人教版高中数学必修五知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.4 等比数列
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学必修五知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.4 等比数列 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 629.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-13 22:03:04 | ||
图片预览
文档简介
2.4 等比数列
知识
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于___________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．
定义也可叙述为：在数列中，若为常数且，则是等比数列．
2．等比中项
如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么___________叫做与的等比中项．
3．等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则这个等比数列的通项公式是．
4．等比数列与指数函数
（1）等比数列的图象
等比数列的通项公式还可以改写为，当且时，是指数函数，是指数型函数，因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点．例如，教材第50页【探究】（2），的图象如下图所示．
（2）等比数列的单调性
已知等比数列的首项为，公比为，则
①当或时，是___________数列；
②当或时，是___________数列；
③当时，为常数列；
④当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．
知识参考答案：
1．同一常数 2． 3． 4．递增 递减
重点
重点
等比数列的定义、通项公式、性质的理解与简单应用
难点
灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题
易错
对等比数列的定义理解不深刻、忽略等比数列问题中的隐含条件
等比数列的判定与证明
判断数列是否为等比数列的方法：
（1）定义法：判断是否为常数；
（2）等比中项法：判断是否成立；
（3）通项公式法：若数列的通项公式形如，则数列是等比数列．
（1）若的通项公式为，试判断数列是否为等比数列．
（2）若成等比数列，均不为零，求证：成等比数列．
【答案】（1）是等比数列，证明见解析；（2）成等比数列，证明见解析．
【解析】（1），4为非零常数，由定义可知是等比数列．
（2）由成等比数列，可设，
因为均不为零，所以，
所以成等比数列．
【名师点睛】不能仅由数列的前有限项成等比数列得出数列是等比数列，而要否定一个数列是等比数列，只需得到其连续三项不成等比数列即可．
等比数列的通项公式及应用
（1）在等比数列中，若则____________；
（2）在等比数列中，已知若，则____________．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）方法1：因为，所以，
两式相除得，即，于是，
所以．
方法2：因为，所以，即，所以．
（2）方法1：因为，两式相除得，所以，
由，可得，解得．
方法2：因为，所以，由可得，
由，可得，解得．
【名师点睛】（1）已知数列为等比数列时，可利用条件构建方程（组）求出基本量与，即可写出数列的通项公式；
（2）当已知等比数列中的某项，求出公比后，可绕过求而直接写出其通项公式，即．
等比数列的性质的应用
若数列是公比为的等比数列，由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质：
（1）若，则；若，则．
推广：若，则．
（2）若成等差数列，则成等比数列．
（3）数列仍是公比为的等比数列；
数列是公比为的等比数列；
数列是公比为的等比数列；
若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列．
（4）成等比数列，公比为．
（5）连续相邻项的和（或积）构成公比为或的等比数列．
已知等比数列满足
（1）若则_____________；
（2）若，则当时，_____________．
【答案】（1）6；（2）．
【解析】（1）方法1：因为
由等比数列的性质可得，所以
方法2：由等比数列的性质知成等比数列，
所以，所以．
（2）方法1：由得
又所以故
．
方法2：由等比数列的性质，得由于所以
所以
【名师点睛】在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，往往是建立关于的方程组，但这样解起来很麻烦，若能避开求，直接利用等比数列的性质求解，则比较简捷，同时在应用等比数列的性质时，需注意等比数列性质成立的前提条件．
由递推公式构造等比数列求数列的通项公式
（1）形如的递推关系式
①利用待定系数法可化为，当时，数列是等比数列；
②由，两式相减，得当时，数列是公比为的等比数列．
（2）形如的递推关系式
除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以，进而化归为等比数列．
（1）在数列中，则数列的通项公式为_____________；
（2）在数列中，则数列的通项公式为_____________．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）方法1：令即
与比较得，
又，故数列是以4为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以
方法2：因为所以
所以
所以是等比数列，首项公比，
所以即，即
（2）方法1：令即
与比较可得，
又，所以是以4为首项，6为公比的等比数列，
所以，即
方法2：由，两边同时除以得
由待定系数法易得
故数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以即
【名师点睛】当已知数列不是等比数列时，往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列．利用等比数列的通项公式，求出包含的关系式，进而求得．
忽略等比数列中所有项不为零导致错误
已知等比数列的前三项分别为，则_____________．
【错解】因为为与的等比中项，所以，解得或．
【错因分析】若，则这三项为，不符合等比数列的定义．
【正解】因为为与的等比中项，所以，解得或．
由于时，，所以应舍去，故．
【名师点睛】因为等比数列中各项均不为零，所以解题时一定要注意将所求结果代入题中验证，若所求结果使等比数列中的某些项为零，则一定要舍去．
忽略等比数列中项的符号导致错误
在等比数列中，，则_____________．
【错解】因为为等比数列，所以，
由可得，故．
【错因分析】错解中忽略了在等比数列中，奇数项或偶数项的符号相同这一隐含条件．
【正解】因为为等比数列，所以，
由可得，故．
又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以，所以．
【名师点睛】在等比数列中，奇数项或者偶数项的符号相同．因此，在求等比数列的某一项或者某些项时要注意这些项的正负问题，要充分挖掘题目中的隐含条件．
基础训练
1．已知五个数成等比数列，则的值为
A． B．
C． D．
2．在等比数列中，，，，则项数为
A．3 B．4
C．5 D．6
3．已知等比数列为递增数列，若，且，则数列的公比
A．2或 B．
C． D．
4．已知数列是等比数列，是1和3的等差中项，则
A．16 B．8
C．2 D．4
5．已知等比数列中，，则的值为
A．2 B．4
C．8 D．16
6．在等比数列中，若是方程的两根，则的值是
A． B．
C．或 D．
7．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个数的和为
A．13 B．－7
C．－7或13 D．无法求解
8．已知，且是成等比数列的整数，n为大于1的整数，则下列关于，，的说法正确的是
A．成等差数列 B．成等比数列
C．各项的倒数成等差数列 D．以上都不对
9．已知数列满足，且，则____________．
10．在等比数列中，，公比．若成等差数列，则的值是_____________．
11．在等比数列中，，，则_____________．
12．已知单调递减的等比数列满足，且是，的等差中项，则公比_____________，通项公式为_____________．
13．已知等比数列中，，，求等比数列的通项公式．
14．已知数列满足递推式，其中．
（1）求；
（2）求证：数列为等比数列．
15．已知数列与等比数列满足．
（1）试判断是何种数列；
（2）若，求．
能力测试
16．已知是等比数列，且，，则
A． B．
C． D．
17．已知等差数列和等比数列的首项都是1，公差和公比都是2，则
A．24 B．25
C．26 D．27
18．若等比数列的各项均为正数，且（e为自然对数的底数），则
A． B．
C． D．
19．各项均为正的等比数列中，与的等比中项为，则的值为
A．4 B．3
C．2 D．1
20．已知等差数列和等比数列的首项都是1，公差和公比都是2，则
A．24 B．25
C．26 D．84
21．在等比数列中，，公比．若成等差数列，则____________．
22．已知数列满足，且，则=_____________．
23．已知成等差数列，成等比数列，则______________．
24．等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列，，且．
（1）求与；
（2）求和：．
25．已知数列的前项和为，在数列中，，，且．
（1）设，求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式．
真题练习
26．（2018北京文）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率，则第八个单音频率为
A． B．
C． D．
27．（2019四川理）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
28．（2019北京理）若等差数列和等比数列满足，，则=______________．
29．（2019新课标全国Ⅲ理）设等比数列满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=______________．
30．（2018新课标全国Ⅰ文）已知数列满足，，设．
（1）求，，；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
31．（2019新课标全国Ⅲ文）已知各项都为正数的数列满足，．
（1）求；
（2）求的通项公式．
参考答案
1．【答案】B
【解析】设等比数列的公比为q．由题意得，，又，所以，故选B．
2．【答案】C
【解析】根据等比数列通项公式有，解得，故选C．
5．【答案】B
【解析】由题意得，所以，因为，所以，
所以，所以，故选B．
6．【答案】B
【解析】由是方程的两根有，故都为正数，而，所以，由于，所以，故选B．
7．【答案】C
【解析】由题意，可设这三个数分别为，a，aq，则或，所以或，故这三个数为1，3，9或－1，3，－9或9，3，1或－9，3，－1．故这三个数的和为13或－7．故选C．
9．【答案】?5
【解析】因为，所以数列是以3为公比的等比数列，
，．
10．【答案】
【解析】由题意得或（舍去），从而
11．【答案】或
【解析】由等比数列性质知，又，所以，或，，所以或．
12．【答案】
【解析】由题意得，，
所以或（舍去），所以通项公式为．
13．【答案】或．
【解析】设等比数列的首项为，公比为，
由题意得或
所以或，即或，
所以或．
故等比数列的通项公式为或．
14．【答案】（1），，；（2）见解析．
【解析】（1）由及知
解得同理可得
（2）由可得，，
是以为首项，2为公比的等比数列．
（2）因为，所以=10m，
所以．
16．【答案】B
【解析】由题意知，则，
所以，故选B．
17．【答案】B
【解析】等比数列首项是，公比是，所以，等差数列的首项是，公差是，所以，故选B．
18．【答案】C
【解析】在等比数列中，，
所以，由对数的运算可知，故选C．
19．【答案】B
【解析】由与的等比中项为，得，
所以，故选B．
20．【答案】D
【解析】等差数列首项是，公差是，所以，等比数列首项是，公比是，所以，故选D．
21．【答案】
【解析】由题意得或（舍去），从而．
22．【答案】
【解析】，，即数列是
以3为首项、3为公比的等比数列，则，即．
23．【答案】
【解析】因为成等差数列，设公差为，所以，
因为成等比数列，所以，
即，由于与同号，所以，所以，所以．
24．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设的公差为，的公比为，
则，，，
依题意有解得或(舍去)，
故，．
（2），
所以
25．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）因为 ①，所以 ②，
②?①得，所以，
所以，所以，
所以是等比数列．
因为首项，，所以，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，所以．
故当时，．
又代入上式也符合，所以．
26．【答案】D
【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，
又，则，故选D．
【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列．等比数列的判断方法主要有如下两种：
（1）定义法，若或， 数列是等比数列；
（2）等比中项公式法，若数列中，且，则数列是等比数列．
28．【答案】1
【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，求得，那么．
29．【答案】
【解析】设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：
，由可得：，代入①可得，由等比数列的通项公式可得．
30．【答案】（1），，；（2）数列是等比数列，理由见解析；（3）．
【解析】（1）由条件可得，
将代入得，而，所以．
将代入得，所以．
从而，，．
31．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得．
（2）由，得．
因为的各项都为正数，所以，
故是首项为，公比为的等比数列，因此．
知识
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于___________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．
定义也可叙述为：在数列中，若为常数且，则是等比数列．
2．等比中项
如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么___________叫做与的等比中项．
3．等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则这个等比数列的通项公式是．
4．等比数列与指数函数
（1）等比数列的图象
等比数列的通项公式还可以改写为，当且时，是指数函数，是指数型函数，因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点．例如，教材第50页【探究】（2），的图象如下图所示．
（2）等比数列的单调性
已知等比数列的首项为，公比为，则
①当或时，是___________数列；
②当或时，是___________数列；
③当时，为常数列；
④当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．
知识参考答案：
1．同一常数 2． 3． 4．递增 递减
重点
重点
等比数列的定义、通项公式、性质的理解与简单应用
难点
灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题
易错
对等比数列的定义理解不深刻、忽略等比数列问题中的隐含条件
等比数列的判定与证明
判断数列是否为等比数列的方法：
（1）定义法：判断是否为常数；
（2）等比中项法：判断是否成立；
（3）通项公式法：若数列的通项公式形如，则数列是等比数列．
（1）若的通项公式为，试判断数列是否为等比数列．
（2）若成等比数列，均不为零，求证：成等比数列．
【答案】（1）是等比数列，证明见解析；（2）成等比数列，证明见解析．
【解析】（1），4为非零常数，由定义可知是等比数列．
（2）由成等比数列，可设，
因为均不为零，所以，
所以成等比数列．
【名师点睛】不能仅由数列的前有限项成等比数列得出数列是等比数列，而要否定一个数列是等比数列，只需得到其连续三项不成等比数列即可．
等比数列的通项公式及应用
（1）在等比数列中，若则____________；
（2）在等比数列中，已知若，则____________．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）方法1：因为，所以，
两式相除得，即，于是，
所以．
方法2：因为，所以，即，所以．
（2）方法1：因为，两式相除得，所以，
由，可得，解得．
方法2：因为，所以，由可得，
由，可得，解得．
【名师点睛】（1）已知数列为等比数列时，可利用条件构建方程（组）求出基本量与，即可写出数列的通项公式；
（2）当已知等比数列中的某项，求出公比后，可绕过求而直接写出其通项公式，即．
等比数列的性质的应用
若数列是公比为的等比数列，由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质：
（1）若，则；若，则．
推广：若，则．
（2）若成等差数列，则成等比数列．
（3）数列仍是公比为的等比数列；
数列是公比为的等比数列；
数列是公比为的等比数列；
若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列．
（4）成等比数列，公比为．
（5）连续相邻项的和（或积）构成公比为或的等比数列．
已知等比数列满足
（1）若则_____________；
（2）若，则当时，_____________．
【答案】（1）6；（2）．
【解析】（1）方法1：因为
由等比数列的性质可得，所以
方法2：由等比数列的性质知成等比数列，
所以，所以．
（2）方法1：由得
又所以故
．
方法2：由等比数列的性质，得由于所以
所以
【名师点睛】在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，往往是建立关于的方程组，但这样解起来很麻烦，若能避开求，直接利用等比数列的性质求解，则比较简捷，同时在应用等比数列的性质时，需注意等比数列性质成立的前提条件．
由递推公式构造等比数列求数列的通项公式
（1）形如的递推关系式
①利用待定系数法可化为，当时，数列是等比数列；
②由，两式相减，得当时，数列是公比为的等比数列．
（2）形如的递推关系式
除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以，进而化归为等比数列．
（1）在数列中，则数列的通项公式为_____________；
（2）在数列中，则数列的通项公式为_____________．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）方法1：令即
与比较得，
又，故数列是以4为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以
方法2：因为所以
所以
所以是等比数列，首项公比，
所以即，即
（2）方法1：令即
与比较可得，
又，所以是以4为首项，6为公比的等比数列，
所以，即
方法2：由，两边同时除以得
由待定系数法易得
故数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以即
【名师点睛】当已知数列不是等比数列时，往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列．利用等比数列的通项公式，求出包含的关系式，进而求得．
忽略等比数列中所有项不为零导致错误
已知等比数列的前三项分别为，则_____________．
【错解】因为为与的等比中项，所以，解得或．
【错因分析】若，则这三项为，不符合等比数列的定义．
【正解】因为为与的等比中项，所以，解得或．
由于时，，所以应舍去，故．
【名师点睛】因为等比数列中各项均不为零，所以解题时一定要注意将所求结果代入题中验证，若所求结果使等比数列中的某些项为零，则一定要舍去．
忽略等比数列中项的符号导致错误
在等比数列中，，则_____________．
【错解】因为为等比数列，所以，
由可得，故．
【错因分析】错解中忽略了在等比数列中，奇数项或偶数项的符号相同这一隐含条件．
【正解】因为为等比数列，所以，
由可得，故．
又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以，所以．
【名师点睛】在等比数列中，奇数项或者偶数项的符号相同．因此，在求等比数列的某一项或者某些项时要注意这些项的正负问题，要充分挖掘题目中的隐含条件．
基础训练
1．已知五个数成等比数列，则的值为
A． B．
C． D．
2．在等比数列中，，，，则项数为
A．3 B．4
C．5 D．6
3．已知等比数列为递增数列，若，且，则数列的公比
A．2或 B．
C． D．
4．已知数列是等比数列，是1和3的等差中项，则
A．16 B．8
C．2 D．4
5．已知等比数列中，，则的值为
A．2 B．4
C．8 D．16
6．在等比数列中，若是方程的两根，则的值是
A． B．
C．或 D．
7．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个数的和为
A．13 B．－7
C．－7或13 D．无法求解
8．已知，且是成等比数列的整数，n为大于1的整数，则下列关于，，的说法正确的是
A．成等差数列 B．成等比数列
C．各项的倒数成等差数列 D．以上都不对
9．已知数列满足，且，则____________．
10．在等比数列中，，公比．若成等差数列，则的值是_____________．
11．在等比数列中，，，则_____________．
12．已知单调递减的等比数列满足，且是，的等差中项，则公比_____________，通项公式为_____________．
13．已知等比数列中，，，求等比数列的通项公式．
14．已知数列满足递推式，其中．
（1）求；
（2）求证：数列为等比数列．
15．已知数列与等比数列满足．
（1）试判断是何种数列；
（2）若，求．
能力测试
16．已知是等比数列，且，，则
A． B．
C． D．
17．已知等差数列和等比数列的首项都是1，公差和公比都是2，则
A．24 B．25
C．26 D．27
18．若等比数列的各项均为正数，且（e为自然对数的底数），则
A． B．
C． D．
19．各项均为正的等比数列中，与的等比中项为，则的值为
A．4 B．3
C．2 D．1
20．已知等差数列和等比数列的首项都是1，公差和公比都是2，则
A．24 B．25
C．26 D．84
21．在等比数列中，，公比．若成等差数列，则____________．
22．已知数列满足，且，则=_____________．
23．已知成等差数列，成等比数列，则______________．
24．等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列，，且．
（1）求与；
（2）求和：．
25．已知数列的前项和为，在数列中，，，且．
（1）设，求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式．
真题练习
26．（2018北京文）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率，则第八个单音频率为
A． B．
C． D．
27．（2019四川理）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
28．（2019北京理）若等差数列和等比数列满足，，则=______________．
29．（2019新课标全国Ⅲ理）设等比数列满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=______________．
30．（2018新课标全国Ⅰ文）已知数列满足，，设．
（1）求，，；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
31．（2019新课标全国Ⅲ文）已知各项都为正数的数列满足，．
（1）求；
（2）求的通项公式．
参考答案
1．【答案】B
【解析】设等比数列的公比为q．由题意得，，又，所以，故选B．
2．【答案】C
【解析】根据等比数列通项公式有，解得，故选C．
5．【答案】B
【解析】由题意得，所以，因为，所以，
所以，所以，故选B．
6．【答案】B
【解析】由是方程的两根有，故都为正数，而，所以，由于，所以，故选B．
7．【答案】C
【解析】由题意，可设这三个数分别为，a，aq，则或，所以或，故这三个数为1，3，9或－1，3，－9或9，3，1或－9，3，－1．故这三个数的和为13或－7．故选C．
9．【答案】?5
【解析】因为，所以数列是以3为公比的等比数列，
，．
10．【答案】
【解析】由题意得或（舍去），从而
11．【答案】或
【解析】由等比数列性质知，又，所以，或，，所以或．
12．【答案】
【解析】由题意得，，
所以或（舍去），所以通项公式为．
13．【答案】或．
【解析】设等比数列的首项为，公比为，
由题意得或
所以或，即或，
所以或．
故等比数列的通项公式为或．
14．【答案】（1），，；（2）见解析．
【解析】（1）由及知
解得同理可得
（2）由可得，，
是以为首项，2为公比的等比数列．
（2）因为，所以=10m，
所以．
16．【答案】B
【解析】由题意知，则，
所以，故选B．
17．【答案】B
【解析】等比数列首项是，公比是，所以，等差数列的首项是，公差是，所以，故选B．
18．【答案】C
【解析】在等比数列中，，
所以，由对数的运算可知，故选C．
19．【答案】B
【解析】由与的等比中项为，得，
所以，故选B．
20．【答案】D
【解析】等差数列首项是，公差是，所以，等比数列首项是，公比是，所以，故选D．
21．【答案】
【解析】由题意得或（舍去），从而．
22．【答案】
【解析】，，即数列是
以3为首项、3为公比的等比数列，则，即．
23．【答案】
【解析】因为成等差数列，设公差为，所以，
因为成等比数列，所以，
即，由于与同号，所以，所以，所以．
24．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设的公差为，的公比为，
则，，，
依题意有解得或(舍去)，
故，．
（2），
所以
25．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）因为 ①，所以 ②，
②?①得，所以，
所以，所以，
所以是等比数列．
因为首项，，所以，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，所以．
故当时，．
又代入上式也符合，所以．
26．【答案】D
【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，
又，则，故选D．
【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列．等比数列的判断方法主要有如下两种：
（1）定义法，若或， 数列是等比数列；
（2）等比中项公式法，若数列中，且，则数列是等比数列．
28．【答案】1
【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，求得，那么．
29．【答案】
【解析】设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：
，由可得：，代入①可得，由等比数列的通项公式可得．
30．【答案】（1），，；（2）数列是等比数列，理由见解析；（3）．
【解析】（1）由条件可得，
将代入得，而，所以．
将代入得，所以．
从而，，．
31．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得．
（2）由，得．
因为的各项都为正数，所以，
故是首项为，公比为的等比数列，因此．