人教版高中数学必修五知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题3.1 不等关系与不等式

第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式
知识
1．不等关系
不等关系主要有以下几种类型：（1）表示常量与常量之间的不等关系；（2）表示变量与常量之间的不等关系；（3）表示函数与函数之间的不等关系；（4）表示一组变量之间的不等关系．
2．不等式的定义
用不等号表示不等关系的式子叫____________，如，等．
用“”或“”连接的不等式叫严格不等式，用“”或“”连接的不等式叫非严格不等式．
3．不等式的分类
按成立条件分
绝对不等式
无论用什么实数代替不等式中的字母都成立，如
条件不等式
只有用某些实数代替不等式中的字母才能成立，如
矛盾不等式
无论用什么实数代替不等式中的字母都不能成立，如
按不等号开口方向分
同向不等式
在两个不等式中，每一个不等式的左边都大于右边，或每一个不等式的左边都小于右边，如与
异向不等式
在两个不等式中，一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，如与
4．a≤b和a≥b的含义
不等式
等价于
读法
含义
a≤b
a不大于b
a小于或等于b
a＜b和a＝b中有一个成立即可
a≥b
a不小于b
a大于或等于b
a＞b和a＝b中有一个成立即可
5．实数大小比较的依据
实数的特征：（1）任意实数的平方不小于0；（2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的数一定是实数．
在数轴上，不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，则点A，B在数轴上的表示如图所示：
由图可以看出a，b之间具有以下性质：如果a－b是正数，那么a＞b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a＜b．反过来也对．
这可以表示为a－b＞0____________；a－b＝0____________；a－b＜0____________．
注：“”的左边反映的是实数运算性质，右边反映的则是实数a，b的大小关系，合起来就是实数的大小与实数运算之间的关系．
6．不等式的性质
性质
性质1
（对称性）如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b．即a＞bb＜a
性质2
（传递性）如果a＞b，b＞c，那么a＞c．即a＞b，b＞ca＞c
如果c＜b，b＜a，那么c＜a．即c＜b，b＜ac＜a
性质3
（可加性）如果a＞b，那么a＋c＞b＋c．即a＞ba＋c＞b＋c
（推论：移项法则）如果a＋b＞c，那么a＞c－b．即a＋b＞ca＞c－b
性质4
（可乘性）如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc
性质5
（同向可加性）如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d
性质6
（同向同正可乘性）如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞____________
性质7
（可乘方性）如果，那么____________（nN，n1）
性质8
（可开方性）如果，那么____________（nN，n2）
知识参考答案：
2．不等式 5．a＞b a＝b a＜b 6．bd
重点
重点
用不等式（组）表示不等关系、比较两个代数式的大小、不等式的性质
难点
不等式性质的应用（判断命题的真假、证明不等式、求代数式的取值范围）
易错
忽略不等式性质成立的条件、对不等式的性质理解不够深刻
用不等式（组）表示不等关系
（1）常见的文字语言与数学符号之间的对应关系如下：
文字语言
大于
小于
大于等于
小于等于
至多
至少
不小于
不大于
数学符号
（2）用不等式（组）表示不等关系的解题思路：先弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、变量与常量、还是函数与函数之间的不等关系；然后类比等式的建立找到不等关系，选准不等号，将量与量之间用不等号连接．
某铁矿车队有5辆载重为10 t的A型卡车和8辆载重为6 t的B型卡车，且有11名驾驶员，此车队每天至少要运450 t矿石至冶炼厂．已知A型卡车每辆每天可往返6次，B型卡车每辆每天可往返9次．假设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，试写出满足上述所有不等关系的不等式组．
【答案】见解析．
【解析】由题意，可得，即．
【名师点睛】不等式是不等关系的符号表示，在用不等式表示不等关系时，应特别注意能否取等号，像本题中“至少”包含相等的情况，应该取等号．将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系，同时要保证不重、不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围．
从下列实际问题中提炼出相应的不等式：
（1）向一杯糖水里加点糖，糖水变甜；
（2）把A糖水（淡）与B糖水（浓）混合到一起，得到的C糖水一定比淡的浓、比浓的淡．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）设糖水b克，含糖a克，易知浓度为，加入m克糖后的浓度为．
提炼出的不等式：若b＞a＞0，m＞0，则＜．
（2）设淡糖水克，含糖克，易知浓度为；浓糖水克，含糖克，易知浓度为；则混合后的浓度为．提炼出的不等式：若＞＞0，＞＞0，且＜，则＜＜．
【名师点睛】用不等式解决实际问题使实际问题数学化，即数学建模，关键是抓住生活中的问题与数学中关系式的特征间的关系．
不等式性质的简单应用
等式的性质与不等式的性质的对比如下：
等式的性质
不等式的性质
a＝bb＝a
a＞bb＜a
a＝b，b＝ca＝c
a＞b，b＞ca＞c
a＝ba＋c＝b＋c
a＞ba＋c＞b＋c
a＝bac＝bc
a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc
a＝b，c＝da＋c＝b＋d
a＞b，c＞da＋c＞b＋d
a＝b＞0，c＝d＞0ac＝bd
a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd
（nN，n1）
（nN，n1）
（nN，n2）
（nN，n2）
已知满足且，下列选项中不一定成立的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以．
对于A，因为，所以；
对于B，因为，所以，又，所以；
对于D，因为，所以，又，所以；
对于C，因为且，所以或，
因此与的大小不能确定，即不一定成立．故选C．
若为实数，则下列命题正确的是_____________（填序号）．
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则；
⑤若，则； ⑥若，则；
⑦若，则； ⑧若，则；
⑨若，则．
【答案】④⑤⑦
对于⑤，因为，两边同时乘以可得，
两边同时乘以可得，所以，命题正确；
对于⑥，因为，所以，所以，命题不正确；
对于⑦，因为，由性质3可得，命题正确；
对于⑧，若，则不成立，命题不正确；
对于⑨，若，则不成立，命题不正确．
故填④⑤⑦．
【名师点睛】（1）理解不等式的性质时，首先要把握不等式性质成立的条件，特别是实数的正负和不等式的可逆性；其次，要关注常见函数的单调性对理解不等式性质的指导性．
（2）理解不等式的性质成立的条件以及是否具有可逆性是掌握性质的关键．例如，性质6不但要求两个不等式同向，而且要求a，b，c，d均大于0，否则结论不一定成立；性质7若忽略nN，n≥1，就有可能得出错误的结论．同时应注意：除了性质1和性质3，其他性质都不可逆．
利用不等式的性质求代数式的取值范围
利用不等式的性质求代数式的取值范围的一般思路：
（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
（3）结合不等式的传递性进行求解．
已知－2＜a＋b≤5，－1≤a－b≤4，则5a－b的取值范围为_____________．
【答案】
方法2：令a＋b＝m，a－b＝n，则由，解得，
故5a－b＝，由－2＜m5，－1n4，可得－7＜2m＋3n≤22，
所以－7＜5a－b≤22．
已知－1＜a≤2，3≤b＜5，求|a|，a＋b，a－b，3a－2b的取值范围．
【答案】见解析．
【解析】因为－1＜a≤2，所以0≤|a|≤2；
因为3≤b＜5，所以2＜a＋b＜7；
因为－1＜a≤2，－5＜－b≤－3，所以相加得－6＜a－b≤－1；
因为－3＜3a≤6，－10＜－2b≤－6，所以相加得－13＜3a－2b≤0．
【名师点睛】同向不等式中只有一个带等号，那么等号是传递不过去的．例如，若a≥b且b＞c，则a＞c；若a＞b且b≥c，则a＞c．如果两个不等式都带有等号，则有：若a≥b且b≥c，则a≥c，其中a＝c时必须a＝b且b＝c，否则a＝c是不成立的，同向不等式相加也是这样．
比较大小
（1）作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．
①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．
②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．
（2）介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性．
若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．
其中b是介于a与c之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．
注意：①采用作差法时只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么并不重要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式乘积的形式；②作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反．
（1）已知a＞0，b＞0，试比较与的大小；
（2）已知a＞0，b＞0，试比较与的大小；
（3）已知5＜a＜6，试比较a2－25与ln(a－5)的大小．
【答案】（1）；（2）；（3）a2－25＞ln(a－5)．
（2）方法1：作差法．
，
因为，，，所以，
当且仅当a＝b时等号成立，所以(当且仅当a＝b时取等号)．
方法2：作商法．
，当且仅当a＝b时等号成立，
所以(当且仅当a＝b时取等号)．
【名师点睛】比较大小时应注意：（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）指数形态的比较大小问题一般采用作商法转化为同底指数幂，利用指数函数的单调性来处理．
证明不等式
利用性质证明不等式，本质上还是比较大小，所不同的是比较大小的目标不明确，而证明不等式的目标明确．
（1）已知a＞b，m＞n，c＜0，证明：ac＋mc－bc－nc＜(b＋n＋c)2；
（2）已知x≥1，y≥1，证明：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）因为a＞b，m＞n，所以a＋m＞b＋n，
又c＜0，所以(a＋m)c＜(b＋n)c，即ac＋mc－bc－nc＜0．
又(b＋n＋c)2≥0，所以ac＋mc－bc－nc＜(b＋n＋c)2．
（2）采用作差法证明．
，
因为x≥1，y≥1，所以x－1≥0，y－1≥0，xy≥1，所以≥0，
故≥0，所以．
【名师点睛】简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形进行证明；对于比较复杂的不等式的证明，直接利用不等式的性质不易进行证明，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式（式子）的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．
忽略不等式性质成立的条件、对不等式的性质理解不够深刻
已知6＜a＜16，3＜b＜4，c＝－1，求及的取值范围．
【错解】因为6＜a＜16，3＜b＜4，所以，即，
由3＜b＜4，c＝－1可得．
【错因分析】错解中使用了同向不等式相除，而不等式没有这样的性质，从而导致错误．
【名师点睛】要求代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除．解题时必须准确利用性质，做到步步有依据，从而避免改变代数式的取值范围而出错．同时应注意“保序”时的条件，如“非负乘方保序”，但“乘负反序”“同号取倒反序”等．
基础训练
1．如果，那么下列各式一定成立的是
A． B．
C． D．
2．已知，，那么一定正确的是
A． B．
C． D．
3．已知，则不等式，，中不成立的个数为
A．0 B．1
C．2 D．3
4．设，，，则的大小关系为
A． B．
C． D．
5．已知为非零实数，且，则下列命题成立的是
A． B．
C． D．
6．设，则有
A． B．
C． D．
7．若d＞0，d≠1，m，nN*，则与＋的大小关系是
A．＞＋ B．＜＋
C．≥＋ D．不能确定
8．已知，则的大小关系是
A． B．
C． D．无法确定
9．设，，则的大小关系为_____________．
10．，，三个数中最大的数是_____________．
11．若则的取值范围为_____________．
12．已知：，，求证：．
13．已知，，，试比较与的大小．
14．比较下列两组数的大小．
（1）与；
（2）当时，与．
能力提升
15．下列结论正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
16．若，则下列各式正确的是
A． B．
C． D．
17．如果，那么下列不等式中正确的是
A． B．
C． D．
18．设，若，则下列不等式中正确的是
A． B．
C． D．
19．已知，则下列推证中错误的是
A． B．
C． D．
20．若，则、、的大小顺序是_____________．
21．设，，给出下列三个结论：①；②；③．
其中所有正确结论的个数为______________．
22．已知三个不等式：①ab＞0，②，③bc＞ad，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成_____________个正确命题．
23．设，比较与的大小．

24．（1）已知，，且，试比较与的大小；
（2）已知，试比较a4－b4与4a3(a－b)的大小．
真题练习
25．（2018新课标全国Ⅲ理）设，，则
A． B．
C． D．
26．（2019四川模拟）若，，则一定有
A． B．
C． D．
27．（2019浙江模拟）已知实数a，b，c，
A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100
B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b–c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100
C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b–c2|≤1，则a2＋b2＋c2＜100
D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2–c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100
28．（2019山东模拟）设x、y、z为正数，且，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z参考答案
1．【答案】C
【解析】A中应为，B中当时不成立，D应为，故选C．
2．【答案】D
【解析】由同向不等式的加法性质可知由，，可得．故选D．
4．【答案】D
【解析】由题可得．故选D．
5．【答案】B
【解析】因为，所以可令，可排除A、C、D，故选B．
6．【答案】B
【解析】因为
恒成立，所以．故选B．
7．【答案】A
【解析】－(＋)＝(1－)＋(－1)＝(1－)(1－)，
因为m，nN*，1－与1－同号，所以(1－)(1－)＞0，故选A．
8．【答案】A
【解析】由已知可令，，则，由于，所以．
注：特殊值法是解决此类问题的常用方法，适当运用可达到事半功倍的效果．
9．【答案】
【解析】∵，．
10．【答案】
【解析】，所以最大的数为．
11．【答案】
【解析】利用同向不等式可以相加，得到的取值范围为．
13．【答案】见解析．
【解析】，
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以．
14．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），
，．
（2），
，又，．
15．【答案】D
【解析】选项A中，当时不符，所以A错误；
选项B中，当时，符合，不满足，B错误；
选项C中，，所以C错误；
选项D中，因为，由不等式的平方法则，，即．故选D．
16．【答案】A
17．【答案】A
【解析】因为所以所以在上单调递减，
所以是正确的，故选A．
（注：本题也可以用特殊值法，如：令来解决．故选A．）
18．【答案】D
【解析】由得，故选D．
19．【答案】D
【解析】对于A：，则，正确；
对于B：，当时，有，正确；
对于C：∵，，∴不等式两边同乘以的倒数，得到，即，正确；
对于D：∵，，∴不等式两边同乘以的倒数，得到，不一定有，错误．故选D．
20．【答案】
【解析】，，
因为，所以，故．
21．【答案】2
【解析】①∵，，∴，故，正确；
②∵，∴在上是减函数，
而，所以，错误；
③当时，有，正确．
故所有正确结论的个数为2．
22．【答案】3
23．【答案】．
【解析】由
，
又，．
24．【答案】（1）；（2）a4－b4＜4a3(a－b)．
【解析】（1），
因为，，且，所以，，
所以，即．
（2）a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a－b)
＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3)
＝(a－b)［(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)］
＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)
＝－(a－b)2［2a2＋(a＋b)2］，
因为2a2＋(a＋b)2≥0(当且仅当a＝b＝0时取等号)，且a≠b，
所以(a－b)2＞0，2a2＋(a＋b)2＞0，
所以－(a－b)2［2a2＋(a＋b)2］＜0，故a4－b4＜4a3(a－b)．
26．【答案】B
【解析】，又．故选B．
27．【答案】D
【解析】举反例进行排除．
对于A，令a＝b＝10，c＝－110，可排除A；
对于B，令a＝10， b＝－100，c＝0，可排除B；
对于C，令a＝100， b＝－100，c＝0，可排除C．故选D．
28．【答案】D
【解析】令，则，，，
∴，则，，
则，故选D．
【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小．对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示．