第1节 力的合成
学 习 目 标
知 识 脉 络
1．知道共点力、力的合成、合力、分力的概念．
2．理解力的平行四边形定则，知道它是矢量运算的普遍法则．(重点、难点)
3．掌握求合力的方法，知道合力的大小与原来两个共点力之间夹角的关系，会用直角三角形知识计算共点力的合力．(重点)
一、共点力的合成
1．共点力：如果几个力同时作用在物体上的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，我们就把这几个力叫作共点力．
2．合力：几个共点力共同作用所产生的效果可以用一个力来代替，这个力叫作那几个力的合力．
3．力的合成：求几个力的合力叫作力的合成．
二、共点力合成的平行四边形定则
1．平行四边形定则：
两个共点力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线表示合力的大小和方向，如图所示．
2．多个力的合成方法：先求出任意两个力的合力，再求出这个合力与第三个力的合力，直到把所有外力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)作用在同一物体上的几个力一定是共点力． (×)
(2)两个共点力共同作用的效果与其合力作用的效果相同． (√)
(3)合力与分力是同时作用在物体上的力． (×)
(4)两个力的合力一定大于其中任意一个分力． (×)
(5)合力与分力是一对平衡力． (×)
(6)多个共点力求合力时平行四边形定则也适用． (√)
2．下列说法正确的是( )
A．两个共点力共同作用的效果与其合力单独作用的效果相同
B．合力作用的效果与物体受到的每一个力的作用效果都相同
C．把物体受到的几个力的合力求出后，则物体只受一个力
D．性质不同的力可以合成，作用在不同物体上的力也可以合成
A [几个力共同作用的效果与某一个力单独作用的效果相同，这一个力叫作那几个力的合力，所以A正确，B错误；合力和它的分力是力的作用效果上的一种等效替代关系，而不是力的本质上的替代，故C错误；进行合成的几个力，性质可以相同，也可以不同，但必须是作用在一个物体上的共点力，故D错误．]
3．两个共点力的大小均为10 N，如果要使这两个力的合力大小也是10 N，则这两个共点力间的夹角应为( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
D [对于两个夹角为120°的等大的共点力而言，其合力大小与分力相等，并且合力与两分力的夹角均为60°.反之，当两个分力大小与合力大小相等时，可推知两分力之间的夹角为120°，故选D.]
共点力的合成
1．合力与分力的关系
(1)等效性：合力的作用效果与分力的共同作用效果相同，它们在效果上可以相互替代．
(2)同体性：各个分力是作用在同一物体上的．分力与合力对应同一物体，作用在不同物体上的力不能求合力．
(3)瞬时性：各个分力与合力具有瞬时对应关系，某个分力变化了，合力也同时发生变化．
2．合力与分力的大小关系
(1)两力同向时合力最大：F＝F1＋F2，方向与两力同向．
(2)两力反向时合力最小：F＝|F1－F2|，方向与其中较大的力同向．
(3)两力夹角为θ时，如图所示，合力随θ的增大而减小，合力大小的范围是：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
【例1】 (多选)大小不变的两个共点力F1与F2，其合力为F，则( )
A．合力F一定大于任一分力
B．合力大小既可等于F1，也可等于F2
C．合力有可能大于任何一个分力
D．合力F的大小随F1、F2之间夹角的增大而减小
BCD [本题中虽然两个分力大小一定，但其夹角未知，我们可以取一些特殊值来分析．当θ＝0°时，合力最大Fmax＝F1＋F2，当F1、F2夹角为180°时，合力最小Fmin＝|F1－F2|，因此合力F大小变化范围为|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，若取F1＝2 N，F2＝3 N，则1 N≤F合≤5 N，故应排除A项，同时确定C项正确．对B项，由合力变化范围可知正确．对D项，当F1与F2之间夹角最小为零时，合力最大；当F1与F2之间夹角最大为180°时，合力最小，合力随着F1与F2之间夹角的增大而减小，故正确答案为B、C、D.]
理解合力与分力的三个特性
等效性相互替代关系
瞬时性瞬时对应关系
同体性受力物体相同
1．(多选)如图所示，一木棒用两根绳子拴住悬挂在空中，则下列说法正确的是( )
A．木棒受G、F1、F2三个力作用
B．木棒受G、F1、F2和合力F(F1与F2的合力)四个力作用
C．因为F1、F2不是作用在棒的重心上，所以F1、F2、G不是共点力
D．因为F1、F2、G三个力的作用线相交于一点，所以F1、F2、G是共点力
AD [对木棒进行受力分析，木棒受重力G、两根绳子的拉力F1、F2三个力作用，故A正确；F1、F2是物体实际受到的力，而它们的合力F只是与F1、F2在作用效果上相等，合力F并不是物体实际受到的力，故B错误；共点力的定义明确指出一个物体受到的力作用于物体上的同一点或者它们的作用线交于一点，这样的一组力叫作共点力，F1、F2、G三个力的作用线相交于一点，所以F1、F2、G是共点力，故C错误，D正确．]
2．(多选)两个力F1和F2间的夹角为θ，两个力的合力为F，以下说法正确的是( )
A．若F1和F2的大小不变，θ越小，合力F就越大
B．若F1和F2的大小不变，θ越大，合力F就越大
C．合力F总比分力F1和F2中的任何一个都大
D．合力F可能比分力F1和F2中的任何一个都小
AD [当两分力大小不变时，两分力间夹角减小，合力F就增大，夹角增大时，合力F将减小，选项A对，B错；根据平行四边形中对角线与两邻边的长短关系可知选项C错，D对．]
共点力合成的平行四边形定则
1．作图法
作图法就是用作图工具根据平行四边形定则作出以两分力为邻边的平行四边形．具体操作流程如下：
2．计算法
可以根据平行四边形定则作出示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力．以下为求合力的三种常见情况：
类型
作图
合力的计算
互相垂直
F＝
tan θ＝
θ＝arctan
两力等大，
夹角为θ
F＝2F1cos
F与F1夹角为
两力等大
且夹角为
120°
合力与分力等大，
合力与任一分力
夹角为60°
【例2】 在蒸汽机发明以前，大运河中逆水行船经常用纤夫来拉船，其情景如图所示．假设河两岸每边10个人，每个人沿绳方向的拉力为600 N，绳与河岸方向的夹角为30°，试用作图法和计算法分别求出船受到的拉力．
思路点拨：①用“作图法”时，物体受到的各个力要选定统一的标度，比例适当．
②用“计算法”时，要注意利用三角形知识求解合力的大小和方向．
[解析] (1)作图法：如图甲所示，自O点引两条有向线段OA和OB，相互间夹角为60°，设每单位长度表示2 000 N，则OA和OB的长度都是3个单位长度，作出平行四边形OACB，其对角线OC就表示绳的拉力F1、F2的合力F.量得OC长5.2个单位长度，故合力F＝5.2×2 000 N＝10 400 N．用量角器量得∠AOC＝∠BOC＝30°，所以合力沿河岸方向．
甲 乙
(2)计算法：先作出力的平行四边形如图乙所示，由于两力F1、F2大小相等，故得到的平行四边形是一个菱形．由几何关系易得合力F＝2F1cos 30°＝6 000 N≈10 400 N，方向沿河岸方向．
[答案] 见解析
作图法与计算法的比较
(1)作图法的优点是形象直观，缺点是不够精确．作图时应注意采用统一的标度，标出箭头且实线、虚线要分明．
(2)计算法的优点是精确．应用计算法时先用平行四边形定则作图，再通过数学知识计算出合力．作图时，尽量通过添加辅助线得到一些特殊的三角形，这样便于计算．
(3)计算法求合力时常用到的几何知识．
①应用直角三角形中的边角关系求解，用于平行四边形的两边垂直或平行四边形的对角线垂直的情况；
②应用等边三角形的特点求解；
③应用相似三角形的知识求解，用于力的矢量三角形与实际三角形相似的情况．
3．两个共点力的大小分别为F1和F2，作用于物体的同一点．两力同向时，合力为A，两力反向时，合力为B，当两力互相垂直时，合力为( )
A． B．
C． D．
B [设两力为F1、F2，且F1＞F2，由题意知F1＋F2＝A，F1－F2＝B，故F1＝，F2＝.当两力互相垂直时，合力F＝＝＝.]
4．物体受到两个力F1和F2的作用，F1＝18 N，方向水平向右；F2＝24 N，方向竖直向上．求这两个力的合力F.(试用作图法和计算法两种方法)
[解析] 方法一：作图法．取单位长度为6 N的力，则分别取3个单位长度、4个单位长度，自O点引两条有向线段OF1和OF2，且使OF1⊥OF2.以OF1和OF2为两个邻边，作平行四边形如图所示，则对角线OF就是所要求的合力F.量出对角线的长度为5个单位长度，则合力的大小F＝5×6 N＝30 N，用量角器量出合力F与分力F1的夹角θ为53°，即合力F的方向向右偏上53°.
方法二：计算法．实际上是先运用数学知识，再回到物理情景．在如图所示的平行四边形中，△OFF1为直角三角形，根据直角三角形的几何关系，可以求得斜边OF的长度和OF与OF1的夹角，将其转化为物理问题，就可以求出合力F的大小和方向．
则F＝＝30 N，
tan θ＝＝，所以θ为53°，即向右偏上53°.
[答案] 见解析
1．(多选)关于F1、F2及它们的合力F，下列说法正确的是( )
A．合力F一定与F1、F2共同作用产生的效果相同
B．两力F1、F2一定是同种性质的力
C．两力F1、F2一定是同一物体受到的力
D．两力F1、F2与F是物体同时受到的三个力
AC [只有同一个物体受到的力才能合成，分别作用在不同物体上的力不能合成，C正确；合力是对原来几个分力的等效替代，各分力可以是不同性质的力，合力与分力不能同时存在，A正确，B、D错误．]
2．两个共点力F1和F2的合力大小为6 N，则F1与F2的大小可能是( )
A．F1＝2 N，F2＝9 N
B．F1＝4 N，F2＝8 N
C．F1＝1 N，F2＝8 N
D．F1＝2 N，F2＝1 N
B [两力合成时，合力范围为：|F1－F2|≤F≤F1＋F2，A中合力为7 N≤F≤11 N，B中合力为4 N≤F≤12 N，C中的合力为7 N≤F≤9 N，D中的合力为1 N≤F≤3 N，故B正确．]
3．如图所示，欲借助汽车的力量，将光滑凹槽中的铁球缓慢拉出，随着汽车对铁球的作用力越来越大，凹槽对球的弹力( )
A．始终水平向左，越来越大
B．始终竖直向上，越来越大
C．斜向左上方，越来越大
D．斜向左上方，大小不变
C [汽车缓慢拉铁球时，铁球受力如图所示，
所以凹槽对铁球的弹力指向左上方，且N＝，随汽车拉力的增大而增大．选项C正确．]
4．如图所示，两个人共同用力将一个牌匾拉上墙头．其中一人用了450 N的拉力，另一个人用了600 N的拉力，如果这两个人所用拉力的夹角是90°，求它们的合力．(试用计算法和作图法)
[解析] 方法一：作图法
用图示中的线段表示150 N的力．用一个点O代表牌匾，依题意作出力的平行四边形，如图所示，用刻度尺量出平行四边形的对角线长为图示线段的5倍，故合力大小为F＝150×5 N＝750 N，用量角器量出合力F与F1的夹角θ＝53°.
方法二：计算法
设F1＝450 N，F2＝600 N，合力为F.
由于F1与F2间的夹角为90°，
根据勾股定理得F＝ N＝750 N，
合力F与F1的夹角θ的正切tan θ＝＝＝.
所以θ＝53°.
[答案] 见解析
课件48张PPT。第5章 力与平衡第1节 力的合成同一点 作用线 效果 合力 平行四边形 对角线 合力 所有外力 × √ × × × √ 共点力的合成 共点力合成的平行四边形定则 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(九)
(时间：40分钟 分值：100分)
[合格基础练]
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．关于共点力，下列说法中不正确的是( )
A．作用在一个物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，这两个力是共点力
B．作用在一个物体上的两个力，如果是一对平衡力，则这两个力是共点力
C．作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用点在同一点上，则这几个力是共点力
D．作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用线交于同一点，则这几个力是共点力
A [共点力是几个力作用于同一点或力的作用线相交于同一点的力．若受两个力平衡的物体，则物体所受的必定是共点力，所以A错，B、C、D对．]
2．有三个力，大小分别为13 N、3 N、29 N．那么这三个力的合力最大值和最小值应该是( )
A．29 N,3 N B．45 N,0 N
C．45 N,13 N D．29 N,13 N
C [当三个力同方向时，合力最大，为45 N；任取其中两个力，如取13 N、3 N两个力，其合力范围为10 N≤F≤16 N，29 N不在该范围之内，故合力不能为零，当13 N、3 N的两个力同向，与29 N的力反向时，合力最小，最小值为13 N，则C正确，A、B、D错误．]
3．作用在一个物体上的两个共点力，大小分别是30 N和40 N，如果它们之间的夹角是90°，那么这两个力的合力大小是( )
A．10 N B．50 N
C．70 N D．1 200 N
B [当两个力的夹角为90°时，由勾股定理得，F合＝＝ N＝50 N．故选B.]
4．下列图中，F1、F2、F3恰好构成封闭的直角三角形，这三个力的合力最大的是( )
A B C D
C [由矢量合成法则可知A图的合力为2F3，B图的合力为0，C图的合力为2F2，D图的合力为2F3，因F2为直角三角形的斜边，故这三个力的合力最大的为C图．]
5.如图所示的水平面上，橡皮绳一端固定，另一端连接两根弹簧，F1、F2和F3三个力的合力为零．下列判断正确的是( )
A．F1>F2>F3
B．F3>F1>F2
C．F2>F3>F1
D．F3>F2>F1
B [三个力的合力为零，即F1、F2的合力F3′与F3等大反向，三力构成的平行四边形如图所示，由数学知识可知F3>F1>F2，B正确．]
6．如图所示，是两个共点力的合力F跟它的两个分力之间的夹角θ的关系图象，则这两个力的大小分别是( )
A．1 N和4 N
B．2 N和3 N
C．1 N和5 N
D．2 N和4 N
B [由图象可知：当两分力的夹角为0°时，合力为5 N，即F1＋F2＝5 N，当两分力的夹角为180°时，合力为1 N，即|F1－F2|＝1 N，由以上二式解得F1＝3 N，F2＝2 N或F1＝2 N，F2＝3 N，故选B.]
二、非选择题(14分)
7.如图所示，有五个力作用于同一点O，表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两邻边和三条对角线．已知F1＝10 N，则这五个力的合力大小为多少？
[解析] 方法一：巧用对角线特性．如图甲所示，根据正六边形的特点及平行四边形定则知：F2与F5的合力恰好与F1重合；F3与F4的合力也恰好与F1重合；故五个力的合力大小为3F1＝30 N.
甲 乙
方法二：利用对称法．如图乙所示，由于对称性，F2和F3的夹角为120°，它们的大小相等，合力在其夹角的平分线上，故力F2和F3的合力F23＝2F2cos 60°＝2(F1cos 60°)cos 60°＝＝5 N．同理，F4和F5的合力也在其角平分线上，由图中几何关系可知：F45＝2F4cos 30°＝2(F1cos 30°)cos 30°＝F1＝15 N．故这五个力的合力F＝F1＋F23＋F45＝30 N.
[答案] 30 N
[等级过关练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．某物体所受n个共点力的合力为零，若把其中一个力F1的方向沿顺时针方向转过90°，并保持其大小不变，其余力保持不变，则此时物体所受的合力大小为 ( )
A．F1 B.F1
C．2F1 D．0
B [物体所受n个力的合力为零，则其中n－1个力的合力一定与剩下来的那个力等大反向，故除F1以外的其他各力的合力的大小也为F1，且与F1反向，故当F1转过90°时，合力应为F1，B正确．]
2．一根细绳能承受的最大拉力是G，现把一重为G的物体系在绳的中点，分别握住绳的两端，先并拢，然后缓慢地左右对称地分开，若要求绳不断，则两绳间的夹角不能超过( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
C [由于细绳是对称分开的，因而两绳的拉力相等，为保证绳不断，两绳拉力的合力大小等于G，随着两绳夹角的增大，两绳中的拉力增大，当两绳的夹角为120°时，绳中拉力刚好等于G.故C正确，A、B、D错误．]
3．(多选)若两个力F1、F2的夹角为α(90°<α<180°)，且α保持不变，则( )
A．一个力增大，合力一定增大
B．两个力都增大，合力一定增大
C．两个力都增大，合力可能减小
D．两个力都增大，合力可能不变
CD [如图所示，保持F1与两力的夹角α不变，当F2增至F2′时，F1和F2的合力F变为F′，由图象可直观看出F>F′，即两分力中一个力增大，合力不一定增大．同理可分析出：两个力都增大，合力可能增大，可能减小，也可能不变，故C、D两项正确．]
4．手握轻杆，杆的另一端安装有一个轻质小滑轮C，支撑着悬挂重物的绳子，如图所示，现保持滑轮C的位置不变，使杆向下转动一个角度，则杆对滑轮C的作用力将( )
A．变大 B．不变
C．变小 D．无法确定
B [物体的重力不变，那么绳子的拉力大小仍然等于物体的重力，保持滑轮C的位置不变，即两段绳子间的夹角不变，所以两绳子拉力的合力不变，轻质滑轮的重力不计，所以两绳子拉力的合力与杆对滑轮C的作用力等大反向，所以杆对滑轮C的作用力不变，故选B.]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(13分)如图所示，一名骑独轮车的杂技演员在空中钢索上表演，如果演员和独轮车的总质量为80 kg，两侧的钢索互成150°夹角，求钢索拉力有多大？(cos 75°＝0.259，g取10 N/kg)
[解析] 设钢索的拉力大小为F，则演员两侧的钢索拉力的合力与演员和独轮车的总重力等大反向．作出拉力与其合力的平行四边形为菱形，如图所示，根据几何知识可知 ＝Fcos 75°
所以拉力F＝＝ N≈1 544 N.
[答案] 1 544 N
6.(13分)如图所示，两根相同的橡皮条OA、OB，开始时夹角为0°，在O点处打结吊一重50 N的物体后，结点O刚好位于圆心．现将A、B分别沿圆周向两边移到A′、B′，使∠AOA′＝∠BOB′＝60°.欲使结点仍为圆心处，则此时结点处应挂多重的物体？
[解析] 根据在原位置时物体静止，求出橡皮条的拉力．由于变化位置后结点位置不变，因此每根橡皮条的拉力大小不变，但是方向变化．设OA、OB并排吊起重物时，橡皮条产生的弹力均为F，则它们产生的合力为2F且与G1平衡，所以F＝＝ N＝25 N．当A′O、B′O夹角为120°时，橡皮条伸长不变，橡皮条产生的弹力仍为25 N，两根橡皮条互成120°角，所以合力的大小为25 N，即应挂的重物重25 N.
[答案] 25 N
