、MN先后自导轨上同一位置由静止释放，两者始终与导轨垂直且接触良好．已知PQ进入磁场时加速度恰好为零．从PQ进入磁场开始计时，到MN离开磁场区域为止，流过PQ的电流随时间变化的图像可能正确的是( )
[答案] AD
电磁感应中的动力学问题
通过导体的感应电流在磁场中将受到安培力的作用，电磁感应问题往往和力学问题联系在一起．
电磁感应中力学问题，常常以导体在滑轨上运动的形式出现，要对其受力情况、运动情况进行动态分析．根据导体的运动情况，解决问题的具体思路如下：
1．导体静止或匀速运动时的力电综合问题分析思路
2．导体变加速运动过程的力电综合问题分析思路
(1)做好受力分析和运动情况分析．
导体受力分析→速度变化→产生变化的感应电动势→产生变化的感应电流→导体受变化的安培力作用→合外力变化→加速度变化→速度变化……最终加速度等于零，导体达到稳定运动状态．
(2)导体达到稳定状态往往是这类问题的突破口，进而列出平衡方程解决问题．
【例3】 如图所示，AB、CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L，导轨平面与水平面的夹角为θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B，在导轨的A、C端连接一个阻值为R的电阻．一根质量为m、垂直于导轨放置的金属棒ab，从静止开始沿导轨下滑，求此过程中ab棒的最大速度．已知ab棒与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和ab棒的电阻都不计．
思路点拨：①ab棒沿导轨下滑的过程中受四个力作用，即重力mg、支持力N、摩擦力f和安培力F安．②ab棒由静止开始下滑后，各相关量的变化情况为v↑→E↑→I↑→F安↑→a↓(↑表示增大，↓表示减小)，所以这是一个变加速过程，当加速度减小到a＝0时，其速度增大到最大值vm，此时ab棒处于平衡状态，以后将以vm匀速下滑．
解析：ab棒下滑时切割磁感线，产生感应电动势，根据法拉第电磁感应定律得E＝BLv ①
根据闭合电路欧姆定律，闭合电路ACba中产生的感应电流I＝ ②
根据右手定则可判定感应电流的方向为aACba，由左手定则可知ab棒受到的安培力F安的方向沿导轨向上，其大小为F安＝BIL③
由①②③式可得F安＝
对ab棒进行受力分析，如图所示，由牛顿第二定律得
mgsin θ－f－F安＝ma
又f＝μN，N＝mgcos θ，F安＝
则mgsin θ－μmgcos θ－＝ma
ab棒做加速度逐渐减小的变加速运动，当a＝0时速度达到最大，此时有
mgsin θ－μmgcos θ－＝0 ④
由④式可解得vm＝.
答案：vm＝
电磁感应现象中涉及到具有收尾速度的力学问题时，关键是做好受力情况和运动情况的动态分析：
周而复始地循环，达到最终状态时，加速度等于零，导体达到稳定运动状态，即平衡状态，根据平衡条件建立方程，所求解的收尾速度也是导体运动的最大速度．
3.(多选)如图所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计．ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆．开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，一段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图像可能是( )
A B C D
ACD [设ab杆的有效长度为l，S闭合时，若>mg，杆先减速再匀速，D项有可能；若＝mg，杆匀速运动，A项有可能；若1.如图所示，两个相同的轻质铝环套在一根水平光滑绝缘杆上，当一条形磁铁向左运动靠近两环时，两环的运动情况是 ( )
A．同时向左运动，间距变大
B．同时向左运动，间距变小
C．同时向右运动，间距变小
D．同时向右运动，间距变大
B [磁铁向左运动，穿过两环的磁通量都增加．根据楞次定律，感应电流的磁场将阻碍原磁通量增加，所以两者都向左运动．另外，两环产生的感应电流方向相同，依据安培定则和左手定则可以判断两个环之间是相互吸引的，所以选项A、C、D错误，B正确．]
2.如图所示的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.一个电阻为R、半径为L、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O轴匀速转动(O轴位于磁场边界)，周期为T，t＝0时刻线框置于如图所示位置，则线框内产生的感应电流的图像为(规定电流顺时针方向为正) ( )
A B
C D
A [在本题中由于扇形导线框匀速转动，因此导线框进入磁场的过程中产生的感应电动势是恒定的．注意线框在进入磁场和离开磁场时，有感应电流产生，当完全进入时，由于磁通量不变，故无感应电流产生．由右手定则可判断导线框进入磁场时，电流方向为逆时针，故A正确．]
3.如图所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动．杆ef及线框中导线的电阻都可忽略不计．开始时，给ef一个向右的初速度，则 ( )
A．ef将减速向右运动，但不是匀减速
B．ef将匀减速向右运动，最后停止
C．ef将匀速向右运动
D．ef将往返运动
A [ef向右运动，切割磁感线，产生感应电动势和感应电流，会受到向左的安培力而做减速运动，直到停止，但不是匀减速，由F＝BIl＝＝ma知，ef做的是加速度减小的减速运动．故A正确．]
4．如图甲所示，平行长直金属导轨水平放置，间距L＝0.4 m．导轨右端接有阻值R＝1 Ω的电阻．导体棒垂直放置在导轨上，且接触良好，导体棒及导轨电阻均不计，导轨间正方形区域abcd内有方向竖直向下的匀强磁场，bd连线与导轨垂直，长度也为L.从0时刻开始，磁感应强度B的大小随时间t变化，规律如图乙所示；同一时刻，棒从导轨左端开始向右匀速运动，1 s后刚好进入磁场，若使棒在导轨上始终以速度v＝1 m/s做直线运动，求：
甲 乙
(1)棒进入磁场前，回路中的电动势E；
(2)棒在运动过程中受到的最大安培力F，以及棒通过三角形abd区域时电流i与时间t的关系式．
解析：(1)正方形磁场的面积为S，则S＝＝0.08 m2.在棒进入磁场前，回路中的感应电动势是由于磁场的变化而产生的．由B-t图像可知＝0.5 T/s，根据E＝n，得回路中的感应电动势E＝S＝0.5×0.08 V＝0.04 V.
(2)当导体棒通过bd位置时感应电动势、感应电流最大，导体棒受到的安培力最大．此时感应电动势E′＝BLv＝0.5×0.4×1 V＝0.2 V
回路中感应电流I′＝＝ A＝0.2 A
导体棒受到的安培力F＝BI′L＝0.5×0.2×0.4 N＝0.04 N
当导体棒通过三角形abd区域时，导体棒切割磁感线的有效长度l＝2v(t－1)(1 s≤t≤1.2 s)，感应电动势e＝Blv＝2Bv2(t－1)＝(t－1) V
感应电流i＝＝(t－1) A(1 s≤t≤1.2 s)．
答案：(1)0.04 V (2)0.04 N i＝(t－1) A(1 s≤t≤1.2 s)
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