第2节 力的分解
学 习 目 标
知 识 脉 络
1．理解力的分解和分力的概念．
2．理解力的分解是力的合成的逆运算，会用平行四边形定则求分力，会用直角三角形计算分力．(重点)
3．掌握力的正交分解的方法．(重点)
4．会用力的分解分析生产和生活中的实际问题．(难点)
一、分力 力的分解
1．分力：几个力共同作用的效果，若与某一个力的作用效果相同，这几个力即为那个力的分力．
2．力的分解
(1)定义：求一个已知力的分力．
(2)分解法则：平行四边形定则．
(3)力的分解与合成的关系：力的分解是力的合成的逆运算．
(4)力的分解的依据：通常根据力的实际作用效果进行分解．
二、力的正交分解
1．定义：把一个力分解为两个互相垂直的分力的方法，如图所示．
2．公式：F1＝Fcos θ，F2＝Fsin θ.
3．适用：正交分解适用于各种矢量运算．
三、力的分解的应用
当合力一定时，分力的大小和方向将随着分力间夹角的改变而改变．两个分力间的夹角越大，分力就越大．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个力只能分解为一组分力． (×)
(2)力的分解遵循平行四边形定则． (√)
(3)某个分力的大小不可能大于合力． (×)
(4)力的正交分解是指把一个力分解为水平和竖直两个方向互相垂直的分力的方法． (×)
(5)正交分解仅适用于矢量运算． (√)
(6)当物体受多个力作用时，常用正交分解法进行力的运算． (√)
2．(多选)把一个力分解为两个力时，下列说法中正确的是( )
A．一个分力变大时，另一个分力一定要变小
B．两个分力可同时变大、同时变小
C．无论如何分解，两个分力不能同时大于这个力的两倍
D．无论如何分解，两个分力不能同时小于这个力的一半
BD [由于两分力的大小与两分力夹角有关，所以一分力变大，另一个分力可变大，也可变小，故选项A错误，选项B正确；当两个分力夹角很大时，任何一个分力都可能大于合力的两倍，故选项C错误；两个分力若都小于合力的一半，则三个力不能构成一个封闭的三角形，因而两个分力不能同时小于合力的一半，故选项D正确．故选B、D.]
3.倾角为α、质量为M的斜面体静止在水平桌面上，质量为m的木块静止在斜面体上．下列结论正确的是( )
A．木块受到的摩擦力大小是mgcos α
B．木块对斜面体的压力大小是mgsin α
C．桌面对斜面体的摩擦力大小是mgsin αcos α
D．桌面对斜面体的支持力大小是(M＋m)g
D [对m受力分析如图，
由平衡条件可得：沿斜面方向f＝mgsin α，故A错误；垂直于斜面方向N＝mgcos α，可知B错误；对整体受力分析可知，受到重力和地面竖直向上的支持力，由平衡条件可知重力和支持力等大，故C错误，D正确．]
分力 力的分解
1．力的分解原则
(1)一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解．因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图所示)．
(2)把一个力分解成两个分力，仅是一种等效替代关系，不能认为在这两个分力方向有两个施力物体(或受力物体)．
(3)也不能错误地认为F2就是物体对斜面的压力，因为F2不是斜面受到的力，且性质与压力不同，仅在数值上等于物体对斜面的压力．
(4)实际分解时，按力的作用效果可分解为两个确定的分力．
2．按实际效果分解的几个实例
实例
分析
(1)拉力F的效果：
①使物体具有沿水平地面前进(或有前进的趋势)的分力F1
②竖直向上提物体的分力F2
(2)分力大小：F1＝Fcos α，F2＝Fsin α
(1)重力的两个效果：
①使物体具有沿斜面下滑(或有下滑的趋势)的分力F1
②使物体压紧斜面的分力F2
(2)分力大小：F1＝mgsin α，F2＝mgcos α
(1)重力的两个效果：
①使球压紧板的分力F1
②使球压紧斜面的分力F2
(2)分力大小：F1＝mgtan α，
F2＝
(1)重力的两个效果：
①使球压紧竖直墙壁的分力F1
②使球拉紧悬线的分力F2
(2)分力大小：F1＝mgtan α，
F2＝
(1)重力的两个效果：
①对OA的拉力F1
②对OB的拉力F2
(2)分力大小：F1＝mgtan α，F2＝
(1)重力的两个效果：
①拉伸AB的分力F1
②压缩BC的分力F2
(2)分力大小：F1＝mgtan α，F2＝
【例1】 如图所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的小球分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，则两挡板受到小球的压力大小之比为多大？斜面受到两小球的压力大小之比为多大？
思路点拨：
[解析] 对小球1所受的重力来说，其效果有二：第一，使小球沿水平方向挤压挡板；第二，使小球垂直压紧斜面．因此，力的分解如图甲所示，由此可得两个分力的大小分别为F1＝Gtan θ，F2＝.对小球2所受的重力G来说，其效果有二：第一，使小球垂直挤压挡板；第二，使小球垂直压紧斜面．因此，力的分解如图乙所示，由此可得两个分力的大小分别为F3＝Gsin θ，F4＝Gcos θ.由力的相互性可知，挡板A、B受到小球的压力之比为F1∶F3＝1∶cos θ，斜面受到两小球的压力之比为F2∶F4＝1∶cos2θ.
甲 乙
[答案] 1∶cos θ 1∶cos2θ
【例2】 将一个有确定方向的力F＝10 N分解成两个分力，已知一个分力F1有确定的方向，与F成30°夹角，另一个分力F2的大小为6 N，则在分解时( )
A．有无数组解 B．有两组解
C．有唯一解 D．无解
思路点拨：
―→
―→
B [
由已知条件可得Fsin 30°＝5 N，又5 N＜F2＜10 N，即Fsin 30°＜F2＜F，所以F1、F2和F可构成如图所示的两个三角形，故此时有两组解，选项B正确．]
力的分解的原理与步骤
(1)原理：若两个力共同作用的效果与某一个力作用时的效果完全相同，则可用这两个力“替代”这一个力．
(2)步骤
①根据已知力的实际效果确定两个分力的方向．
②根据两个分力的方向作出力的平行四边形，确定表示分力的有向线段．
③利用数学知识解平行四边形或三角形，计算分力的大小和方向．
1．(多选)一根长为L的易断的均匀细绳，两端固定在天花板上的A、B两点．若在细绳的C处悬挂一重物，已知AC＞CB，如图所示，则下列说法中正确的是( )
A．增加重物的重力，BC段先断
B．增加重物的重力，AC段先断
C．将A端往左移比往右移时绳子容易断
D．将A端往右移比往左移时绳子容易断
AC [
研究C点，C点受重物的拉力，其大小等于重物的重力，即T＝G.将重物对C点的拉力分解为对AC和BC两段绳的拉力，其力的平行四边形如图所示．因为AC＞CB，得FBC＞FAC.当增加重物的重力G时，按比例FBC增大得较多，所以BC段绳先断，因此A项正确，而B项错误．将A端往左移时，FBC与FAC两力夹角变大，合力T一定，则两分力FBC与FAC都增大．将A端向右移时两分力夹角变小，两分力也变小，由此可知C项正确，D项错误．故选A、C.]
2．(多选)把一个已知力F分解，要求其中一个分力F1跟F成30°角，而大小未知；另一个分力F2＝F，但方向未知，则F1的大小可能是( )
A．F B．F
C．F D．F
AD [由平行四边形定则可知，把分力F2平行移到对边位置，则分力F1、F2与合力F构成一个三角形，利用三角形知识可方便求解．
因F>F>，由图可知，F1的大小有两个可能值．在Rt△OAF中，＝Fcos 30°＝F.
在Rt△F1AF中，＝＝F.
由对称性可知，＝＝F.则F1＝－＝F；F′1＝＋＝F.故本题正确选项为A、D.]
力的正交分解
1．正交分解的适用情况：适用于计算三个或三个以上共点力的合成．
2．正交分解的目的：将力的合成化简为同向、反向或垂直方向的分力，便于运用普通代数运算公式解决矢量的运算，“分”的目的是为了更好地“合”．
3．力的正交分解的依据：分力与合力的等效性．
4．正交分解的基本步骤
(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力落在坐标轴上．
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示．
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的合力，即：
Fx＝F1x＋F2x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋…
(4)求共点力的合力： 合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝，即α＝arctan .
【例3】 在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
思路点拨：当物体受多个力作用时，一般采用正交分解法求解，可按以下思路：
→→→
[解析] 如图甲，建立直角坐标系，把各个力分解到这两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有
甲
Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N，
Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N.
乙
因此，如图乙所示，合力：
F＝≈38.2 N，tan φ＝＝1．
即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上．
[答案] 38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上
正交分解时坐标系的选取原则与方法
(1)原则：用正交分解法建立坐标系时，通常以共点力作用线的交点为原点，并尽量使较多的力落在坐标轴上，以少分解力为原则．
(2)方法：应用正交分解法时，常按以下方法建立坐标轴．
①研究水平面上的物体时，通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴．
②研究斜面上的物体时，通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐标轴．
③研究物体在杆或绳的作用下转动时，通常沿杆(或绳)方向和垂直杆(或绳)的方向建立坐标轴．
3．如图所示，一物块置于水平地面上，当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动．若F1和F2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为( )
A．－1 B．2－ C．－ D．1－
B [将两种情况下的力沿水平方向和竖直方向正交分解，因为两种情况下物块均做匀速直线运动，故有F1cos 60°＝μ(mg－F1sin 60°)，F2cos 30°＝μ(mg＋F2sin 30°)，再由F1＝F2，解得μ＝2－，故B正确．]
4．大小均为F的三个力共同作用在O点，如图所示，F1、F3与F2之间的夹角均为60°，求它们的合力．
[解析] 以O点为原点、F1的方向为x轴正方向建立直角坐标系．分别把各个力分解到两个坐标轴上，如图所示．
F1x＝F1，F1y＝0，F2x＝F2cos 60°，F2y＝F2sin 60°，F3x＝－F3cos 60°，F3y＝F3sin 60°，x轴和y轴上的合力分别为Fx＝F1x＋F2x＋F3x＝F1＋F2cos 60°－F3cos 60°＝F，Fy＝F1y＋F2y＋F3y＝0＋F2sin 60°＋F3sin 60°＝F，求出Fx和Fy的合力即是所求的三个力的合力，如图所示．
F合＝，代入数据得F合＝2F，tan θ＝＝，所以θ＝60°，即合力F合与F2的方向相同．
[答案] 2F，与F2的方向相同
1．如图所示，用拇指、食指捏住圆规的一个针脚，另一个有铅笔芯的脚支撑在手掌心位置，使OA水平，然后在外端挂上一些不太重的物体，这时针脚A、B对手指和手掌均有作用力，对这两个作用力方向的判断，下列各图中大致正确的( )
A B C D
C [以圆规上的O点为研究对象，O点所挂物体的重力产生两个作用效果：一个是沿AO方向向左拉AO，另一个是沿OB方向斜向下压OB，所以通过圆规两脚作用在手上的力如选项C所示，则C正确，A、B、D错误．]
2．(多选)已知力F＝10 N，把F分解为F1和F2两个分力，已知分力F1与F的夹角为30°，则F2的大小( )
A．一定小于10 N B．可能等于10 N
C．可能大于10 N D．最小等于5 N
BCD [当F2与F1垂直时F2最小，其最小值为Fsin 30°＝5 N，故F2只要大于等于5 N都是可能的，故B、C、D对，A错．]
3.(多选)如图所示，质量为m的物体在恒力F作用下沿天花板做匀速直线运动，物体与天花板间动摩擦因数为μ，则物体受到的摩擦力的大小为( )
A．Fsin θ B．Fcos θ
C．μ(Fsin θ－mg) D．μ(mg－Fsin θ)
BC [先对物体进行受力分析，如图所示，然后对力F进行正交分解．
水平方向分力F1＝Fcos θ
竖直方向分力F2＝Fsin θ
由力的平衡可得
F1＝f，F2＝mg＋N
又由滑动摩擦力公式知f＝μN
将F1和F2代入可得f＝Fcos θ＝μ(Fsin θ－mg)，故正确选项为B、C.]
4.汽车逐渐进入城乡居民的家庭，衡量一辆汽车是否有“劲”的重要指标就是汽缸的数量，一般的家庭轿车有3缸或4缸，汽缸是发动机做功的地方．汽油和空气的混合气在汽缸内点火爆炸产生的动力推动活塞运动，最终使汽车运动，如图所示，活塞受力F＝1 100 N，连杆AB与竖直方向间夹角为α＝30°，这时活塞对连杆AB的推力F1及对汽缸壁的压力F2分别为多大？
[解析] 推力F产生两方面的效果，一是沿杆AB方向推杆，二是使活塞挤压汽缸左壁，所以根据效果将力F分解，如图所示，
F1＝＝F＝ N
F2＝Ftan 30°＝F＝ N.
[答案] N N
课件63张PPT。第5章 力与平衡第2节 力的分解相同 分力 平行四边形定则 逆运算 实际作用效果 互相垂直 矢量运算 夹角 越大 √ × × √ √ × 分力 力的分解 力的正交分解 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十)
(时间：40分钟 分值：100分)
[合格基础练]
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．2 N的力可以分解成6 N和3 N的两个分力
B．10 N的力可以分解成5 N和3 N的两个分力
C．2 N的力可以分解成6 N和5 N的两个分力
D．10 N的力可以分解成10 N和10 N的两个分力
CD [逆向思维法，根据两个分力的合力的取值范围来判定．如A项中6 N和3 N的合力的范围是3 N≤F≤9 N，故合力不可能是2 N，即2 N的力不能分解为6 N和3 N的两个分力．同理B选项也不符合．]
2．如图所示，把光滑斜面上的物体所受重力mg分解为F1、F2两个力．图中N为斜面对物体的支持力，则下列说法正确的是( )
A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力
B．物体受到mg、N、F1、F2共四个力的作用
C．F2是物体对斜面的压力
D．力N、F1、F2这三个力的作用效果与mg、N这两个力的作用效果相同
D [F1是重力沿斜面向下的分力，其作用效果是使物体沿斜面下滑，但施力物体不是斜面，故选项A错误；物体受到重力mg和支持力N两个力的作用，F1、F2是重力的分力，故选项B错误；F2是重力沿垂直于斜面方向的分力，其作用效果是使物体压斜面，F2的大小等于物体对斜面的压力，但两者的受力物体不同，F2的受力物体是物体，物体对斜面的压力的受力物体是斜面，故选项C错误；合力与分力的作用效果相同，故选项D正确．]
3.如图所示是李强同学设计的一个小实验．他将细绳的一端系在手指上，绳的另一端系在直杆的A端，杆的左端顶在掌心上，组成一个“三角支架”．在杆的A端悬挂不同重物，并保持静止．通过实验会感受到什么，说法不正确的是( )
A．绳子是被拉伸的，杆是被压缩的
B．杆对手掌施加作用力的方向沿杆由C指向A
C．绳对手指施加作用力的方向沿绳由B指向A
D．所挂重物质量越大，绳和杆对手的作用力也越大
B [物体重力的作用效果是：一方面拉紧细绳，另一方面使杆压紧手掌，故选项A正确；杆对手掌的作用力方向沿杆由A指向C，绳对手指的作用力由B指向A，故选项B错误，选项C正确；将重力分解为沿绳方向的力F1和沿杆方向的力F2，如图所示，由F1＝，F2＝Gtan θ可知，物重G越大，F1、F2也越大，故选项D正确．]
4．如图所示，质量为10 kg的物体静止在平面直角坐标系xOy的坐标原点，某时刻只受到F1和F2的作用，且F1＝10 N，F2＝10 N，则物体的合力( )
A．方向沿y轴正方向
B．方向沿y轴负方向
C．大小等于10 N
D．大小等于10 N
C [正交分解如图，故物体的合力为10 N，方向沿x轴正向．
]
5．AB、AC两光滑斜面互相垂直，AC与水平面成30°角，如图所示．若把球的重力G按照作用效果分解，则两个分力的大小分别为( )
A．G和G B．G和G
C．G和G D．G和G
A [对球所受重力进行分解如图所示．
由几何关系得F1＝Gsin 60°＝G，F2＝Gsin 30°＝G，选项A正确．]
6．如图所示，物体静止于光滑的水平面上，力F作用于物体上的O点，现要使物体所受的合力沿着OO′方向，那么必须同时再加一个力F′，这个力的最小值是( )
A．Fcos θ B．Fsin θ
C．Ftan θ D．Fcot θ
B [因合力在OO′方向上，由矢量三角形定则可知，把分力F的箭头和线OO′上任一点连起来，这段线段就表示F′，如图所示．由图易得：当F′与合力F合垂直时，即F′与OO′垂直时，F′最小，最小值为Fsin θ.
]
二、非选择题(14分)
7．如图所示，一个重为100 N的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦．试求小球对墙面的压力F1和对A点压力F2.
[解析] 球的重力产生两个作用效果：压紧墙壁和A点，作出重力及它的两个分力F′1和F′2构成的平行四边形如图所示．
球对墙面的压力F1＝F′1＝Gtan 60°＝100 N
方向垂直墙壁向右．
球对A点的压力
F2＝F′2＝＝200 N，方向沿O→A方向．
[答案] F1＝100 N，方向垂直墙壁向右 F2＝200 N，方向沿O→A方向
[等级过关练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中OB是水平的，A端、B端都固定，若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳( )
A．必定是OA
B．必定是OB
C．必定是OC
D．可能是OB，也可能是OC
A [由力的分解图知F1最大，故OA先断，A正确．
]
2．如图所示，是斧头劈木柴的剖面图，其中BC边为斧头背，AB、AC边为斧头的刀面．要使斧头容易劈开木柴，斧头应该( )
A．BC边与AB、AC边都短一些
B．BC边长一些，AB、AC边短一些
C．BC边短一些，AB、AC边长一些
D．BC边长一些，AB、AC边也长一些
C [把斧头所受的向下的力F按力的实际作用效果沿垂直AB、AC边的两个方向分解为F1和F2，设BC与AC成 θ角，由图可知F1＝F2，F＝2F1cos θ，所以F1＝F2＝.要使木柴容易劈开，应使F1和F2大一些，则θ应大一些，因此BC边应短一些，AB、AC边应长一些，故C正确．]
3．(多选)如图所示，质量为m的木块在与水平方向成θ角的推力F作用下，在水平地面上做匀速直线运动．已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力为( )
A．μmg B．μ(mg＋Fsin θ)
C．μ(mg－Fsin θ) D．Fcos θ
BD [木块匀速运动时受到四个力的作用：重力mg、推力F、支持力N、摩擦力f.沿水平方向建立x轴，将F进行正交分解，如图所示(这样建立坐标系只需分解F)，由于木块做匀速直线运动，所以，在x轴上，向左的力等于向右的力(水平方向二力平衡)；在y轴上，向上的力等于向下的力(竖直方向二力平衡)．即Fcos θ＝f，N＝mg＋Fsin θ，又由于f＝μN所以f＝μ(mg＋Fsin θ)，故本题应选B、D.]
4．如图所示，用细线悬挂一个均质小球靠在光滑竖直墙上．如果把线的长度缩短，则球对线的拉力T、对墙的压力N的变化情况正确的是( )
A．T、N都不变
B．T减小，N增大
C．T增大，N减小
D．T、N都增大
D [绳对物体的拉力可分解为互相垂直的两分力，如图所示，则Tcos α＝mg，Tsin α＝N.当绳长变短时，α角增大，cos α减小，所以T增大，N增大，故D正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(13分)如图所示，在水平地面上有一重为G＝200 N的货箱，货箱与水平地面之间的动摩擦因数为μ＝0.2，今在货箱上施加一个与水平面成37°角斜向上的拉力作用，使其沿水平方向运动，若这一拉力F＝100 N，求货箱受到的合力．(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
[解析] 货箱共受到四个力的作用：竖直向下的重力G、地面对货箱竖直向上的支持力N、斜向上的拉力F、与地面的滑动摩擦力f，其受力图如图所示，
正交分解得，
竖直方向：N＋Fsin 37°－G＝0 ①
水平方向Fx合＝Fcos 37°－f ②
且f＝μN ③
联立①②③得Fx合＝52 N
由于竖直方向合外力为零，所以货箱所受合外力F合＝Fx合＝52 N，方向水平向右．
[答案] 52 N，方向水平向右
6．(13分)如图所示，已知物体在三个共点力的作用下沿x轴运动，其中F1＝80 N，F2＝120 N，它们与x轴夹角都是30°，F3是确保物体沿x轴运动的最小分力．试问：
(1)最小分力为多大？沿什么方向？
(2)三个分力的合力多大？
[解析] 物体由静止开始沿x轴运动，则F1、F2和F3三个力的合力沿x轴方向，由于力的边角关系较复杂，连续利用平行四边形定则来合成较繁琐，但F1、F2与x轴夹角关系明确，可使用正交分解法．
如图所示建立直角坐标系，其中三个力的交点O为原点，以原x轴为x轴，y轴垂直于x轴方向，把F1、F2沿x、y轴分解．
则F1x＝F1cos 30°＝40 N
F1y＝F1sin 30°＝40 N
F2x＝F2cos 30°＝60 N
F2y＝F2sin 30°＝60 N
(1)要使物体沿x轴方向运动，则y轴方向上合力为零，根据题意，当F3沿y轴正向，且F3＝F2y－F1y＝20 N时，分力F3最小．
(2)三个分力的合力F＝F1x＋F2x＝100 N.
[答案] (1)20 N 沿y轴正方向
(2)100 N
