习题课2 电场能的性质及带电粒子在电场中的运动
(教师用书独具)
[学习目标] 1.进一步理解电势差、电势、等势面的概念． 2.掌握电场力做功与电势差的关系，并会进行有关计算． 会利用动力学和功能观点分析带电粒子在电场中的直线运动． 会利用运动的合成与分解方法分析带电粒子在电场中的类平抛运动． 会分析带电粒子在交变电场及复合场中的运动．
一、电场中电势高低的判断与计算
重难解读
1．电势φ是表示电场能的性质的一个物理量，电场中某点处φ的大小是由电场本身决定的，与在该点处是否放入检验电荷及电荷的电性和电荷量均无关．
2．电势高低的四种判断方法
(1)据电场线的方向：电场线由高电势处指向低电势处，或者说沿电场线方向电势逐渐降低．
(2)由UAB＝，将WAB和q带符号代入，据UAB的正负判断A、B两点电势的高低．当UAB>0时，φA>φB；当UAB<0时，φA＜φB.
(3)据电场力做功来判断：电场力对正电荷做正功，电荷由高电势处移向低电势处；正电荷克服电场力做功，电荷由低电势处移向高电势处．对于负电荷，情况恰好相反．
(4)根据电势能判断：正电荷在电势高处电势能较大；负电荷在电势低处电势能较大．
【例1】 将一正电荷从无穷远处移入电场中M点，电势能减少了8.0×10－9 J，若将另一等量的负电荷从无穷远处移入电场中的N点，电势能增加了9.0×10－9 J，则下列判断中正确的是( )
A．φM＜φN＜0 B．φN＞φM＞0
C．φN＜φM＜0 D．φM＞φN＞0
思路点拨：根据电场力做功与电荷电势能变化的关系，由电场力做功情况分析电荷电势能变化，判断电势高低．
C [取无穷远处电势为零，则正电荷在M点的电势能为－8×10－9 J，负电荷在N点的电势能为9×10－9 J．由φ＝知，M、N点的电势φM<0，φN<0，且|φN|＞|φM|，即φN<φM<0，故C正确．]
(多选)两个相同的负电荷和一个正电荷附近的电场线分布如图所示．c是两负电荷连线的中点，d点在正电荷的正上方，c、d到正电荷的距离相等，则( )
A．a点的电场强度比b点的大
B．a点的电势比b点的高
C．c点的电场强度比d点的大
D．c点的电势比d点的低
ACD [根据电场线的分布图，a、b两点中，a点的电场线较密，则a点处电场强度较大，选项A正确．沿电场线的方向电势降低，a点的电势低于b点的电势，选项B错误．由于c、d两点关于正电荷对称，正电荷在c、d两点产生的电场强度大小相等、方向相反；两负电荷在c点产生的电场强度为0，在d点产生的电场强度方向向下，根据电场的叠加原理，c点的电场强度比d点的大，选项C正确．c、d两点中c点离负电荷的距离更小，c点电势比d点低，选项D正确．]
二、静电场中涉及图像问题的处理方法
重难解读
1．主要类型
(1)v-t图像；(2)φ-x图像；(3)E-x图像．
2．应对策略
(1)v-t图像：根据v-t图像中速度的变化、斜率绝对值的变化(即加速度大小的变化)，确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化．
(2)φ-x图像：①电场强度的大小等于φ-x图线的斜率绝对值．②在φ-x图像中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系大致确定电场强度的方向．③在φ-x图像中分析电荷移动时做功的正负，可用WAB＝qUAB分析WAB的正负，然后作出判断．
(3)E-x图像：根据给出的E-x图像，确定E的方向，根据E的大小变化，确定电场的强弱分布．
【例2】 (多选)空间某一静电场的电势φ在x轴上分布如图所示，x轴上B、C两点电场强度在x方向上的分量分别是EBx、ECx，下列说法中正确的有( )
A．EBx的大小大于ECx的大小
B．EBx的方向沿x轴正方向
C．电荷在O点受到的电场力最大
D．负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后做负功
思路点拨：解答本题时应按以下思路分析：
→→
→→
AD [本题的入手点在于如何判断EBx和ECx的大小，由图像可知在x轴上各点的电场强度在x方向的分量不相同，如果在x方向上取极小的一段，可以把此段看作匀强电场，用匀强电场的处理方法思考，从而得到结论，此方法为微元法．在B点和C点附近分别取很小的一段d，由图像知，B点段对应的电势差大于C点段对应的电势差，看作匀强电场有Ex＝，可见EBx>ECx，A项正确；同理可知O点场强最小，电荷在该点受到的电场力最小，C项错误；沿电场方向电势降低，在O点左侧，EBx的方向沿x轴负方向，在O点右侧，ECx的方向沿x轴正方向，所以B项错误，D项正确．]
解答图像类问题的关键
解答图像类问题时，往往要从图线斜率的物理意义上突破，在φ-x图像中，图线斜率表示电场强度E，同时图线是增函数还是减函数也是解答问题的关键．
(多选)在x轴上存在与x轴同向的电场，x轴上各点的电场强度随x点位置变化情况如图所示．点电荷a和b带的电荷量分别为＋q和－q，不计a和b间的静电力．下列叙述正确的是( )
A．x1、x2两处的电势相同
B．a和b在x1处的电势能相等
C．将电荷a沿x轴从x1处移到x2处，电场力一直做正功
D．b在x1处的电势能小于在x2处的电势能
CD [根据E-x图线可知，电场线沿x轴正向，因顺着电场线电势逐渐降低，可知x1处的电势高于x2处的电势，选项A错误；因点电荷a和b带的电荷量分别为＋q和－q，根据Ep＝φq可知a和b在x1处的电势能不相等，选项B错误；因电场线沿x轴正向，则将电荷a沿x轴从x1处移到x2处，电场力一直做正功，选项C正确；因x1处的电势高于x2处的电势，则负电荷b在x1处的电势能小于在x2处的电势能，选项D正确．]
三、带电粒子在交变电场中的运动
重难解读
1．当空间存在交变电场时，粒子所受电场力方向将随着电场方向的改变而改变，粒子的运动性质也具有周期性．
2．研究带电粒子在交变电场中的运动需要分段研究，并辅以v-t图像，特别注意带电粒子进入交变电场时的时刻及交 变电场的周期．
【例3】 如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，电容器板长和板间距离均为L＝10 cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10 cm，在电容器两极板间接一交变电压，上极板的电势随时间变化的图像如图乙所示．(每个电子穿过平行板的时间都极短，可以认为电压是不变的)求：
甲 乙
(1)在t＝0.06 s时刻，电子打在荧光屏上的何处；
(2)荧光屏上有电子打到的区间有多长？
[解析] (1)电子经电场加速满足qU0＝mv2，经电场偏转后侧移量y＝at2＝·，所以y＝，由图知t＝0.06 s时刻U偏＝1.8U0，所以y＝4.5 cm.
设打在屏上的点距O点的距离为Y，满足＝，所以Y＝13.5 cm.
(2)由题意知电子侧移量y的最大值为，所以当偏转电压超过2U0，电子就打不到荧光屏上了，所以荧光屏上电子能打到的区间长为3L＝30 cm.
[答案] (1)打在屏上的点位于O点上方，距O点13.5 cm (2)30 cm
(1)注意电场的大小、方向是做周期变化的．
(2)电子穿越平行板的时间极短，认为电压是不变的．
(3)当U＞0时，电子向上偏转，U＜0时，电子向下偏转，因此荧光屏上电子能打到的区间是关于点O对称的．
在如图甲所示平行板电容器A、B两板上加上如图乙所示的交变电压，开始B板的电势比A板高，这时两板中间原来静止的电子在电场力作用下开始运动，设电子在运动中不与极板发生碰撞，则下述说法正确的是(不计电子重力)( )
A．电子先向A板运动，然后向B板运动，再返回A板做周期性往复运动
B．电子一直向A板运动
C．电子一直向B板运动
D．电子先向B板运动，然后向A板运动，再返回B板做周期性往复运动
C[由运动学和动力学规律画出如图所示的v-t图像可知，电子一直向B板运动，C正确．]
1．(多选)如图所示，a、b、c为电场中同一条水平方向电场线上的三点，c为ab的中点．a、b电势分别为φa＝5 V，φb＝3 V，下列叙述中正确的是( )
A．a点处的场强Ea一定大于b点处的场强Eb
B．一正电荷运动到c点时受到的电场力由a指向c
C．一负电荷在a点的电势能一定大于在c点的电势能
D．一正电荷从c点运动到b点电势能一定减少
BD [一条电场线无法比较电场线的疏密，就无法比较场强的大小，则a点处的场强Ea不一定大于b点处的场强Eb，故选项A错误；由题意可判断电场线方向从a指向b，正电荷运动到c点时受到的电场力由a指向c，故选项B正确；由题意知φa＞φc＞φb＞0，Ep＝qφ，所以负电荷在a点的电势能小于在c点的电势能，正电荷从c点运动到b点电势能一定减少，故C错误，D正确．]
2．(多选)如图所示为某静电场等势面的分布情况，电荷量为1.6×10－9 C的正电荷从A到B静电力做功W1，从B到C静电力做功W2，从C到D静电力做功W3，若从A直接到D静电力做功W4，则( )
A．W1＝3.2×10－8 J
B．W2＝1.6×10－8 J
C．W3＝3.2×10－8 J
D．W4＝－4.8×10－8 J
BD [静电力做功与电荷运动的路径无关，只与电荷的起始位置和终止位置有关．从A到B，静电力对电荷做的功为W1＝qUAB＝q(φA－φB)＝1.6×10－9×(－40＋20) J＝－3.2×10－8 J，选项A错误；同理可得选项B、D正确，C错误．]
3．如图所示，匀强电场中有一个以O为圆心、半径为R的圆，电场方向与圆所在平面平行，A、O两点电势差为U，一带正电的粒子在该电场中运动，经A、B两点时速度方向沿圆的切线方向，速度大小均为v0，粒子只受电场力，则下列说法正确的是( )
A．粒子从A到B的运动过程中，动能先增大后减小
B．圆周上电势最高的点与O点的电势差为U
C．粒子在A、B间做圆周运动
D．匀强电场的电场强度E＝
B [带电粒子仅在电场力作用下运动，由于粒子在A、B两点动能相等，则电势能也相等．对于匀强电场，AB连线为等势线．根据等势面与电场线垂直的特性，从而画出电场线CO，如图所示．粒子所受的电场力沿着CO方向，因此粒子从A到B做类平抛运动，选项C错误．速度方向与电场力方向夹角先大于90°后小于90°，电场力对于运动来说先是阻力后是动力，所以动能先减小后增大，选项A错误．匀强电场的电场强度E＝，由几何关系可知，d＝R，所以E＝，选项D错误．圆周上，电势最高的点与O点的电势差为Um＝ER＝U，选项B正确．]
4.(多选)如图所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点，在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是( )
A B C D
BC [AC连线不是等势线，其垂线就不是电场线，故A错误．A、C中点G的电势：φG＝＝ V＝4 V．将A、B两点连线的线段三等分，在图B中，H点的电势为4 V，因此H点与G点的连线为等势线，根据电场线与等势线垂直，且指向低电势处，可知与GH线垂直的直线即为电场线，故B正确；在图C中，F点的电势为3 V，因此F点与C点的连线为等势线，根据电场线与等势线垂直，且指向低电势处，可知与CF线垂直的直线即为电场线，故C正确；BC连线不是等势线，其垂线就不是电场线，故D错误．]
5．如图所示，在某一空间范围很大的水平向右的匀强电场中，一个电荷量为－q的油滴，从A点以速度v竖直向上射入电场．已知油滴质量为m，重力加速度为g，当油滴到达运动轨迹的最高点B时(图中未标出)，测得它的速度大小恰为v/2，问：
(1)电场强度E为多大？
(2)A点与最高点B之间的电势差为多少？
[解析] (1)油滴在竖直方向上：v＝gt
油滴在水平方向上：＝at
a＝
可得E＝.
(2)油滴在水平方向上：Eqx＝m
U＝－Ex
可得：U＝.
[答案] (1) (2)－
课时分层作业 电场能的性质及带电粒子在电场中的运动
(教师用书独具)
[基础达标练]
(时间：15分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．一个电荷量为10－6 C的负电荷从电场中A点移到B点电场力要做功2×10－6 J，从C点移到D点要克服电场力做功7×10－6 J，若已知C点比B点电势高3 V，且A、B、C、D四点在同一条电场线上，则下列选项中正确的是 ( )
C [由UAB＝＝－2 V，则φA－φB＝－2 V；UCD＝＝7 V，则φC－φD＝7 V；由题意得φC－φB＝3 V，则φC＞φB＞φA＞φD，C正确．]
2．某区域的电场线分布如图所示，其中间的电场线是直线，一带正电的粒子从直线上的O点由静止开始在电场力作用下运动到A点．取O点为坐标原点，沿直线向右为x轴正方向，粒子的重力忽略不计．在O到A运动过程中，下列关于粒子运动速度v和加速度a随时间t的变化、粒子的动能Ek和运动径迹上电势φ随位移x的变化图线可能正确的是( )
A B C D
B [由题图可知，从O到A点，电场线先由密到疏，再由疏到密，电场强度先减小后增大，方向不变，因此粒子受到的电场力先减小后增大，则加速度先减小后增大，故A错误，B正确；沿着电场线方向电势降低，而电势与位移的图像的斜率的绝对值表示电场强度的大小，因此C错误；电场力做正功，粒子电势能减小，则动能增加，且图像的斜率先减小后增大，故D错误．]
3．(多选)场强为E＝1.0×102 N/C的匀强电场中，有相距d＝0.02 m的a、b两点，则a、b两点间的电势差可能为( )
A．1.0 V B．2.0 V
C．3.0 V D．4.0 V
AB [由题意知沿电场线方向的最大距离d＝0.02 m，故a、b两点间的最大电势差为Umax＝Ed＝1.0×102×0.02 V＝2.0 V，故正确选项为A、B.]
4.如图所示，平行金属板A、B水平正对放置，分别带等量异号电荷．一带电微粒水平射入板间，在重力和电场力共同作用下运动，轨迹如图中虚线所示，那么( )
A．若微粒带正电荷，则A板一定带正电荷
B．微粒从M点运动到N点电势能一定增加
C．微粒从M点运动到N点动能一定增加
D．微粒从M点运动到N点机械能一定增加
C [根据微粒的运动轨迹分析微粒的受力情况，结合功能关系求解．
A．分析微粒的运动轨迹可知，微粒的合力方向一定竖直向下，由于微粒的重力不可忽略，故微粒所受的电场力可能向下，也可能向上，故A错误．
B．微粒从M点运动到N点，电场力可能做正功，也可能做负功，故微粒的电势能可能减小，也可能增大，故B错误．
C．微粒从M点运动到N点过程中，合力做正功，故微粒的动能一定增加，C正确．
D．微粒从M点运动到N点的过程中，除重力之外的电场力可能做正功，也可能做负功，故机械能不一定增加，D错误．]
5．如图所示，有一带电粒子贴着A板沿水平方向射入匀强电场，当偏转电压为U1时，带电粒子沿①轨迹从两板正中间飞出；当偏转电压为U2时，带电粒子沿②轨迹落到B板中间；设粒子两次射入电场的水平速度相同，则两次偏转电压之比为( )
A．U1∶U2＝1∶8 B．U1∶U2＝1∶4
C．U1∶U2＝1∶2 D．U1∶U2＝1∶1
A [由y＝at2＝··得U＝，所以U∝，可知A正确．]
6．如图所示，虚线是等势面，相邻的两等势面的电势差都相等，有一带正电的小球在电场中运动，实线表示该带正电的小球的运动轨迹，小球在a点的动能为20 eV，运动到b点的动能为2 eV.若取c点为零电势点，则当这个小球的电势能为－6 eV时，它的动能为(不计重力和空气阻力)( )
A．16 eV B．14 eV
C．6 eV D．4 eV
B [设相邻两等势面间的电势差为U，小球的电荷量为q，小球从a到b和从b到c分别根据动能定理得：－q·3U＝Ekb－Eka，qU＝Ekc－Ekb，解得：Ekc＝(Eka＋2Ekb)＝(20＋2×2)eV＝8 eV.因为c点电势为0，所以小球在c点时的电势能为0，小球在电场中运动只有电场力做功，所以小球的动能和电势能的总和保持不变，恒为8 eV，所以当小球的电势能为－6 eV时，它的动能为14 eV.]
二、非选择题(14分)
7.在如图所示的匀强电场中，有a、b、c三点，ab＝5 cm，bc＝12 cm，其中ab沿电场线方向，bc与电场线方向成60°角，一个电荷量为q＝4×10－8 C的正电荷从a移到b电场力做功为W1＝1.2×10－7 J．求：
(1)匀强电场的场强E等于多少？
(2)电荷从b移到c，电场力做功W2等于多少？
(3)a、c两点的电势差Uac等于多少？
[解析] (1)设a、b两点间的距离为d，由题意有W1＝qUab，E＝.
由以上两式得E＝＝ V/m
＝60 V/m.
(2)设b、c两点沿场强方向距离为d1，
则有Ubc＝Ed1，d1＝bc·cos 60°，W2＝qUbc，
解得：W2＝qE·bc·cos 60°
＝4×10－8×60×12×10－2×0.5 J＝1.44×10－7 J.
(3)设电荷从a移到c，电场力做功为W，W＝W1＋W2，W＝qUac，
由以上两式得Uac＝
＝ V＝6.6 V.
[答案] (1)60 V/m (2)1.44×10－7 J (3)6.6 V
[能力提升练]
(时间：25分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．(多选)如图所示，图中五点均在匀强电场中，它们刚好是一个圆的四个等分点和圆心．已知电场线与圆所在平面平行．下列有关圆心O和等分点a的电势、电场强度的相关描述正确的是( )
A．a点的电势为6 V
B．a点的电势为－2 V
C．O点的场强方向指向a点
D．O点的场强方向指向电势为2 V的点
AD [由匀强电场特征可知φa－2 V＝10 V－6 V得φa＝6 V，选项A正确，B错误；O点与a点处于同一等势面上，所以O点场强方向指向电势为2 V的点，选项C错误，D正确．]
2．(多选)如图甲是电场中的一条电场线，A、B是该电场线上的两个点，一带负电的粒子仅在电场力作用下沿电场线由A点向B点运动，带电粒子运动的位移为x.带电粒子的v2－x的关系如图乙所示．以下关于电场的判断正确的是( )
甲 乙
A．A点的场强比B点的场强大
B．A点的场强等于B点的场强
C．A点的电势比B点的电势高
D．A点的电势比B点的电势低
BD [由v－v＝2ax可知，v2-x图像的斜率为2a，即带电粒子受到的电场力大小不变，故A点的场强等于B点的场强，A错误，B正确；从A点到B点，带电粒子的动能变大，电场力做正功，带电粒子的电势能变小，粒子带负电，故电势升高，故A点的电势比B点电势低，C错误，D正确．]
3.如图所示，两分别带有正负电荷的平行金属板相距l，在正极板附近有一质量为M、电荷量为q(q>0)的粒子；在负极板附近有另一质量为m、电荷量为－q的粒子．在电场力的作用下，两粒子同时从静止开始运动．已知两粒子同时经过一平行于正极板且与其相距l的平面．若两粒子间相互作用力可忽略，不计重力，则M∶m为( )
A．3∶2 B．2∶1
C．5∶2 D．3∶1
A [两粒子同时从静止开始，在电场力作用下做匀加速直线运动，同时经过某一平面，它们在相同时间内位移之比为2∶3，根据x＝at2，可知它们的加速度之比为2∶3.粒子受到的电场力F＝qE，结合牛顿第二定律得a＝，由于两粒子所受电场力大小相等，故质量之比应为3∶2，A正确．]
4．如图所示为示波管中偏转电极的示意图，间距为d，长度为l的平行板A、B加上电压后，可在A、B之间的空间中(设为真空)产生电场(设为匀强电场)．在A、B等距离处的O点，有一电荷量为＋q、质量为m的粒子以初速度v0沿水平方向(与A、B板平行)射入(如图)，不计重力，要使此粒子能从C处射出，则A、B间的电压应为( )
A． B．
C． D．q
A [带电粒子只受电场力作用，在平行板间做类平抛运动．设粒子由O到C的运动时间为t，则有l＝v0t.设A、B间的电压为U，则偏转电极间的匀强电场的场强E＝，粒子所受电场力F＝qE＝，根据牛顿第二定律得粒子沿电场方向的加速度a＝＝.粒子在沿电场方向做匀加速直线运动，位移为d，由匀加速直线运动的规律得＝at2，解得U＝，A正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)如图所示，质量为m、电荷量为q的带电粒子，以初速度v0垂直射入场强大小为E、方向竖直向下的匀强电场中，射出电场的瞬时速度的方向与初速度方向成30°角．在这一过程中，不计粒子重力．求：
(1)该粒子在电场中经历的时间；
(2)粒子在这一过程中电势能的增量．
[解析] (1)分解末速度vy＝v0tan 30°，在竖直方向vy＝at，a＝，联立三式可得t＝.
(2)射出电场时的速度v＝＝v0，
由动能定理得电场力做功为
W＝mv2－mv＝mv，
根据W＝Ep1－Ep2得
ΔEp＝－W＝－mv.
[答案] (1) (2)－mv
6．(14分)虚线PQ、MN间存在如图所示的水平匀强电场，一带电粒子质量为m＝2.0×10－11kg、电荷量为q＝＋1.0×10－5C，从a点由静止开始经电压为U＝100 V的电场加速后，垂直进入匀强电场中，从虚线MN的某点b(图中未画出)离开匀强电场时速度与电场方向成30°角．已知PQ、MN间距为20 cm，带电粒子的重力忽略不计．求：
(1)带电粒子刚进入匀强电场时的速率v1；
(2)水平匀强电场的场强大小；
(3)ab两点间的电势差．
【解析】 (1)由动能定理得：qU＝mv
代入数据得v1＝1.0×104m/s
(2)粒子沿初速度方向做匀速运动：d＝v1t
粒子沿电场方向做匀加速运动：v2＝at
由题意得：tan 30°＝
由牛顿第二定律得：qE＝ma
联立以上各式并代入数据得：
E＝×103N/C≈1.7×103N/C
(3)由动能定理得：qUab＝m(v＋v)－0
联立以上各式并代入数据得：Uab＝400 V.
[答案] (1)1.0×104m/s (2)1.7×103N/C (3)400 V
