[体系构建]
[核心速填]
1．力的合成与分解
(1)遵守定则：平行四边形定则或三角形定则．
(2)两个共点力的合力范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
2．共点力的平衡
(1)平衡状态：物体保持静止或匀速直线运动状态．
(2)共点力的平衡条件：F合＝0.
力的合成与分解思维方法的应用
根据已知力分析未知力的大小，其分析步骤如下：
1．确定研究对象．
2．对研究对象进行受力分析．
3．当物体受到的力不超过三个时，一般采用力的合成和分解法：
(1)确定要合成和分解的力．
(2)根据平行四边形定则作出合力或分力．
(3)根据数学知识计算合力或分力．
4．当物体受到的力超过三个时，一般采用正交分解法：
(1)建立直角坐标系，使尽可能多的力落在坐标轴上．
(2)将各力正交分解在坐标轴上．
(3)沿坐标轴方向根据平衡条件列方程．
【例1】 (多选)如图所示，重物的质量为m，轻细绳AO和BO的A端、B端是固定的．平衡时AO是水平的，BO与水平方向的夹角为θ.AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是( )
A．F1＝mgcos θ B．F1＝mgcot θ
C．F2＝mgsin θ D．F2＝
BD [方法一：合成法
由平行四边形定则，作出F1、F2的合力F12，如图甲所示，又考虑到F12＝mg，解直角三角形得F1＝mgcot θ，F2＝，故选项B、D正确．
方法二：分解法
F2共产生两个作用效果，一个是水平方向沿A→O拉绳子AO，另一个是拉着竖直方向的绳子．如图乙所示，将F2分解在这两个方向上，结合力的平衡等知识得：
F1＝F′2＝mgcot θ，F2＝＝，故选项B、D正确．]
[一语通关]
力的合成与分解都遵从平行四边形定则(或三角形定则)，计算时要先根据要求按照力的平行四边形定则作出力的合成或力的分解的示意图，再根据数学知识解三角形，主要是求解直角三角形．
1．水平横梁一端插在墙壁内，另一端装小滑轮B.一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，如图所示，则滑轮受到绳子的作用力为(g取10 N/kg)( )
A．50 N B．50 N C．100 N D．100 N
C [
以滑轮为研究对象，悬挂重物的绳的拉力是F＝mg＝100 N，故小滑轮受到绳的作用力沿BC、BD方向，大小都是100 N．从图中看出，∠CBD＝120°，∠CBE＝∠DBE，得∠CBE＝∠DBE＝60°，即△CBE是等边三角形，故F合＝100 N．]
整体法与隔离法在平衡中的应用
在实际问题中，常常会碰到几个连接在一起的物体在外力作用下运动，需要求解它们所受的外力或它们之间的相互作用力，这类问题被称为连接体问题．与求解单一物体的力学问题相比较，连接体问题要复杂得多．有相同加速度的连接体问题是比较简单的，目前我们只限于讨论这类问题．连接体问题常见的求解方法有两个，即整体法和隔离法．
1．整体法：以几个物体构成的系统为研究对象进行求解的方法．在许多问题中用整体法比较方便，但整体法不能求解系统的内力．
2．隔离法：把系统分成若干部分并隔离开来，分别以每一部分为研究对象进行受力分析，分别列出方程，再联立求解的方法．
3．选用原则：通常在分析外力对系统的作用时，用整体法；在分析系统内各物体之间的相互作用时，用隔离法．有时在解答同一个问题时要多次选取研究对象，需要整体法与隔离法交替使用．
【例2】 在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态．现对B加一竖直向下的力F，F的作用线通过球心，设墙对B的作用力为F1，A对B的作用力为F2，地面对A的作用力为F3.若F缓慢增大而整个装置仍保持静止，截面如图所示，在此过程中( )
A．F1保持不变，F3缓慢增大
B．F1缓慢增大，F3保持不变
C．F2缓慢增大，F3缓慢增大
D．F2缓慢增大，F3保持不变
C [A、B始终保持静止，对B进行受力分析，如图甲所示，设A、B圆心连线与竖直方向夹角为α，由F2sin α＝F1，F2cos α＝F＋GB可得，当F增大时，F2增大，F1也增大．
甲 乙
将A、B看成整体，进行受力分析如图乙所示，设地面对A的支持力为N，对A的摩擦力为f，则由整体平衡得GA＋GB＋F＝N，且f＝F1，由此可知，当F增大时，N、f均增大，N与f的合力F3也增大．所以只有选项C正确，A、B、D均错误．]
[一语通关]
整体法和隔离法有时要交叉使用，但必须使用力的相互作用原理才能从整体法过渡到隔离法．
2．如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为( )
A．∶4 B．4∶ C．1∶2 D．2∶1
D [
以两球和弹簧B为整体作为研究对象，整体受重力G、轻弹簧A的弹力FA和轻弹簧C的弹力FC三个力的作用．如图所示，根据平衡条件可知，水平方向上有FAsin 30°＝FC，在竖直方向有FAcos 30°＝G，又根据胡克定律可知
FA＝kxA，FC＝kxC
联立解得＝，选项D正确．]
平衡中的动态分析问题
该类问题具有一定的综合性和求解的灵活性，分析处理物体动态平衡常用的方法有：矢量图解法、函数法、整体与隔离法、相似三角形法等．一般来说，对于静力学动态问题，优先采用“矢量图解法”，将某一力据其作用效果分解，构建示意图，将各力之间的依赖、制约关系直观形象地体现出来，达到简捷迅速的判断目的．
【例3】 如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点．现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力N以及绳对小球的拉力T的变化情况是( )
A．N保持不变，T不断增大
B．N不断增大，T不断减小
C．N保持不变，T先增大后减小
D．N不断增大，T先减小后增大
D [推动斜面体时，小球始终处于平衡状态，根据共点力的平衡条件解决问题．选小球为研究对象，其受力情况如图所示，用平行四边形定则作出相应的“力三角形OAB”，其中OA的大小、方向均不变，AB的方向不变，推动斜面体时，T逐渐趋于水平，OB绕O点向下转动，根据动态平衡，T先减小后增大，N不断增大，选项D正确．
]
[一语通关]
(1)解析法是对研究对象的任一状态进行了受力分析，建立平衡方程，求出因变量与自变量的一般函数式，然后依据自变量的变化确定因变量的变化．
(2)解决动态平衡问题的常用方法是“矢量图解法”，利用矢量图解法分析动态平衡问题的基本程序是：对研究对象在动态变化过程中的若干状态进行受力分析→依据某一参量的变化(一般为某一角度)，在同一图中作出物体在若干状态下的受力平衡图(力的平行四边形或力的三角形)→由动态的力的平行四边形或三角形的边的长度及方向变化，判断某力的大小及方向的变化情况．
3．如图所示，用与竖直方向成θ角(θ＜45°)的倾斜轻绳a和水平轻绳b共同固定一个小球，这时轻绳b的拉力为F1，现保持小球在原位置不动，使轻绳b在原竖直平面内逆时针转过θ角固定，轻绳b的拉力为F2，再逆时针转过θ角固定，轻绳b的拉力为F3，则( )
A．F1＝F3＞F2
B．F1＜F2＜F3
C．F1＝F3＜F2
D．轻绳a的拉力增大
A [
轻绳b处在三个不同位置时，小球均处于平衡状态；对小球受力分析并根据平衡条件可知，它受到的三个力可以构成矢量三角形，如图所示，根据几何关系可知，F2垂直于轻绳a对小球的拉力T，所以F1＝F3＞F2，而轻绳a的拉力T逐渐减小，故A选项正确．]
平衡状态下的临界与极值问题
1．临界问题：当某物理量发生变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”．处理这类问题的最有效方法是假设推理法，也就是先假设，再根据平衡条件及有关知识列平衡方程，最后求解．
2．极值问题：也就是指平衡问题中，力在变化过程中的最大值和最小值问题．
3．解决这类问题常用以下两种方法：
(1)解析法：根据物体的平衡条件列方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值．
(2)图解法：根据物体的平衡条件作出物体的受力分析图，画出平行四边形或矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值．
【例4】 如图所示，物体的质量为2 kg，两根轻细绳AB和AC一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平成θ＝60°的拉力，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围．
[解析] 方法一：极限分析方法
(1)假设AC绳刚好伸直且FAC＝0，则
Fsin θ＝mg?F＝＝mg
若力F小于上述值，则AC绳弯曲，所以F≥mg.
(2)假设AB绳刚好伸直且FAB＝0，则
Fsin θ＝mg?F＝＝mg
若力F大于上述值，则AB绳弯曲，所以F≤mg
因此力F的范围是：mg≤F≤mg.
方法二：数学解法
作出A受力图如图所示，由平衡条件有：
Fcos θ－F2－F1cos θ＝0
Fsin θ＋F1sin θ－mg＝0
要使两绳都能绷直，则有
F1≥0，F2≥0
由以上各式可解得F的取值范围为：
mg≤F≤mg.
[答案] mg≤F≤mg
[一语通关]
处理临界与极值问题的关键是正确分析物体所处临界状态的受力情况，准确找出临界条件，结合平衡条件列方程求极值．
4.如图所示，物体甲的质量为m1，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与放置在水平面上的质量为m2的物体乙相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲、乙均处于静止状态．已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．求：
(1)轻绳OA、OB受到的拉力分别是多大？
(2)物体乙受到的摩擦力是多大？方向如何？
(3)若物体乙的质量m2＝4 kg，物体乙与水平面之间的动摩擦因数为μ＝0.3，欲使物体乙在水平面上不滑动，物体甲的质量m1最大不能超过多少？
[解析] 按力的作用效果进行分解，如图所示．
(1)TOA＝＝m1g
TOB＝m1gtan θ＝m1g.
(2)f＝TOB＝m1g，方向水平向左．
(3)fmax＝μm2g＝0.3×4×10 N＝12 N
当TOB＝m1g＝fmax＝12 N时，m1＝1.6 kg，即物体甲的质量m1最大不能超过1.6 kg.
[答案] (1)m1g m1g
(2)m1g 方向水平向左
(3)1.6 kg
课件42张PPT。第5章 力与平衡章末复习课234平行四边形 三角形 |F1－F2| F1＋F2 静止 匀速直线运动 F合＝0 56力的合成与分解思维方法的应用 789101112131415整体法与隔离法在平衡中的应用 1617181920212223平衡中的动态分析问题 24252627282930平衡状态下的临界与极值问题 3132333435363738394041Thank you for watching !章末综合测评(四)
(时间：95分钟 分值：100分)
一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，第1～6题只有一项符合题目要求，第7～10题有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．在做“验证力的平行四边形定则”实验中采用的科学方法是( )
A．理想实验法 B．等效替代法
C．控制变量法 D．建立物理模型法
B [本实验中，两个弹簧测力计的拉力可以把橡皮条的结点拉到O位置，只用一个弹簧测力计同样能把橡皮条的结点拉到同一位置O，两个弹簧测力计的拉力效果与一个弹簧测力计的拉力效果相同，两个弹簧测力计的拉力与一个弹簧测力计的拉力可以相互替代. 因此本实验中采用的科学方法为等效替代法．]
2．若一个物体处于平衡状态，则此物体一定是( )
A．静止
B．做匀速直线运动
C．速度均匀变化
D．所受共点力的合力为零
D [平衡状态包括静止状态和匀速直线运动状态，A、B错误；若物体处于平衡状态，则物体所受共点力的合力为零，D正确；处于平衡状态的物体加速度等于零，而C项中速度均匀变化，说明有恒定的加速度，故C错误．]
3.物块受向上偏右的拉力作用而做向右的匀速直线运动，如图所示，则物块所受拉力与摩擦力的合力的方向为( )
A．向右偏上 B．向上偏左
C．竖直向上 D．竖直向下
C [对物块受力分析知，受竖直向下的重力mg、竖直向上的弹力N、斜向上的拉力F、水平向左的摩擦力f，物块匀速，处于平衡态，则有F沿水平方向的分力与f相等，故合力等于F沿竖直方向的分力，故选C项．]
4．体育器材室里，篮球摆放在如图所示的球架上．已知球架的宽度为d，每只篮球的质量为m、直径为D，不计球与球架之间摩擦，则每只篮球对一侧球架的压力大小为( )
A．mg B． C． D．
C [以任意一只篮球为研究对象．分析受力情况，设球架对篮球的支持力N与竖直方向的夹角为α.
由几何知识得：
cos α＝
＝
根据平衡条件得：2Ncos α＝mg
解得：N＝
则得篮球对球架的压力大小为：
N′＝N＝.故选C.]
5．如图所示的四脚支架经常使用在架设高压线路、通信的基站塔台等领域．现有一质量为m的四脚支架置于水平地面上，其四根铁质支架等长，与竖直方向均成θ角，重力加速度为g，则地面对每根支架的作用力大小为( )
A． B． C．mgtan θ D.mg
B [由结构的对称性可知，四根支架的作用力大小相同，与竖直方向的夹角均为θ，根据力的合成与分解知识可得4Fcos θ＝mg，解得F＝，B正确．]
6．如图所示，100个大小相同、质量均为m且光滑的小球，静止放置于两个相互垂直且光滑的平面上．平面AB与水平面的夹角为30°.则第2个小球对第3个小球的作用力大小为( )
A． B．48mg
C．49mg D．98mg
C [以第3个到第100个这98个小球的整体为研究对象，这个整体受到三个力的作用，即重力、斜面的支持力和第2个小球对第3个小球的作用力，由于整体处于平衡状态，那么沿斜面方向的受力应平衡，所以有F23＝98mgsin 30°＝49mg，故C选项正确．]
7．如图所示，竖直放置的轻弹簧一端固定在地面上，另一端与斜面体P连接，P的斜面与固定挡板MN接触且处于静止状态，则斜面体P此刻所受的外力个数有可能为( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
AC [对物体受力分析如图甲所示．N＝G时，物体受力可以平衡，故P可能受2个力的作用．NG时，物体会受到挡板MN的弹力F和摩擦力f，受力分析如图乙所示，故P可能受4个力的作用，A、C正确．
甲 乙]
8．如图所示，质量为m的物体在沿斜面向上的拉力F作用下沿放在水平地面上的质量为M的粗糙斜面匀速下滑．此过程中斜面体保持静止，则地面对斜面 ( )
A．无摩擦力
B．有水平向左的摩擦力
C．支持力为(M＋m)g
D．支持力小于(M＋m)g
BD [用整体法易知：地面对斜面有向左的摩擦力，大小等于F在水平方向的分力；F在竖直方向有向上的分力，故支持力小于(M＋m)g，B、D正确．]
9．如图所示，A、B质量分别为mA和mB，叠放在倾角为θ的斜面上以相同的速度匀速下滑，则( )
A．A、B间无摩擦力作用
B．B受到的滑动摩擦力大小为(mA＋mB)gsin θ
C．B受到的静摩擦力大小为mAgsin θ
D．取下A物体后，B物体仍能匀速下滑
BCD [将A、B看成整体，则(mA＋mB)gsin θ＝f，N＝(mA＋mB)·gcos θ，又f＝μN，得μ＝tan θ.对A隔离，A受静摩擦力，fA＝mAgsin θ.A对B的静摩擦力也等于mAgsin θ，方向沿斜面向下．取下A物体后，B物体受到支持力NB＝mBgcos θ，摩擦力fB＝μNB＝mBgcos θtan θ＝mBgsin θ，故B仍能匀速下滑．]
10．如图所示是骨折病人的牵引装置示意图，绳的一端固定，绕过定滑轮和动滑轮后挂着一个重物，与动滑轮相连的帆布带拉着病人的脚，整个装置在同一竖直平面内．为了使脚所受的拉力减小，可采取的方法是( )
A．只增加绳的长度
B．只减小重物的质量
C．只将病人的脚向左移动
D．只将两定滑轮的间距增大
BD [脚所受拉力为两绳的合力，如图所示，合力F＝2Tcos θ
T＝mg
联立解得F＝2mgcos θ，增大θ角或减小重物的质量都会使脚所受的合力减小，因此B、D正确．]
二、非选择题(本题共6小题，共60分，按题目要求作答)
11．(8分)“探究合力与分力的关系”的实验如图甲所示，其中A为固定橡皮条的图钉，P为橡皮条与细绳的结点，用两根互成角度的弹簧测力计把结点P拉到位置O.
甲 乙
(1)从图甲可读得弹簧测力计B的示数为________N.
(2)为了更准确得到合力与分力的关系，要采用力的________(选填“图示”或“示意图”)来表示分力与合力．
(3)图乙中与F1、F2共同作用效果相同的力是________(选填“F”或“F′”)．
(4)图乙中方向一定沿AO方向的力是________(选填“F”或“F′”)．
[解析] (1)弹簧测力计B的示数为3.8 N.
(2)为了更准确得到合力与分力的关系，要采用力的图示来表示分力与合力．
(3)题图乙中与F1、F2共同作用效果相同的力是用一个弹簧测力计把结点P拉到位置O的力F′.
(4)题图乙中方向一定沿AO方向的力是F′，用平行四边形定则求得的合力F与F′有偏差．
[答案] (1)3.8 (2)图示 (3)F′ (4)F′
12．(10分)某同学用如图所示的实验装置来验证“力的平行四边形定则”．弹簧测力计A挂于固定点P，下端用细线挂一重物M.弹簧测力计B的一端用细线系于O点，手持另一端向左拉，使结点O静止在某位置．分别读出弹簧测力计A和B的示数，并在贴于竖直木板的白纸上记录O点的位置和细线的方向．
(1)本实验用的弹簧测力计示数的单位为N，图中A的示数为________N.
(2)下列不必要的实验要求是________(请填写选项前对应的字母)．
A．应测量重物M所受的重力
B．弹簧测力计应在使用前校零
C．细线方向应与木板平面平行
D．改变拉力，进行多次实验，每次都要使结点O静止在同一位置
(3)某次实验中，该同学发现弹簧测力计A的指针稍稍超出量程，请您提出两个解决办法．
①___________________________________________________.
②___________________________________________________.
[解析] (1)由题图知，弹簧测力计A的分度值为0.2 N，示数为3.6 N.
(2)验证力的平行四边形定则，一定要记好合力与两分力的大小与方向，与结点位置无关，D错；M的重力即合力，A对；测量前弹簧测力
计调零才能测量准确，B对；细线与木板平面平行才能保证力在木板平面内，C对．
(3)对O点受力分析如图所示，可见若要减小FOA可调节FOB的大小或方向、减小物重G等．
[答案] (1)3.6 (2)D (3)①减小弹簧测力计B的拉力；②减小重物M的质量(或将A更换成较大量程的弹簧测力计、改变弹簧测力计B拉力的方向等)
13．(10分)如图所示(俯视图)，在水平地面上放一质量为1.0 kg的木块，木块与地面间的动摩擦因数为0.6.在水平方向上对木块同时施加相互垂直的两个拉力F1、F2，已知F1＝3.0 N，F2＝4.0 N，取g＝10 m/s2，则木块受到的摩擦力为多少？若将F2顺时针转90°，此时木块在水平方向上受的合力大小为多少？
[解析] 由平行四边形定则可知，图中F1与F2的合力大小F＝＝5.0 N
若木块滑动时，木块受到的滑动摩擦力大小为F′＝μN＝μmg＝6.0 N
由于F当F2顺时针旋转90°时，F1与F2方向相同，它们的合力大小F′＝F1＋F2＝7.0 N>6.0 N
此时木块运动受滑动摩擦力作用，木块受的合力大小为1.0 N.
[答案] 5.0 N 1.0 N
14．(10分)一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A和B(中央有孔)，A、B间由细绳连接着，它们处于如图所示位置时恰好都能保持静止状态．此情况下，B球与环中心O处于同一水平面上，A、B间的细绳呈伸直状态，且与水平线成30°角．已知B球的质量为3 kg(g取10 N/kg)，求：
(1)细绳对B球的拉力大小；
(2)A球的质量．
[解析] (1)设细绳对B球的拉力为T，对B球受力分析，如图所示，将拉力T在水平方向和竖直方向进行正交分解，根据竖直方向二力平衡有
Tsin 30°＝mBg
则T＝2mBg＝2×3×10 N＝60 N.
(2)对A球受力分析，在水平方向和竖直方向进行正交分解，A球处于静止状态，则在水平方向上有
T′cos 30°＝NAsin 30°
在竖直方向上有
NAcos 30°＝mAg＋T′sin 30°
又T＝T′
解得mA＝6 kg.
[答案] (1)60 N (2)6 kg
15．(11分)所受重力G1＝10 N的砝码悬挂在绳PA和PB的结点上．PA偏离竖直方向30°角，PB在水平方向，且连在所受重力为G2＝20 N的木块上，木块静止于倾角为30°的斜面上，如图所示．试求木块与斜面间的摩擦力和木块所受斜面的弹力．
[解析] 以P点为研究对象进行受力分析，利用力的平衡条件可解得水平绳PB中的张力F＝ N；再以木块为研究对象进行受力分析，如图所示，运用正交分解法，力的平衡方程为
x方向：Fcos 30°＋G2sin 30°＝f，
y方向：Fsin 30°＋N＝G2cos 30°，
解得f＝15 N，N＝ N，
故木块与斜面间的摩擦力和木块所受斜面的弹力分别为15 N、 N.
[答案] 15 N N
16．(11分)如图所示，斜面与水平面间的夹角为37°，物体A的质量为2 kg，与斜面间的动摩擦因数为0.4，求：
(1)A受到斜面的支持力多大？
(2)若要使A在斜面上静止，求物体B质量的最大值和最小值．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
[解析] (1)对A进行受力分析，如图所示，将重力沿平行于斜面和垂直于斜面方向分解，则在垂直于斜面方向由平衡条件知
N＝mAgcos 37°
代入数据可得N＝2×10×0.8 N＝16 N
所以A受到斜面的支持力为16 N.
(2)根据题意，A与斜面之间的最大静摩擦力fmax＝f滑＝μN＝0.4×16 N＝6.4 N
A受到的静摩擦力可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下．
当A受到的摩擦力等于最大静摩擦力且方向沿斜面向上时，根据共点力的平衡条件有T1＋fmax＝mAgsin 37°
此时拉力T1最小，代入数据得T1＝mAgsin 37°－fmax＝5.6 N
当A受到的摩擦力等于最大静摩擦力且方向沿斜面向下时，根据共点力的平衡条件有T2＝fmax＋mAgsin 37°
此时拉力T2最大，代入数据得T2＝18.4 N
同时B也处于平衡状态，由受力分析有T＝mBg
所以B质量的最小值为mB1＝＝0.56 kg
B质量的最大值为mB2＝＝1.84 kg.
[答案] (1)16 N (2)1.84 kg 0.56 kg
