高中数学北师大版必修2第一章立体几何初步1.6.1.2平面与平面垂直的判定:25张PPT

课件25张PPT。第2课时　平面与平面垂直的判定1.了解二面角的概念.
2.掌握平面与平面垂直的判定定理.
3.能运用面面垂直的判定定理证明面面的垂直关系.1.二面角
(1)定义:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫作半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面.
(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作这个二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角来度量,平面角的度数就是二面角的度数.平面角是直角的二面角叫作直二面角.(3)记法:以直线AB为棱、半平面α,β为面的二面角,记作二面角α-AB-β,如图所示.
名师点拨二面角的概念是平面几何中角的概念的扩展和延伸.平面角是从平面内一点出发的两条射线(半直线)所组成的图形,二面角是从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形;平面角可以看作是一条射线绕端点旋转而成,二面角可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成.二面角定量地反映了两个相交平面的位置关系.【做一做1】 有下列说法:
①两个相交平面所组成的图形叫作二面角;
②二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成的角;
③二面角的平面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系.
其中正确说法的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:A2.平面与平面垂直
(1)定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
(2)画法:在画两个垂直的平面时,通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直.如图①②所示.(3)判定定理: 名师点拨平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“若线面垂直,则面面垂直”.也就是说证明平面与平面垂直,只要在一个平面内找到一条直线和另一个平面垂直即可.【做一做2】 已知直线l⊥平面β,l?平面α,则(　　)
A.α⊥β
B.α∥β
C.α∥β或α⊥β
D.α与β相交但不一定垂直
答案:A题型一题型二题型三分析:条件中给出了线面垂直及底面梯形的形状.证明本题的突破口是在其中一个平面内找一条直线垂直于另外一个平面.题型一题型二题型三反思证明面面垂直有两个途径:一是定义,二是证明线面垂直,二者都是通过线线垂直来完成的.如果题目给出了长度、角度等条件,可以考虑用勾股定理或求角来证线线垂直,所以空间问题平面化是解决立体几何问题的重要思想.题型一题型二题型三【变式训练1】 在三棱锥S-ABC中,∠BSC=90°,∠ASB=60°,∠ASC=60°,SA=SB=SC.
求证:平面ABC⊥平面SBC.
证明:方法一:如图所示,取BC的中点D,连接AD,SD.
由题意知△ASB与△ASC是等边三角形,则AB=AC.
∴AD⊥BC,SD⊥BC.
∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.
又AD⊥BC,SD∩BC=D,∴AD⊥平面SBC.
∵AD?平面ABC,
∴平面ABC⊥平面SBC.题型一题型二题型三方法二:∵SA=SB=SC=a,
又∠ASB=∠ASC=60°,
∴△ASB,△ASC都是等边三角形.
∴AB=AC=a.
作AD⊥平面BSC于点D,
∵AB=AC=AS,∴D为△BSC的外心.
又△BSC是以BC为斜边的直角三角形,
∴D为BC的中点,故AD?平面ABC.
∴平面ABC⊥平面SBC.题型一题型二题型三【例2】 如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,PO⊥底面ABCD,O为正方形ABCD的中心,PO=1,AB=2,求二面角P-AB-D的平面角的大小.
分析:先找出二面角的平面角,再放在直角三角形中求解.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三易错点:对定理理解不准确而致误
【例3】 α,β为不重合的两个平面,给出下列说法:
(1)若α内的两条相交直线分别平行于平面β,则α平行于β.
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行.
(3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直.
(4)若b为α中的一条直线,平面α垂直于平面β,则b垂直于平面β.
上面说法正确的序号是　　　　　(写出所有的正确序号).?
错解:(1)(2)(4)
错因分析:对于(4)因对情况考虑不周而误认为只有b垂直于β这一种情况.题型一题型二题型三正解:(1)若α内的两条相交直线分别平行于平面β,则两条相交直线确定的平面α平行于平面β,正确.
(2)若平面α外的一条直线l与α内的一条直线平行,则l平行于α,正确.
(3)如图所示,α∩β=l,a?α,a⊥l,
但不一定有α⊥β,错误.
(4)b与β的位置关系为相交、平行或b?β,错误.
答案:(1)(2)题型一题型二题型三【变式训练3】 设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列三个命题,其中正确命题的序号是　　　　　.?
(1)若m⊥α,n∥α,则m⊥n;
(2)若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;
(3)若m∥α,n∥α,则m∥n.
解析:(1)若m⊥α,n∥α,则m⊥n,正确;(2)若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ,正确;(3)两条直线还可能相交或异面,错误.
答案:(1)(2)1 2 3 4 51下列命题:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系,其中正确的是(　　)
A.①③ B.②④
C.③④ D.①②
答案:B1 2 3 4 52.如图所示,在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是(　　)
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABC
D.平面PAE⊥平面ABC
解析:由题意知BC∥DF,则BC∥平面PDF成立;因为BC⊥PE,BC⊥AE,且PE∩AE=E,所以BC⊥平面PAE,则DF⊥平面PAE成立,平面PAE⊥平面ABC也成立.
答案:C3.给出下列四个命题:①若直线l与平面α内无数条直线垂直,则直线l⊥平面α;②平面α与β分别过两条互相垂直的直线,则α⊥β;③若直线l⊥平面α,则存在a?α,使l∥a;④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β.
其中正确命题的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.0
解析:当l与平面α内无数条互相平行的直线垂直时,l不一定与α垂直,故①错误;
当平面α与β分别过两条互相垂直的直线时,α,β可能垂直,也可能不垂直,故②错误;
根据直线与平面垂直的定义,知直线l⊥平面α时,l与α内的所有直线都垂直,在α内不可能存在直线与l平行,故③错误;
根据线面垂直和面面垂直的判定定理知④正确.故选A.
答案:A1 2 3 4 51 2 3 4 54.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面BD1D与平面D1C1CD所成的角的大小为　　　　　.?
解析:
如图所示,因为DD1⊥平面ABCD,所以BD⊥D1D,又CD⊥D1D,所以∠CDB即为平面BD1D与平面D1C1CD所成的角,其大小为45°.
答案:45°1 2 3 4 55
如图所示,在三棱台ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AA1⊥平面ABC,AB=AC,D为BC的中点.
求证:平面A1AD⊥平面BCC1B1.
证明:∵AC=AB,D为BC的中点,∴BC⊥AD.
又AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥BC.
又AA1∩AD=A,
∴BC⊥平面A1AD.
∵BC?平面BCC1B1,
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.