习题课2 平衡条件的应用
[学习目标] 1．通过实例巩固处理静态平衡的常用方法． 2.通过解析法和图解法，掌握如何分析动态平衡问题． 3.掌握解决临界问题和极值问题的方法．
静态平衡
1．静态平衡的定义
静态平衡是指物体在共点力的作用下保持静止状态时的平衡．
2．静态平衡的理解
(1)运动学特征：处于静态平衡的物体速度为零．
(2)平衡条件：处于静态平衡的物体所受的合力为零．
(3)实例：日常生活中，三角形支架以其优越的平衡稳定性被广泛采用．如：大型展览馆、体育馆屋顶的钢架结构，马路边的路灯支架，建筑工地的塔吊支架等静态平衡装置大多采用三角形结构．
【例1】 沿光滑的墙壁用网兜把一个足球挂在A点，如图所示，足球的质量为m，网兜的质量不计，足球与墙壁的接触点为B，悬绳与墙壁的夹角为α，求悬绳对球的拉力和墙壁对球的支持力．
思路点拨：①球处于静止状态，所受合外力为零．
②选取球为研究对象可采用合成法、分解法、正交分解法求解．
[解析] 方法一：用合成法
取足球和网兜作为研究对象，它们受重力G＝mg、墙壁的支持力N和悬绳的拉力T三个共点力作用而平衡．由共点力平衡的条件可知，N和T的合力F与G大小相等、方向相反，即F＝G，作平行四边形如图所示．由三角形知识得：N＝Ftan α＝mgtan α，T＝＝.
方法二：用分解法
取足球和网兜作为研究对象，其受重力G＝mg、墙壁的支持力N、悬绳的拉力T，如图所示，将重力分解为F′1和F′2由共点力平衡条件可知，N与F′1的合力必为零，T与F′2的合力也必为零，
所以N＝F′1＝mgtan α，T＝F′2＝.
方法三：用正交分解法求解
取足球和网兜作为研究对象，受三个力作用，重力G＝mg、墙壁的支持力N、悬绳的拉力T，如图所示，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，将T分别沿x轴和y轴方向进行分解．由平衡条件可
知，在x轴和y轴方向上的合力Fx合和Fy合应分别等于零，即
Fx合＝N－Tsin α＝0 ①
Fy合＝Tcos α－G＝0 ②
由②式解得：T＝＝
代入①式得：N＝Tsin α＝mgtan α.
[答案] mgtan α
解决静态平衡问题的方法及步骤
(1)处理平衡问题，常用的方法有合成法、分解法、相似三角形法、正交分解法等．
(2)应用平衡条件解题的步骤
①明确研究对象(物体、质点或绳的结点等)；
②对研究对象进行受力分析；
③建立合适的坐标系，应用共点力的平衡条件，选择恰当的方法列出平衡方程；
④求解方程，并讨论结果．
1．如图所示，质量为m的物块在水平推力作用下，静止在倾角为θ的光滑斜面上，则物块对斜面的压力为( )
A．mgcos θ B．mgsin θ
C． D．
C [分析物块受力，建立如图所示的直角坐标系．物块静止，则y轴方向上有Ny＝Ncos θ＝mg，则N＝.故C正确．]
2．如图所示，置于水平地面的三脚架上固定着一质量为m的照相机．三脚架的三根轻质支架等长，与竖直方向均成30°角，则每根支架中承受的压力大小为( )
A．mg B．mg C．mg D.mg
D [对物体进行受力分析，竖直方向受力平衡，3Fcos 30°＝mg，故F＝＝mg＝mg.所以支架承受的压力F′＝F＝mg.故选项D正确．]
动态平衡
1．动态平衡的定义
动态平衡是指物体在共点力的作用下保持匀速直线运动状态，或者通过控制某些物理量，使物体的运动状态缓慢地发生变化，而这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态．
2．平衡条件
物体所受共点力的合力为零．
3．解题思路
把“动”化为“静”，从“静”中求“动”．
【例2】 如图所示，把球夹在竖直墙AC和木板BC之间，不计摩擦，球对墙的压力为N1，球对木板的压力为N2.在将木板BC逐渐放至水平的过程中，下列说法正确的是( )
A．N1和N2都增大
B．N1和N2都减小
C．N1增大，N2减小
D．N1减小，N2增大
思路点拨：?
?
B [球受到重力G、墙AC对球的弹力N1′和板BC对球的支持力N2′，如图甲所示．
甲 乙
在将板BC逐渐放至水平的过程中，球始终处于平衡状态，G、N1′、N2′经过平衡可构成一系列封闭的矢量三角形，如图乙所示，由图乙可以看出，N1′、N2′都逐渐减小．由力的相互作用可知，N1＝N1′，N2＝N2′，所以N1、N2都逐渐减小．故选项B正确．]
动态平衡及其分析方法
(1)物体的动态平衡是指物体在运动中的平衡，通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变化，在此过程中，物体始终处于一系列的动态平衡状态．
(2)动态平衡问题的两种分析方法
①解析法：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出因变量与自变量的一般函数式，然后根据自变量的变化确定因变量的变化．
②图解法：对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下的力的矢量图(画在同一个图中)，然后根据有向线段(表示力)的长度变化判断各个力的变化情况．
3．如图所示，人向右运动的过程中，物体A缓慢地上升．若人对地面的压力为F、人受到的摩擦力为f、人拉绳的力为T，则( )
A．F、f、T均增大
B．F、f增大，T不变
C．F、f、T均减小
D．F增大，f减小，T不变
B [
设人和物体A的质量分别为m、mA.物体A缓慢上升，即物体A在任何位置都可以认为是处于静止状态，故绳的张力为mAg，人拉绳的力T与绳中张力大小相等，故人拉绳的力T＝mAg不变．对人进行受力分析，并建立直角坐标系，如图所示，人始终处于平衡状态，可得f－T′cos θ＝0，N＋T′sin θ＝mg，由力的相互性知N＝F，T′＝T，所以F＝mg－mAgsin θ，f＝mAgcos θ，显然，F、f是关于自变量θ的函数，当自变量θ减小时，F、f均增大，故B正确．]
4.如图所示，一定质量的物块用两根轻绳悬在空中，其中绳OA固定不动，绳OB在竖直平面内由水平方向向上转动，则在绳OB由水平转至竖直的过程中，绳OB的张力大小将( )
A．一直变大 B．一直变小
C．先变大后变小 D．先变小后变大
D [
根据重力的作用效果将其分解在绳OA、OB所在的方向上，如图所示，F1是对绳OA的拉力，方向不变，F2是对绳OB的拉力．由于OA方向不变，当OB向上转动，即F2逆时针转动时，由图可知，F2先变小后变大，故D正确．]
平衡问题中的临界和极值问题
1．临界问题
临界状态是指某种物理现象(或物理状态)变为另一种物理现象(或物理状态)的过程中的转折状态．可理解为“恰好出现”某种物理现象，也可理解为“恰好不出现”某种物理现象，涉及临界状态的问题叫作临界问题．
2．极值问题
极值是指描述物体的物理量在变化过程中出现的最大值或最小值．涉及极值的问题叫作极值问题．
3．解决临界问题和极值问题的方法
一种是物理分析法，通过对物理过程的分析，抓住临界(或极值)条件进行求解．例如，两物体脱离的临界条件是两物体间的弹力为零．另一种是数学法，通过对问题的分析，依据物理规律写出物理量之间的函数关系(或作出函数图象)，用数学知识(例如求二次函数的极值、讨论公式极值、三角函数极值等)求解．
【例3】 如图所示，小球的质量为2 kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于小球上，AC绳水平，AB绳与AC绳成θ＝60°角，在小球上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，g＝10 m/s2.若要使绳都能拉直，求拉力F的大小范围．
[解析] 小球受重力mg、AB拉力FB、AC拉力FC和F作用处于平衡状态，如图所示．
由，有
要两绳伸直则应满足FB≥0，FC≥0
FB≥0时，F≤＝N
FC≥0时，F≥＝N
综上所述，F的大小范围为N≤F≤N.
[答案] N≤F≤N
5.如图所示，重50 N的物体A放在倾角为37°的粗糙斜面上，有一根原长为10 cm，劲度系数为800 N/m的弹簧，其一端固定在斜面顶端，另一端连接物体A后，弹簧长度为14 cm.现用一测力计沿斜面向下拉物体A，若物体A与斜面间的最大静摩擦力为20 N，当弹簧的长度仍为14 cm时，测力计的读数不可能为( )
A．10 N B．20 N
C．30 N D．0
C [物体A在斜面上处于静止状态时合外力为零，物体A在斜面上受五个力的作用，分别为重力、支持力、弹簧弹力、摩擦力、拉力F.当摩擦力的方向沿斜面向上时，F＋mgsin 37°≤fmax＋k(14 cm－10 cm)，解得F≤22 N．当摩擦力沿斜面向下时，F最小值为零，即拉力的取值范围为0≤F≤22 N．故选项C正确．]
6．如图所示，三根相同的轻杆用铰链连接，并用铰链固定在位于同一水平线上的A、B两点，A、B间的距离是杆长的2倍，铰链C上悬挂一质量为m的重物，为使杆CD保持水平，在铰链D上应施加的最小力是多大？
[解析] 对于节点C，受力情况如图甲所示．
甲 乙
根据平衡条件可得FCD＝mg
根据力的相互性可知FDC＝FCD＝mg
对于节点D，受力情况如图乙所示．
由极限分析法可得，拉力的方向与BD垂直斜向下时拉力最小，在铰链D上应施加的最小力F＝FDCcos 30°＝mg.
[答案] mg
1．一氢气球下系一小重物G，重物只在重力和绳的拉力作用下做匀速直线运动，不计空气阻力和风力影响，而重物运动的方向如各图中箭头所示，则下列图中气球和重物G在运动中所处的位置可能的是( )
A B C D
A [重物G受到重力和绳的拉力的共同作用，由力的平衡可知，二力必定反向，所以悬线是竖直的．]
2.如图所示，用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木桩上等高的两点，制成一简易秋千．某次维修时将两轻绳各剪去一小段，但仍保持等长且悬挂点不变．木板静止时，F1表示木板所受合力的大小，F2表示单根轻绳对木板拉力的大小，则维修后( )
A．F1不变，F2变大
B．F1不变，F2变小
C．F1变大，F2变大
D．F1变小，F2变小
A [
如果维修时将两轻绳各剪去一小段，但仍保持两轻绳等长且悬挂点不变，根据物体的平衡条件可知，木板静止时，木板受到的合外力始终为零，因此木板所受合力的大小F1始终不变，由力的平行四边形定则可知，当两绳的合力大小不变，在剪短轻绳后，由于悬点不变，使两绳之间的夹角变大，而合力不变，所以两绳上的分力F2变大，由此可知A正确．]
3．如图所示，一小球用轻绳悬于O点，用力F拉住小球，使悬线保持偏离竖直方向75°角，且小球始终处于平衡状态．为了使F有最小值，F与竖直方向的夹角θ应该是( )
A．90° B．45°
C．15° D．0°
C [当力F的方向与轻绳的方向垂直时，力F有最小值，即当力F与竖直方向的夹角θ为15°时，力F有最小值，故C选项正确．]
4.如图所示，质量为M的直角三棱柱A放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ.质量为m的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A和B都处于静止状态，求：
(1)地面对三棱柱支持力的大小；
(2)地面对三棱柱摩擦力的大小．
[解析] (1)选取A和B整体为研究对象，它受到重力(M＋m)g、地面的支持力N、墙壁的弹力F和地面的摩擦力f的作用(如图甲所示)而处于平衡状态．根据平衡条件有N－(M＋m)g＝0，F＝f可得：N＝(M＋m)g.
甲 乙
(2)再以B为研究对象，它受到重力mg，三棱柱对它的支持力NB，墙壁对它的弹力F的作用(如图乙所示)，而处于平衡状态．
根据平衡条件：NBcos θ＝mg，NBsin θ＝F
解得F＝mgtan θ，所以f＝F＝mgtan θ.
[答案] (1)(M＋m)g (2)mgtan θ
课件51张PPT。第5章 力与平衡习题课2 平衡条件的应用234静态平衡 56789101112131415161718动态平衡 192021222324252627282930平衡问题中的临界和极值问题 3132333435363738394041424344454647484950点击右图进入…Thank you for watching !重难强化训练(二) 平衡条件的应用
(时间：40分钟 分值：100分)
一、选择题(本题共9小题，每小题6分，共54分.1～6为单选，7～9为多选)
1．如图所示，跳伞运动员打开伞后经过一段时间，将在空中保持匀速降落，已知运动员和他身上装备的总重力为G1，圆顶形降落伞伞面的重力为G2，有8根相同的拉线一端与运动员相连(拉线质量不计)，另一端均匀分布在伞面边缘上(图中没有把拉线都画出来)．每根拉线和竖直方向都成30°角，那么每根拉线上的张力大小为( )
A． B．
C． D．
A [取运动员为研究对象，受力分析如图所示，8根拉线图中只画出2根．由于8根拉线中每两根都关于竖直线对称，故一对拉线(在圆顶形伞面直径的两端)的合力F12＝2F1cos 30°＝2×F1×＝F1．因为运动员匀速下降，处于平衡状态，由共点力的平衡条件知：4F12－G1＝0，所以4F1＝G1．故F1＝＝，A正确．]
2.如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心，一质量为m的小滑块在水平力F的作用下静止于P点．设滑块所受支持力为N，OP与水平方向的夹角为θ.下列关系正确的是( )
A．F＝ B．F＝mgtan θ
C．N＝ D．N＝mgtan θ
A [对小滑块进行受力分析，如图所示，小滑块受重力mg、水平力F和容器的支持力N三个力的作用，其中支持力N的方向垂直于接触面指向球心．将N分解为沿水平方向的分力Ncos θ和沿竖直方向的分力Nsin θ，则小滑块在水平方向和竖直方向均满足二力平衡，有Ncos θ＝F，Nsin θ＝mg，从而可得N＝，F＝.故选项A正确．]
3.如图所示，一小球在斜面上处于静止状态，不考虑一切摩擦，如果把竖直挡板由竖直位置缓慢绕O点转至水平位置，则此过程中球对挡板的压力F1和球对斜面的压力F2的变化情况是( )
A．F1先增大后减小，F2一直减小
B．F1先减小后增大，F2一直减小
C．F1和F2都一直减小
D．F1和F2都一直增大
B [小球受力如图甲所示，因挡板是缓慢移动，所以小球处于动态平衡状态，在移动过程中，此三力(重力、斜面的支持力N、挡板的弹力F)组成一矢量三角形的变化情况如图乙所示(重力大小、方向均不变，斜面对其支持力方向始终不变)，由图可知此过程中斜面对小球的支持力不断减小，挡板对小球弹力先减小后增大，再由牛顿第三定律知B对．]
甲 乙
4．质量为m的物体放在倾角为30°的斜面上，在平行斜面向下的力F作用下处于静止状态，如图所示，下列关于斜面对物体摩擦力大小的说法，不正确的是( )
A．一定大于F
B．一定等于F＋mg
C．可能等于mg
D．可能等于2mg
B [设斜面对物体的摩擦力的大小为f，对物体受力分析可知，f的方向沿斜面向上，根据平衡条件可得，F＋mgsin 30°＝f，由于F的大小不确定，故B选项不正确，选B选项．]
5．弹性轻绳的一端固定在O点，另一端拴一个物体，物体静止在水平地面上的B点，并对水平地面有压力，O点的正下方A处有一垂直于纸面的光滑杆，如图所示，OA为弹性轻绳的自然长度，现在用水平力使物体沿水平面运动，在这一过程中，物体所受水平面的摩擦力的大小的变化情况是( )
A．先变大后变小
B．先变小后变大
C．保持不变
D．条件不够充分，无法确定
C [假设弹性轻绳和水平方向夹角为θ，lAB＝x，则弹性轻绳的伸长量为，弹性绳的弹力T＝，对物体进行受力分析，竖直方向Tsin θ＋N＝mg，得N＝mg－Tsin θ，物体沿水平面运动过程摩擦力为滑动摩擦力，f＝μN＝μmg－μTsin θ＝μmg－μkx，滑动摩擦力和夹角无关，故选C选项．]
6．如图所示，轻弹簧的一端与物块P相连，另一端固定在木板上．先将木板水平放置，并使轻弹簧处于拉伸状态．缓慢抬起木板的右端，使倾角逐渐增大，直至物块P刚要沿木板向下滑动，在这个过程中，物块P所受静摩擦力的大小变化情况是( )
A．先减小后增大 B．先增大后减小
C．一直增大 D．保持不变
A [设轻弹簧对物块P的弹力大小始终为F，物块P的质量为m，木板的倾角为θ，在缓慢抬起木板右端的过程中，对物块P受力分析并根据平衡条件可知，当sin θ＜时，物块P所受静摩擦力方向沿木板表面向下，其大小f＝F－mgsin θ，f会随着θ的增大而减小；当sin θ＝时，f＝0；当sin θ＞时，物块P所受静摩擦力方向沿木板表面向上，其大小f＝mgsin θ－F，f会随着θ的增大而增大．综上分析，f会先减小后增大，故A选项正确．]
7．如图所示，倾角为θ的斜面体C置于水平面上，B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与A相连接，连接B的一段细绳与斜面平行，A、B、C都处于静止状态．则( )
A．物块B、C间的摩擦力可能为零
B．斜面体C受到水平面对它的摩擦力一定为零
C．水平面对C的支持力与B、C的总重力大小相等
D．不论B、C间摩擦力的大小、方向如何，水平面对C的摩擦力方向一定向左
AD [如果A的重力恰好等于B的重力沿斜面向下的分力，则B、C间的摩擦力为零，故A选项正确；把B、C视为一个整体，整体受四个力的作用而处于平衡状态，即重力，水平面的弹力，细绳斜向右上方的拉力，水平面对C水平向左的摩擦力，根据正交分解法，水平面对C的支持力小于B、C的总重力，故B、C选项错误，D选项正确．]
8．如图所示，三条绳子的一端都系在细直杆顶端，另一端都固定在水平地面上，将杆竖直紧压在地面上，若三条绳长度不同．下列说法正确的有( )
A．三条绳中的张力都相等
B．杆对地面的压力大于自身重力
C．绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零
D．绳子拉力的合力与杆的重力是一对平衡力
BC [杆静止在水平地面上，则杆受到重力、三条绳子的拉力和地面对它的支持力．根据平衡条件，则三条绳的拉力的合力竖直向下，故绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零．杆对地面的压力大小等于杆的重力与三条绳的拉力的合力之和，选项B、C正确．由于三条绳长度不同，即三条绳与竖直方向的夹角不同，所以三条绳上的张力不相等，选项A错误．绳子拉力的合力与杆的重力方向相同，因此两者不是一对平衡力，选项D错误．]
9．如图所示，两相同轻质硬杆OO1、OO2可绕其两端垂直纸面的水平轴O、O1、O2转动，在O点悬挂一重物M，将两相同木块m紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止．f表示木块与挡板间摩擦力的大小，N表示木块与挡板间正压力的大小．若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止，且O1、O2始终等高，则( )
A．f变小 B．f不变
C．N变小 D．N变大
BD [以两个木块m和重物M整体作为研究对象，在竖直方向上，f＝g，与挡板间的距离无关，A错误，B正确；如图所示，以轴O点为研究对象，杆对轴O的作用力为F＝，再以木块m为研究对象，挡板对木块的正压力N＝F′sin θ＝Fsin θ＝，当挡板间的距离稍许增大时，θ增大，N增大，C错误，D正确．]
二、非选择题(本题共3小题，共46分)
10．(15分)如图所示，小球被轻质细绳系住斜吊着放在固定的光滑斜面上，设小球质量m＝1 kg，斜面倾角α＝30°，细绳与竖直方向夹角θ＝30°.求细绳对小球拉力的大小．(g取10 m/s2)
[解析] 以小球为研究对象，受力分析如图所示．
F＝mg，Tcos 30°＝F
解得T＝＝ N＝N.
[答案] N
11．(15分)如图所示，用绳AC和BC吊起一重物，绳与竖直方向的夹角分别为30°和60°，AC绳能承受的最大拉力为150 N，而BC绳能承受的最大拉力为100 N，求重物的最大重力不能超过多少？
[解析] 重物静止，根据共点力平衡可得
TACsin 30°＝TBCsin 60°
TACcos 30°＋TBCcos 60°＝G
由以上两式可得，当TBC＝100 N时，TAC＝173.2 N＞150 N
而当TAC＝150 N时，TBC＝86.6 N＜100 N
将TAC＝150 N，TBC＝86.6 N代入平衡方程解得G＝173.2 N
所以重物的最大重力不能超过173.2 N.
[答案] 173.2 N
12．(16分)如图所示，三个物块重均为100 N，叠放于水平桌面上；小球P重20 N，挂在c绳下端，a绳一端系在物块3上，b绳一端系在水平天花板上，现用水平向左的拉力F＝20 N作用在物块2上，整个系统处于静止状态时，a绳水平，b绳与水平方向成45°角．求：
(1)a、b绳中的拉力大小；
(2)1与2间，2与3间，3与桌面间的摩擦力的大小．
[解析] (1)对绳子的连接点受力分析，其受到三根绳子的三个拉力，如图所示．
根据平衡条件，有x方向：T2cos 45°＝T1
y方向：T2sin 45°＝mg
解得T1＝mg＝20 N，
T2＝mg＝20 N
故a绳中的拉力为20 N，b绳中的拉力为20 N.
(2)对物块1受力分析，其受重力和支持力，假如物块1受水平方向的摩擦力，则其不能保持平衡，故物块1与物块2间的摩擦力为0；对物块1和物块2整体研究，整体受重力、支持力、向左的拉力F和向右的静摩擦力f23，根据平衡条件得：f23＝F＝20 N；对物块1、2、3整体受力分析，整体受重力、支持力、向左的拉力F、绳a的拉力T1，由于拉力F和绳a的拉力T1等大反向，故桌面与物块3的摩擦力为0.即1与2间摩擦力为0,2与3间摩擦力为20 N,3与桌面间摩擦力为0.
[答案] (1)20 N 20 N
(2)0 20 N 0
