人教版高中数学必修五知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.5 等比数列的前n项和

2.5 等比数列的前n项和
知识
1．等比数列的前n项和公式
若等比数列的首项为，公比为，则等比数列的前项和的公式为
2．等比数列前n项和公式的函数特性
（1）当公比时，因为，所以是关于n的正比例函数，
则数列的图象是正比例函数图象上的一群孤立的点．
（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，即，
设，则上式可写成的形式，
则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点．
由此可见，非常数列的等比数列的前n项和是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．
3．等比数列前n项和的性质
设等比数列的前n项和为，公比为q，则利用等比数列的通项公式及前n项和公式可推得等比数列的前n项和具有以下性质：
（1）当时，；当时，．
（2）．
（3）若项数为，则，若项数为，则．
（4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零．
知识参考答案：
1． 2． 3．
重点
重点
等比数列前n项和公式的应用、基本量的计算
难点
等比数列前n项和的性质及应用、与等差数列的综合问题、数列求和问题
易错
运用前n项和公式时忽略对公比的讨论
等比数列的前n项和的相关计算问题
在等比数列问题中共涉及五个量：及，利用等比数列的通项公式及前n项和公式即可“知三求二”．注意方程思想、整体思想及分类讨论等思想的应用．
（1）已知等比数列是递增数列，是的前n项和，若，是方程的两个根，则______________；
（2）在等比数列中，公比为，前n项和为，若，，则______________，______________．
【答案】（1）364；（2），．
【解析】（1）因为，是方程的两个根，且是递增数列，
所以，，则公比，所以．
（2）方法1：由于，所以，由，，可得，
可得，解得，代入得，
所以，．
方法2：因为，且，，所以，解得，由，解得，
所以，．
【名师点睛】本题中，第（2）问中的方法1使用了求和公式，因此要对公比q是否为1作出判断，而方法2避开了使用求和公式，则避免了这一判断．在使用等比数列前n项和公式时，一定要先确定公比q是否等于1，当无法确定时，要对q是否为1作分类讨论．
等比数列的前n项和性质的应用
已知等比数列的前n项和为，若，，则______________．
【答案】140
【解析】方法1：设的公比为，由于，所以．
由，列方程组即可求解，此处不再赘述．
方法2：由，，易得公比，
根据等比数列前n项和的性质（1），可得，即，解得，
又，所以，．
方法3：根据等比数列前n项和的性质（2），可得，即，解得，所以．
方法4：根据等比数列前n项和的性质（4），可知，，成等比数列，
则，即，解得．
【名师点睛】恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，可以避繁就简，不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论．解题时把握好等比数列前n项和性质的使用条件，并结合题设条件寻找使用性质的切入点．
等差数列、等比数列的综合问题
已知等比数列的公比．
（1）若，求数列的前项和；
（2）证明：对任意的，，，成等差数列．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由及，得，
所以数列的前项和．
（2）对任意的，，
由，得=0，故=0．
所以，对任意的，，，成等差数列．
【名师点睛】解决等差数列与等比数列综合问题（即双数列问题）的关键在于用好它们的有关知识，理顺两个数列间的关系，还应注意等差数列与等比数列之间的相互转化．
与等比数列有关的数列求和问题
1．错位相减法的应用
错位相减法是一种重要的数列求和方法，等比数列前n项和公式的推导用的就是错位相减法．
当一个数列由等差数列与等比数列对应项的乘积构成时，可使用此法求数列的前n项和．
已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设数列的公差为，
令得，所以；
令得，所以．
由及，解得，所以
（2）由（1）知所以
所以
两式相减，得
所以．
【名师点睛】在运用错位相减法求数列前n项和时要注意以下四点：
（1）乘数（式）的选择；
（2）对q的讨论；
（3）两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；
（4）相消项中构成数列的项数．
2．分组求和法的应用
分组求和法适用于解决数列通项公式可以写成的形式的数列求和问题，其中数列与是等差数列或等比数列或可以直接求和的数列．
已知是等差数列，且，，数列满足，，且是等比数列．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意，得，
所以，
设等比数列的公比为，由题意，得，解得．
所以，从而．
（2）由（1）知，，
因为数列的前n项和为，数列的前n项和为，
所以数列的前n项和为．
【名师点睛】（1）本题采用了分组求和法，其实质是利用加法结合律对一个求和式子进行重新组合，合并“同类项”后，再分别求和．
（2）利用分组求和法解题的步骤：
①根据通项公式的特征准确拆分，将其分解为可以直接求和的一些数列的和；
②分组求和，分别求出各个数列的和；
③得出结论，对拆分后每个数列的和进行组合，解决原数列的求和问题．
利用等比数列的前n项和公式时忽略对公比的讨论从而导致错误
在数列中，若，求的前n项和．
【错解】由题易得，
．
【错因分析】错解在求时忽略了对公比是否等于1的讨论，且默认是等比数列．
【正解】当时，，所以；
当时，，所以；
当时，．
综上，．
【名师点睛】无论是求等比数列的前n项和，还是已知等比数列的前n项和求其他量，只要使用等比数列前n项和公式，就要对公比q是否为1作分类讨论．
基础训练
1．在等比数列中，，，则的前4项和为
A．81 B．120
C．168 D．192
2．已知等比数列中，，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前n项和
A． B．
C． D．
3．已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前项和
A． B．
C． D．
4．已知数列满足，，则的前10项和等于
A． B．
C． D．
5．设是等比数列的前项和，，，则公比
A． B．
C．或 D．或
6．已知等比数列的前项和为，，且，则
A． B．
C． D．
7．已知等比数列中，，，则的前项和______________．
8．在等比数列中，，则______________．
9．已知为等比数列，，，则______________．
10．已知数列，若新数列，，，…，，…是首项为1，公比为的等比数列，则______________．
11．已知数列的前项和为，．
（1）求，；
（2）求证：数列是等比数列．

12．已知等差数列的前n项和为，公差d≠0，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列{}的前n项和．
能力测试
13．在等比数列中，，则
A．28 B．32
C．35 D．49
14．等比数列的前项和记为，若，则
A．7:9 B．1:3
C．5:7 D．3:5
15．在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于
A． B．
C． D．
16．设等比数列的前项和为，若，，则____________．
17．已知表示正项等比数列的前项和．若，，则的值是____________．
18．若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数．
（1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为，求；
19．已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，满足，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．

20．已知单调递增的等比数列满足，且是，的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，对任意的正整数，恒成立，试求实数的取值范围．
真题练习
21．（2018新课标全国Ⅱ理）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
22．（2018新课标全国Ⅰ理）记为数列的前项和，若，则_____________．
23．（2019江苏模拟）等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，，则_____________．
24．（2019江西模拟）等比数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
25．（2018北京文）设是等差数列，且，．
（1）求的通项公式；
（2）求．

26．（2019天津模拟）记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=?6．
（1）求的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
27．（2019北京模拟）已知等差数列和等比数列满足，，．
（1）求的通项公式；
（2）求和：．

28．（2019山东模拟）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求．
29．（2018天津文）设是等差数列，其前项和为；是等比数列，公比大于，其前项和为．已知，，，．
（1）求和；
（2）若，求正整数的值．

30．（2019四川模拟）已知是各项均为正数的等比数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）为各项非零的等差数列，其前n项和Sn，已知，求数列的前n项和．
31．（2019青岛模拟）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和．

32．（2018浙江）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列满足，数列的前项和为．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式．

参考答案
1．【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，则，解得．
又，所以等比数列的前4项和，故选B．
3．【答案】B
【解析】由于为等比数列，所以，又，所以，在等差数列中，，所以，数列的前项和，故选B．
4．【答案】C
【解析】，，是等比数列，公比为，首项为，．故选C．
5．【答案】C
【解析】，又解得或，故选C．
6．【答案】D
【解析】因为，所以，解得，则，，所以，故选D．
7．【答案】
【解析】因为，所以，又，所以，公比，所以，所以．
8．【答案】21
【解析】由等比数列前n项和的性质知：成等比数列，因为所以，解得．
10．【答案】
【解析】依题意可得，
即，所以．
11．【答案】（1），；（2）证明见解析．
【解析】（1）由，得，所以．
又，所以，解得．
（2）当时，，即，
又，所以是首项为，公比为的等比数列．
12．【答案】（1）＝9?3n；（2）．
【解析】（1）由题意得，即，
解得或d＝0（舍去）．
∴，得d＝?3．
∴＝＋（n?1）d＝6?3（n?1）＝9?3n，即＝9?3n．
（2）∵＝，∴＝64，．
∴是以64为首项，为公比的等比数列，
∴．
13．【答案】A
【解析】因为是等比数列，所以每相邻两项的和也成等比数列，所以，，成等比数列，即成等比数列，所以，解得或（舍去），故选A．
15．【答案】B
【解析】设等比数列的公比，则，由数列也是等比数列得是等比数列，所以，，为等比数列，所以，得，即，所以．故选B．
16．【答案】33
【解析】由题意可得公比，因为，
所以解得（舍去）或，
故．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）由题意得，即，
则是“平方递推数列”．
对两边取对数得，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，
则
．
19．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则，解得，
故，．
（2）由（1）知，，
故 ①，
②，
②－①得：
，
所以．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为．
依题意，有，代入，得，
因此，即解得或
又数列单调递增，则故．
（2）因为，
所以 ①，
②，
①－②，得
．
因为，所以对任意正整数恒成立，
所以对任意正整数恒成立，即恒成立．
因为，所以，故实数的取值范围是．
21．【答案】B
【解析】设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有，解得，即塔的顶层共有灯3盏，故选B．
【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．
22．【答案】
【解析】根据可得，两式相减可得，即，当时，，解得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．
23．【答案】32
【解析】当时，显然不符合题意；
当时，，解得，则．
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．
24．【答案】（1）或；（2）．
25．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
因为，所以，
又，所以．所以．
（2）由（1）知，
因为，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，
所以．
26．【答案】（1）；（2），，，成等差数列，证明见解析．
【思路分析】（1）由等比数列通项公式解得，即可求解；（2）利用等差中项即可证明，，成等差数列．
【解析】（1）设的公比为．由题设可得
解得，，故的通项公式为．
（2）由（1）可得．
由于，
故，，成等差数列．
27．【答案】（1）；（2）．
【思路分析】（1）设等差数列的公差为，代入建立方程进行求解；（2）由是等比数列，知依然是等比数列，并且公比是，再利用等比数列求和公式求解．
【解析】（1）设等差数列的公差为．
因为，所以，解得，所以．
（2）设等比数列的公比为．
因为，所以，解得，所以．
从而．
【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：①分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；②裂项相消法求和，一般适用于，等的形式；③错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；④倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和．
28．【答案】（1）；（2）当时，；当时，．
【思路分析】（1）根据等差数列及等比数列通项公式表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可；（2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差数列前三项求和．
【解析】设的公差为，的公比为，则，．
由得 ①．
（1）由得 ②，
联立①和②解得（舍去）或，因此的通项公式为．
（2）由，得，解得或．
当时，由①得，则．当时，由①得，则．
29．【答案】（1），；（2）．
（2）由（1）可得，
由可得，
整理得，解得（负值舍去），所以的值为．
30．【答案】（1）；（2）．
【思路分析】（1）列出关于的方程组，解方程组求基本量；（2）用错位相减法求和．
【解析】（1）设的公比为，由题意知：．
又，解得，，所以．
（2）由题意知：，
又所以，令，则，
因此，
又，
两式相减得，
所以．
31．【答案】（1），；（2）．
【思路分析】（1）根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列的首项和公差及等比数列的公比，即可写出等差数列和等比数列的通项公式；（2）利用错位相减法即可求出数列的前n项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
由已知，得，
而，所以．
又，解得，所以．
由，可得 ①，
由，可得 ②，
联立①②，解得，，由此可得．
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为．
（2）设数列的前项和为，
由，，有，
故，
，
上述两式相减，得
，
即，所以数列的前项和为．
【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和．
32．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由是的等差中项可得，
所以，解得．
由可得，因为，所以．
（2）设，数列前n项和为．
由可得．
由（1）可知，所以，
故，
．
设，
则，
上述两式相减可得，
所以，
又，所以．