习题课1 电场力的性质
(教师用书独具)
[学习目标] 1.会分析两等量同种电荷和两等量异种电荷的电场分布． 2.会由粒子的运动轨迹分析带电粒子的受力方向和所在处的电场方向． 会解答库仑力作用下带电体的平衡问题和加速问题．
一、电场力作用下的平衡与加速问题
重难解读
1．共点力的平衡条件：物体不受力或所受外力的合力为零．
2．处理平衡问题常用的数学知识和方法有直角三角形、相似三角形和正交分解法．
3．选取研究对象时，要注意整体法和隔离法的灵活运用．
4．带电粒子在电场中的加速问题：与力学问题分析方法完全相同，带电体的受力仍然满足牛顿第二定律，在进行受力分析时不要漏掉电场力(静电力)．
【例1】 如图所示，光滑斜面倾角为37°，一带有正电荷的小物块质量为m，电荷量为q，置于斜面上，当沿水平方向加有如图所示的匀强电场时，带电小物块恰好静止在斜面上，从某时刻开始，电场强度变化为原来的，(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)求：
(1)原来的电场强度的大小；
(2)物块运动的加速度大小；
(3)沿斜面下滑距离为l时物块的速度．
思路点拨：(1)对小球受力分析，应用平衡条件可求出电场力，进而求出电场强度．
(2)电场变化后由受力分析求出合外力，应用牛顿第二定律求解加速度．
(3)沿斜面向下滑距离为L时物体的速度的大小可由动能定理或运动学知识求解．
[解析] (1)对小物块受力分析如图所示，物块静止于斜面上，则
mgsin 37°＝qEcos 37°，
解得E＝＝.
(2)当场强变为原来的时，小物块的合外力
F合＝mgsin 37°－qEcos 37°＝mgsin 37°，
又F合＝ma，解得a＝3 m/s2，方向沿斜面向下．
(3)由动能定理得F合l＝mv2－0
即mgsin 37°·l＝mv2，解得v＝.
[答案] (1) (2)3 m/s2，方向沿斜面向下 (3)
解决电场中的平衡(或加速)问题的思路方法：
如图所示，用绝缘轻质细线悬吊一个质量为m、电荷量为q的小球，在空间中施加一个匀强电场，使小球保持静止时细线与竖直方向成θ角，则所加匀强电场的电场强度的最小值为( )
A． B．
C． D．
A [小球受重力、线的拉力T如图所示，由矢量三角形可知，当小球所受电场力与线的拉力垂直时电场力最小，即场强最小，由图可得qE＝mgsin θ，得E＝.]
二、电场强度的叠加计算
重难解读
场强叠加的思路与求力的合成相似，同一直线上的场的叠加，可简化为代数加减，不在同一直线上的场叠加，用平行四边形定则求合场强，一般步骤为：
→
【例2】 均匀带电的球壳在球外空间产生的电场可等效为电荷集中于球心处产生的电场．如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R，已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为( )
A． B．－E
C．－E D．＋E
思路点拨：①均匀带电的球壳在壳外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场．
②假设将带电荷量为2q的球面放在O处在M、N点所产生的电场和半球面在M点的场强对比求解．
B [假设将带电荷量为2q的球面放在O处，均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场，则在M、N点所产生的电场为E＝＝，由题知当半球面如题图所示在M点产生的场强为E，则N点的场强E′＝－E，B正确．]
求解带电圆环、带电平面等一些特殊带电体产生的场强时，场强的定义式及点电荷的场强公式无法直接应用．这时应转换思维角度，灵活运用叠加法、补偿法、微元法、对称法、等效法等巧妙方法，可以化难为易．
已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同．如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R.现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝πr3，则A点处场强的大小为( )
A． B．
C． D．
B [由题意知，半径为R的均匀带电体在A点产生的场强E整＝＝.挖出的小球半径为，因为电荷均匀分布，其带电荷量Q′＝Q＝.则其在A点产生的场强E挖＝＝＝.所以剩余空腔部分电荷在A点产生的场强E＝E整－E挖＝－＝，故B正确．]
三、电场线与带电粒子运动轨迹的综合分析
重难解读
在分析粒子运动时要明确三个方面：速度v的方向、场强E的方向和电场力F的方向．v和F的方向要符合电荷的运动轨迹，E和F的方向要符合电荷的电性．
【例3】 某静电场中的电场线方向不确定，分布如图所示，带电粒子在电场中仅受静电力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M运动到N，以下说法正确的是( )
A．粒子必定带正电荷
B．该静电场一定是孤立正电荷产生的
C．粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度
D．粒子在M点的速度大于它在N点的速度
C [由电荷的运动轨迹可知，电荷所受的电场力斜向上，由于电场线的方向未知，所以不能确定电荷的电性，A错误．孤立正电荷的电场线是从正电荷出发到无穷远处终止的直线，故该静电场一定不是孤立正电荷产生的，B错误．电场线密的地方电场的场强大，电场线疏的地方电场的场强小，由题图可知，N点的场强大于M点的场强，粒子在N点的受力大于在M点的受力，所以粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度，C正确．电场力做正功，电荷的电势能减小，动能增加，所以粒子在M点的速度小于它在N点的速度，D错误．选C.]
(1)合力方向与速度方向：合力在轨迹曲线的内侧，速度方向沿轨迹的切线方向．
(2)分析方法：由轨迹的弯曲情况结合电场线确定电场力的方向；由电场力和电场线的方向可判断电荷的正负；由电场线的疏密程度可确定电场力的大小，再根据牛顿第二定律F＝ma可判断运动电荷加速度的大小．
(多选)在图中，实线是匀强电场的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点，若带电粒子在运动中只受电场力作用，则由此图可作出的判断是( )
A．带电粒子带负电荷
B．带电粒子带正电荷
C．带电粒子所受电场力的方向向左
D．带电粒子做匀变速运动
ACD [因带电粒子只受电场力作用而做曲线运动，如题图所示，电场力指向曲线内侧，即电场力的方向与场强方向相反，粒子必带负电；因粒子在匀强电场中运动，故粒子所受电场力为恒力，做匀变速运动．]
1．有两个带有等量异种电荷的小球，用绝缘细线相连后悬起，并置于水平向右的匀强电场中，当两小球都受力平衡时其可能位置是下图中的( )
A [以两小球为研究对象，共受到两个竖直向下的重力、两个水平方向的电场力和细线的拉力而平衡，由于两个水平方向的电场力刚好平衡，所以拉力一定与两重力平衡，方向竖直向上，即上段细线处于竖直方向上，只有选项A正确．]
2．如图所示，把一带正电小球a穿在光滑绝缘的半圆环上，欲使该小球静止在图示的P位置，需在M、N之间放另一带电小球b(O点是半圆环的圆心)，则小球b可能( )
A．带负电，放在O点 B．带负电，放在B点
C．带正电，放在O点 D．带正电，放在B点
B [若小球b带负电，对小球a为静电引力，根据平衡条件，静电引力必然与小球a所受重力及沿OP方向的支持力的合力等值、反向，且在同一直线上，故放在B点可能满足要求，放在O点不能满足要求，选项A错误，B正确；若小球b带正电，对小球a为静电斥力，根据平衡条件，静电斥力必然与小球a所受重力及沿OP方向的支持力的合力等值、反向，且在同一直线上，故放在O、B点不能满足要求，选项C、D错误．]
3.实线为三条未知方向的电场线，从电场中的M点以相同的速度飞出a、b两个带电粒子，a、b的运动轨迹如图中的虚线所示(a、b只受电场力作用)，则( )
A．a一定带正电，b一定带负电
B．电场力对a做正功，对b做负功
C．a的速度将减小，b的速度将增大
D．a的加速度将减小，b的加速度将增大
D [由a、b的弯曲方向来看两个带电粒子所带电性一定相反，但却不能判断谁正、谁负．由于电场线方向未知，故无法确定a、b的电性，A错误；因力的方向沿电场线且要指向轨迹的凹侧，速度沿轨迹的切线方向，由此知a和b所受的电场力与速度方向都成小于90°夹角，所以电场力对a、b均做正功，B、C错误；由电场线的疏密知，D正确．]
4．如图所示，一个质量为30 g、带电荷量－1.7×10－8C的半径极小的小球，用丝线悬挂在某匀强电场中，电场线与水平面平行．当小球静止时，测得悬线与竖直方向夹角为30°，求匀强电场E.(g取10 m/s2)
[解析] 小球受力如图所示：
由共点力平衡条件，知重力与电场力的合力F′必
与线上拉力T等大反向．
由题意可知：qE＝F电＝mgtan 30°
带入数据解得：E＝1×107N/C.
[答案] 1×107N/C
课时分层作业 电场力的性质
(教师用书独具)
[基础达标练]
(时间：15分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．如图所示，两个电荷量均为＋q的带电小球用长为l的轻质绝缘细线连接，静止在绝缘光滑水平面上．两个小球的半径r?l.k表示静电力常量．则轻质细线的张力大小为 ( )
A．0 B． C．2 D．
B [对其中一带电小球受力分析如图所示：
由平衡条件得：T＝F ①
而F＝k ②
故T＝k，所以B项正确．]
2．两个分别带有电荷量－Q和＋5Q的相同金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r的两处，它们间库仑力的大小为F，两小球相互接触后将其固定距离变为，则两球间库仑力的大小为 ( )
A． B．
C. D．
D [两球相距r时，根据库仑定律F＝k，两球接触后，带电荷量均为2Q，则F′＝k，由以上两式可解得F′＝，D正确．]
3．在如图所示的四种电场中，分别标记有a、b两点．其中a、b两点电场强度大小相等、方向相反的是( )
甲 乙
丙 丁
A．甲图中与点电荷等距的a、b两点
B．乙图中两等量异种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点
C．丙图中两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点
D．丁图中非匀强电场中的a、b两点
C [甲图中由E＝k知Ea＝Eb但方向不是相反，A错；乙图中由等量异种电荷连线中垂线上场强分布特点可知Ea＝Eb方向相同，B错误；同理知丙图中Ea＝Eb，方向相反，C项正确，丁图中电场为非匀强电场Ea≠Eb，D错误．]
4．如图甲中，AB是一个点电荷电场中的电场线，图乙中是放在a、b处检验电荷的电荷量与所受电场力数量间的函数图线，下面说法中可以成立的是 ( )
A．场源电荷是正电荷，位于A点
B．场源电荷是正电荷，位于B点
C．场源电荷是负电荷，位于B点
D．条件不足，无法判断
A [由F-q图像可知，当试探电荷为正时，电场力为正值，可知场源电荷为正电荷；图像的斜率表示电场强度大小，图线a的斜率大于b的斜率，说明a处场强大于b处的场强，电场是由点电荷产生的，说明A距离场源较近，即场源位置在A侧，故A正确，B、C、D错误．]
5．(多选)真空中距点电荷(电量为Q)为r的A点处，放一个带电量为q(q?Q)的点电荷，q受到的电场力大小为F，则A点的场强为( )
A． B．
C．k D．k
BC [由电场强度的定义可知A点场强为E＝，又由库仑定律知F＝k，代入后得E＝k，故选B、C.]
6．(多选)一个正点电荷Q固定在正方形的一个角上，另一个带电粒子射入该区域时，恰好能经过正方形的另外三个角a、b、c，如图所示，则有( )
A．根据轨迹可判断该带电粒子带正电
B．a、b、c三点场强大小之比是1∶2∶1
C．粒子在a、b、c三点的加速度大小之比是2∶1∶2
D．a、c二点的电场强度不相同
CD [带电粒子受到的电场力指向轨迹的内侧，根据轨迹弯曲方向可知粒子与固定的电荷Q是异种电荷，它们之间存在引力，故该带电粒子带负电，故A错误．根据几何知识可知a、b、c三点到Q的距离之比为ra∶rb∶rc＝1∶∶1，根据点电荷场强公式E＝k，得a、b、c三点场强大小之比是2∶1∶2，故B错误．根据牛顿第二定律得：a＝，a∝E，则知粒子在a、b、c三点的加速度大小之比是2∶1∶2，故C正确．a、c两点的电场强度大小相等，但方向不同，所以电场强度不同，故D正确．]
二、非选择题(14分)
7．(14分)如图所示，用一条绝缘轻绳悬挂一个带电小球，小球质量为1.0×10－2 kg，所带电荷量为＋2.0×10－8 C．现加一水平方向的匀强电场，平衡时绝缘绳与竖直线成30°角，绳长L＝0.2 m，求：(重力加速度g的大小取10 m/s2)
(1)这个匀强电场的电场强度大小；
(2)突然剪断轻绳，小球做什么运动？加速度大小和方向如何？
[解析] (1)根据共点力平衡得，
qE＝mgtan 30°
解得E＝×107 N/C.
(2)突然剪断轻绳，小球受重力和电场力，初速度为零，做匀加速直线运动．
F合＝＝ma
a＝ m/s2
加速度方向与绳子拉力方向相反．
[答案] (1)×107 N/C (2)做初速度为0的匀加速直线运动 加速度大小为 m/s2 方向与绳子拉力方向相反
[能力提升练]
(时间：25分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．已知均匀带电的无穷大平面在真空中激发电场的场强大小为，其中σ为平面上单位面积所带的电荷量，ε0为常量．如图所示的平行板电容器，极板正对面积为S，其间为真空，带电量为Q.不计边缘效应时，极板可看作无穷大导体板，则极板间的电场强度大小和两极板间相互的静电引力大小分别为( )
A．和 B．和
C．和 D．和
D [每个极板单位面积所带的电荷量σ＝，每个极板单独在极板间产生的电场场强E0＝＝，极板间的电场为两个极板单独产生的电场场强的矢量和，则E＝2E0＝，每个极板受到的静电力F＝QE0＝，选项D正确．]
2．理论上已经证明：电荷均匀分布的球壳在壳内产生的电场为零．现有一半径为R、电荷均匀分布的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示．关于该带电小球产生的电场E随x的变化关系，图中正确的是 ( )
B [以实心球的球心为圆心，选取任意半径为r的小球，设单位体积内的电荷量为ρ，则该半径为r的小球的体积V＝πr3，所带的电荷量：q＝ρV＝πρr3.在它的表面处产生的电场强度：Er＝＝，与该小球的半径成正比．所以在0～R的范围内，球体内部的电场强度与r成正比．在球体外，球体产生的场强与点电荷产生的场强的表达式为E＝＝.所以图B表达的该球的电场的分布图是正确的．故选B. ]
3．如图所示，在光滑绝缘水平面上，三个带电小球a、b和c分别位于边长为l的正三角形的三个顶点上；a、b带正电，c带负电，电荷量均为q，整个系统置于方向水平的匀强电场中．已知静电力常量为k.若三个小球均处于静止状态，则匀强电场场强的大小为( )
A． B．
C． D．
B [对c进行受力分析可知，根据库仑定律，c受a的吸引力大小为F1＝，c受b的吸引力大小为F2＝，则F1＝F2，a、b对c的吸引力的合力等于F＝，而c受力平衡，因此c受到匀强电场的电场力大小也为，因此匀强电场的场强大小为，B正确，A、C、D错误．]
4．(多选)如图所示，a、b、c、d四个质量均为m的带电小球恰好构成“三星拱月”之形，其中a、b、c三个完全相同的带电小球在光滑绝缘水平面内的同一圆周上绕O点做半径为R的匀速圆周运动，三小球所在位置恰好将圆周等分．小球d位于O点正上方h处，且在外力F作用下恰处于静止状态，已知a、b、c三小球的电荷量均为q，d球的电荷量为6q，h＝R.重力加速度为g，静电力常量为k.则( )
A．小球a一定带正电
B．小球b的周期为
C．小球c的加速度大小为
D．外力F竖直向上，大小等于mg＋
BCD [a、b、c三小球所带电荷量相同，要使它们做匀速圆周运动，则d球与a、b、c三小球一定带异种电荷，由于d球的电性未知，所以a球不一定带正电，故A错误．设db连线与水平方向的夹角为α，则cos α＝＝，sin α＝＝；对b球，根据牛顿第二定律和向心力公式得kcos α－2kcos 30°＝mR＝ma，解得T＝，a＝，则小球c的加速度大小为，故B、C正确．对d球，由平衡条件得F＝3ksin α＋mg＝mg＋，故D正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)电量为q＝1×10－4C的带正电小物块置于绝缘水平面上，所在空间存在沿水平方向且方向始终不变的电场，电场强度E的大小与时间t的关系，以及物块速度v与时间t的关系如图所示．若重力加速度g取10m/s2，求：
(1)物块的质量m；
(2)物块与水平面之间的动摩擦因数μ.
[解析] (1)由v－t图像可知，前2 s物块做匀加速直线运动，由牛顿第二定律有qE1－μmg＝ma
2 s后物块做匀速直线运动，由平衡条件有qE2＝μmg，
联立得q(E1－E2)＝ma.
由E－t图像和v－t图像可得
E1＝3×104N/C，E2＝2×104N/C，a＝1 m/s2，代入数据可解得m＝1 kg.
(2)μ＝＝＝0.2.
[答案] (1)1 kg (2)0.2
6．(14分)如图所示，有一水平向左的匀强电场，场强为E＝1.25×104 N/C，一根长L＝1.5 m、与水平方向的夹角θ＝37°的光滑绝缘细直杆MN固定在电场中，杆的下端M固定一个带电小球A，电荷量Q＝＋4.5×10－6 C；另一带电小球B穿在杆上可自由滑动，电荷量q＝＋1.0×10－6 C，质量m＝1.0×10－2 kg.将小球B从杆的上端N静止释放，小球B开始运动．(静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)小球B开始运动时的加速度为多大？
(2)小球B的速度最大时，与M端的距离r为多大？
[解析] (1)如图所示，开始运动时小球B受重力、库仑力、杆的弹力和电场力，沿杆方向运动，由牛顿第二定律得mgsin θ－－qEcos θ＝ma.
解得：a＝gsin θ－－，
代入数据解得：a＝3.2 m/s2.
(2)小球B速度最大时合力为零，即mgsin θ－－qEcos θ＝0
解得：r＝，
代入数据解得：r＝0.9 m.
[答案] (1)3.2 m/s2 (2)0.9 m
