人教版高中数学必修五知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域

3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域
知识
1．二元一次不等式(组)及其解集的定义
（1）二元一次不等式的定义
我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是______________的不等式称为二元一次不等式．
（2）二元一次不等式组的定义
我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
（3）二元一次不等式(组)的解集
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
（4）二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系
有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标，于是，二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合．
2．二元一次不等式表示的平面区域
一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成______________，以表示区域不包括边界．不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成______________．
对于二元一次不等式的不同形式，其对应的平面区域如下表：
二元一次不等式
Ax＋By＋C≥0
(A＞0，B＞0)
Ax＋By＋C≤0
(A＞0，B＞0)
Ax＋By＋C≥0
(A＞0，B＜0)
Ax＋By＋C≤0
(A＞0，B＜0)
平面
区域
3．二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的______________，即各个不等式表示的平面区域的公共部分．不等式组表示的平面区域可能是一个多边形区域，也可能是一个无界区域，还可能由几个子区域合成，若不等式组的解集为，则它不表示任何区域．
知识参考答案：
1．1 2．虚线 实线 3．交集
重点
K—重点
二元一次不等式(组)解集的定义及表示的平面区域
K—难点
点所在平面区域的判断
K—易错
明确不等式中等号的含义及平面区域的判断
画二元一次不等式表示的平面区域
画二元一次不等式表示的平面区域的步骤：
第一步：直线定界，即画出边界Ax＋By＋C＝0，要注意是虚线还是实线；
第二步：特殊点定域，取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号就可以断定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域；
第三步，用阴影表示出平面区域．
对于Ax＋By＋C＞0(＜0)表示的平面区域，具体的定域方法如下表：
定域的方法
特殊点定域
在直线的一侧选取一个特殊点，代入不等式，成立则在此侧，不成立则在对面；
当C≠0时，常选(0，0)作为特殊点；当C＝0时，常选(0，1)或(1，0)作为特殊点
系数
定域
A的符号判定法
A的符号与Ax＋By＋C的符号相比，同右异左
B的符号判定法
B的符号与Ax＋By＋C的符号相比，同上异下
注：由A的符号判断二元一次不等式表示的区域位置可简记为“同右异左”(“同”表示A的符号与Ax＋By＋C的符号相同)；由B的符号判断二元一次不等式表示的区域位置可简记为“同上异下”（“同”表示B的符号与Ax＋By＋C的符号相同）．即只需由A或B的符号与Ax＋By＋C的符号的异同可直接确定平面区域．
画出下列不等式表示的平面区域：（1）x＞y；（2）3x＋2y＞6；（3）5x＋2y－10≥0．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】（1）作直线x－y＝0(画成实线)，取特殊点(1，0)，代入x－y有1＞0，故所求区域在点(1，0)所在的区域，即直线x－y＝0的右下方，如图1中阴影部分所示．
（2）作直线3x＋2y－6＝0(画成虚线)，取特殊点(0，0)，代入3x＋2y－6有－6＜0，故所求区域在点(0，0)所在区域的另一侧，即直线3x＋2y－6＝0的右上方，如图2中阴影部分所示．
（3）作直线5x＋2y－10＝0(画成实线)，取特殊点(0，0)，代入5x＋2y－10有－10＜0，故所求区域在点(0，0)所在区域的另一侧，即直线5x＋2y－10＝0的右上方(含边界)，如图3中阴影部分所示．
图1 图2 图3
【名师点睛】一般情况下，对于不是标准形式的二元一次不等式，要作出它所表示的平面区域，可以先把它化成标准形式(形如Ax＋By＋C，保证A＞0)，再作图．
画二元一次不等式组表示的平面区域
画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤：
（1）画线：画出各不等式对应的直线，注意根据不等号的特征确定相应直线是画成虚线还是画成实线．
（2）定域：根据特殊点或x，y的系数确定各不等式表示的区域，不等式组表示的区域由以上区域的公共部分构成．
（1）画出不等式组表示的平面区域；
（2）求由直线x＋y＋1＝0，2x＋4y＋1＝0和4x＋2y＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)表示的不等式组．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
（2）画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图2中阴影部分所示．
取原点O(0，0)，并代入x＋y＋1得1＞0；代入2x＋4y＋1得1＞0；代入4x＋2y＋1得1＞0．
结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为．

图1 图2
【名师点睛】（1）要作出不等式组表示的平面区域，可以先画出相应的直线，然后代入特殊点进行验证．
（2）给出直线方程，要求用不等式组表示它们围成的平面区域，只需在这些直线所围成的区域内(或区域外)任取一点(不在这些直线上)，利用其坐标分别确定相应的不等式，进而得到相应的不等式组．
（1）画出不等式表示的平面区域；
（2）画出不等式表示的平面区域．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．

图1 图2
【名师点睛】若题设条件涉及的不等式组不是标准的二元一次不等式组，则要先根据相关的运算法则进行转化．高次不等式、绝对值不等式及双向不等式都可以转化为不等式组，从而画出这些不等式组表示的平面区域．对于含绝对值的不等式表示的平面区域的作法：先分情况讨论去掉绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为一般的二元一次不等式（组），然后按照“直线定界，特殊点定域”的方法作出所求的平面区域．
点与平面区域的位置关系
（1）判断所给点是否在二元一次不等式所表示的平面区域内，就是将点的坐标代入二元一次不等式．若不等式成立，则点在二元一次不等式所表示的平面区域内，否则就不在二元一次不等式所表示的平面区域内．
（2）由点与平面区域的关系可得：若直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则当点M，N在直线l同侧时，(Ax1＋By1＋C )(Ax2＋By2＋C)＞0；当点M，N在直线l的异侧时，(Ax1＋By1＋C )(Ax2＋By2＋C)＜0．上述结论可概括为“同侧同号，异侧异号”．
（1）若点P(m，1)到直线x－y＋1＝0的距离为，且点P在不等式2x＋y－3＜0表示的平面区域内，则m＝____________；
（2）若不等式|x＋2y＋c|＜10表示的平面区域总包含点(1，1)与点(2，3)，则c的取值范围是____________；
（3）若不等式组表示的平面区域与直线y＝a(x＋1)有公共点，则实数a的取值范围是
____________．
【答案】（1）－2；（2）(－13，2)；（3）．
（2）因为不等式|x＋2y＋c|＜10表示的平面区域总包含点(1，1)与点(2，3)，
所以|1＋2＋c|＜10且|2＋2×3＋c|＜10，即|3＋c|＜10且|8＋c|＜10，
即－10＜3＋c＜10且－10＜8＋c＜10，即－13＜c＜7且－18＜c＜2，即－13＜c＜2．
（3）题中不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分（含边界）所示，
且A(1，1)，B(0，4)，C(0，)，直线y＝a(x＋1)恒过点P(－1，0)，且斜率为a，
由斜率公式可知，，
若直线y＝a(x＋1)与图中阴影区域有公共点，结合图形可得≤a≤4．
【名师点睛】点与平面的位置关系主要有两种：点在区域内、点在区域外．
（1）点在区域内：将点的坐标代入不等式，不等式成立；
（2）点在区域外：将点的坐标代入不等式，不等式不成立．
平面区域的面积问题
求平面区域面积的步骤：
（1）画出不等式组表示的平面区域；
（2）判断平面区域的形状（三角形区域是比较简单的情况），求出各边界交点的坐标；
（3）若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中涉及距离问题时常常用到点到直线的距离公式．
（1）不等式组表示的平面区域的面积是____________；
（2）若不等式组表示的平面区域被直线y＝kx＋2分成面积相等的两部分，则k的值为____________．
【答案】（1）5；（2）．
【解析】（1）原不等式组等价于或．
分别作出以上两个不等式组表示的平面区域，如图1中阴影部分所示，
其中点A(0，1)，B(－2，3)，C(－2，－1)，D(1，0)，E(1，2)，
于是所求面积．
（2）显然直线y＝kx＋2恒过点(0，2)，不等式组表示的平面区域如图2中阴影部分所示，
易得A(，)，B(0，6)，C(0，2)．
方法2：因为不等式组表示的平面区域被直线y＝kx＋2分成面积相等的两部分，
所以点D为线段AB的中点，即D(，)，
故直线y＝kx＋2的斜率等于直线CD的斜率，所以k＝．

图1 图2
【名师点睛】解决含参的探索问题，关键是回归解析几何的本质特征上来，一方面要抓住平面区域的几何特征，另一方面要把握住直线的特征．
二元一次不等式组表示平面区域的实际应用
用平面区域来表示实际问题相关量的取值范围的步骤：
（1）根据问题的需要，选取起关键作用、关联较多的两个量用字母表示；
（2）把问题中所有的量都用这两个字母表示出来；
（3）由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式；
（4）把由这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来即可．
配制A，B两种药品，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药品需甲原料3 g、乙原料5 g；配一剂B种药品需甲原料5 g、乙原料4 g．今有甲原料20 g、乙原料25 g．若A，B两种药品至少各配一剂，问共有多少种不同的配制方法?
【答案】共有8种不同的配制方法．
【解析】设A，B两种药品分别配x剂、y剂（x，y）．由题意得下表：
甲原料
乙原料
A药品
3 g
5 g
B药品
5 g
4 g
合计
20 g
25 g
则．作出平面区域，如上图中阴影部分所示．
因为x，y，所以区域内的所有整点（横坐标、纵坐标都是整数的点）为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共8个，
所以在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法．
【名师点睛】（1）由实际问题构建不等式组时，必须考虑到所有的限制条件，不能遗漏；（2）寻找整数解的方法：先作出不等式（组）表示的平面区域，然后在其内部，取x（或y）为整数去寻找y（或x）的可能整数值来获取整数解．
忽略等号的含义而出错
画出不等式组表示的平面区域．
【错解】先画直线x＋y－3＝0和x－y－3＝0，取点(0，0)，代入x＋y－3，得－3＜0，
所以不等式x＋y－3≤0表示直线x＋y－3＝0左下方的点的集合（包括边界）．
取点(0，0)，代入x－y－3，得－3＜0，所以不等式x－y－3＜0表示直线x－y－3＝0左上方的点的集合．
所以不等式组表示的平面区域如图1中阴影部分所示．
【错因分析】错解中直线x－y－3＝0应画成虚线，且表示的平面区域画错，应为两个不等式表示的平面区域的公共部分．
【名师点睛】对于二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0，≥0，≤0)表示的平面区域，一定要明确每一个字母和符号的含义及对所表示的平面区域的影响，否则容易导致错误．
基础训练
1．不等式表示的平面区域在直线的
A．右上方 B．右下方
C．左上方 D．左下方
2．在平面直角坐标系中，可表示满足不等式的点的集合（用阴影部分来表示）的是
A B C D
3．已知点E(0，0)，F(1，1)，G(，0)，则在3x＋2y－1≥0表示的平面区域内的点是
A．E，F B．E，G
C．F，G D．F
4．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的左上方，则t的取值范围是
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(0，1)
6．曲线与直线围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是
A． B．
C． D．
7．不等式组表示的平面区域的面积是_______________．
8．若关于，的不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则实数的值为
_______________．
9．若不等式组表示的平面区域是一个三角形区域，则m的取值范围为_______________．
10．在平面直角坐标系中，画出下列二元一次不等式表示的平面区域：
（1）；
（2）；
（3）．

11．某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要和，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要和．又木工、漆工每天工作分别不得超过和．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
能力提升
12．若为不等式组表示的平面区域，则当从连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为
A． B．
C． D．
13．设集合A＝{(x，y)｜x，y，1－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是
14．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是
A． B．
C． D．或
15．若函数图象上存在点满足约束条件则实数的最大值为
A． B．
C． D．
16．已知不等式组表示的平面区域为，过区域中的任意一个点，作圆的两条切线且切点分别为、，当的面积最小时，的值为
A． B．
C． D．
17．点P(a，3)到直线4x－3y＋1＝0的距离等于4，且在不等式2x＋y＜3表示的平面区域内，则点P的坐标为______________．
18．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为______________．
19．若不等式组表示的平面区域为M，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y－a＝0扫过区域M中的那部分区域的面积为______________．
20．已知不等式组表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则的取值范围是_______________．
21．（1）画出不等式组所表示的平面区域，并求其面积；
（2）求不等式组所表示的平面区域的面积大小．

真题练习
22．（2019成都模拟）若x，y满足约束条件，则的最大值为_______________．
23．（2019天津模拟）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料．分别用x，y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数．用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
24．（2019山东模拟）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟）
广告播放时长（分钟）
收视人次（万）
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．

参考答案
1．【答案】B
【解析】易知点在直线的右下方，且点满足不等式，所以不等式表示的平面区域在直线的右下方．故选B．
4．【答案】B
【解析】不等式组表示的平面区域为如图所示的三角形ABC及其内部．可得，，，显然三角形的面积为．故选B．
5．【答案】B
【解析】对于直线x－2y＋4＝0，令x＝－2，则y＝1，则点(－2，1)在直线x－2y＋4＝0上，
又点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的左上方，则t＞1，故选B．
6．【答案】A
【解析】曲线与直线围成一个三角形区域，如下图中阴影部分所示：
所以表示该区域的不等式组是故选A．
7．【答案】
【解析】作出不等式组对应的平面区域，如下图中阴影部分所示：
所以平面区域的面积．
图1 图2
9．【答案】(0，2]∪(，＋∞)
【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(及其内部)所示．
作直线l：x＋y＝0，将l向上平移，当过点B(2，0)时，原不等式组仍围成一个含点B的三角形区域，此时0＜m≤2；将l向上平移至过点A(，)，当继续向上平移时，原不等式组围成一个含点A的三角形区域，此时m＞．综上，m的取值范围为(0，2]∪(，＋∞)．
10．【答案】见解析．
【解析】（1）表示的平面区域为如图（1）所示的阴影部分(不包括边界)．
（2）表示的平面区域为如图（2）所示的阴影部分(包括边界)．
（3）表示直线下方的区域，如图（3）所示的阴影部分(不包括边界)．
11．【答案】见解析．
分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件．
12．【答案】D
【解析】区域是如图中△及其内部，它的面积为，当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域为图中四边形，它的面积为．故选D．
13．【答案】A
【解析】由已知条件可得且，
即且，即，易得其表示的平面区域如选项A中的阴影部分所示．
14．【答案】D
15．【答案】B
【解析】由约束条件作出其可行域（如下图中阴影部分所示），由图可知当直线经过函数的图象与直线的交点时取得最大值，即得，解得，即的最大值为．故选B．
16．【答案】B
【解析】不等式组表示的平面区域为如下图所示的边界及内部的点，由图可知，当点在线段上，且时，的面积最小，这时，又，，所以则，所以，故选B．
18．【答案】
【解析】不等式组表示的平面区域是如图所示的及其内部，其中A(0，1)，B(－1，－2)，C，其面积等于．
19．【答案】
【解析】如图所示，M为所表示的区域，
而动直线x＋y＝a扫过M中的那部分区域为四边形BOCD，而B(－2，0)，O(0，0)，C(0，1)，D(，)，E(0，2)，为直角三角形．故．
20．【答案】
【解析】不等式组对应的可行域为直线围成的三角形区域，顶点为
，直线过定点，斜率为，当直线过点时斜率取得最大值，过点时斜率取得最小值，所以所求范围为．
21．【答案】见解析．
（2）可将原不等式组分解成如下两个不等式组：
①②
上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示，所围成的面积．
22．【答案】3
【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，表示平面区域内的点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1，3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3．
23．【答案】，平面区域见解析．
24．【答案】，平面区域见解析．
【思路分析】根据甲、乙连续剧总的播放时间不多于600分钟，可得，根据广告时间不少于30分钟，得到，根据甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，可得，同时注意，需满足，这一隐含条件，建立不等式组，画出平面区域．
【解析】由已知，满足的数学关系式为，即．
该二元一次不等式组所表示的平面区域为下图中阴影部分内的整点（包括边界）．