习题课5 天体运动
(教师用书独具)
[学习目标] 1.掌握解决天体运动问题的模型及思路.2.会分析人造卫星的变轨问题．
处理天体问题的基本思路及规律
1.天体问题的两步求解法
(1)建立一个模型：天体绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即：F万＝F向．
(2)写出两组等式：①＝m＝mω2r＝m2r＝ma；
②代换关系：天体表面＝mg，空间轨道上＝ma.
2．人造卫星的向心加速度、线速度、角速度、周期与半径的关系
【例1】 “嫦娥二号”环月飞行的高度为100 km，所探测到的有关月球的数据将比环月飞行高度为200 km的“嫦娥一号”更加详实．若两颗卫星环月的运行均可视为匀速圆周运动，运行轨道如图所示．则( )
A．“嫦娥二号”环月运行的周期比“嫦娥一号”大
B．“嫦娥二号”环月运行的线速度比“嫦娥一号”小
C．“嫦娥二号”环月运行的向心加速度比“嫦娥一号”大
D．“嫦娥二号”环月运行的向心力与“嫦娥一号”相等
C [根据万有引力提供向心力G＝m＝mr＝ma可得v＝，T＝，a＝，又“嫦娥一号”的轨道半径大于“嫦娥二号”的，所以“嫦娥二号”环月运行的周期比“嫦娥一号”小，故A错误；“嫦娥二号”环月运行的线速度比“嫦娥一号”大，B错误；“嫦娥二号”环月运行的向心加速度比“嫦娥一号”大，C正确；因不知道两卫星的质量大小关系，故不能判断受向心力的大小，所以D错误．]
本题是典型的万有引力在卫星运动中的应用，要熟练掌握万有引力的公式，重力加速度的计算公式，以及向心力的公式，理清这些量之间的关系是解决本题的关键.
1．如图所示是发射地球同步卫星的简化轨道示意图，先将卫星发射至距地面高度为h1的近地轨道Ⅰ上．在卫星经过A点时点火实施变轨，进入远地点为B的椭圆轨道Ⅱ上，最后在B点再次点火，将卫星送入同步轨道Ⅲ.已知地球表面重力加速度为g，地球自转周期为T，地球的半径为R，求
(1)近地轨道Ⅰ上的速度大小；
(2)远地点B距地面的高度．
[解析] (1)设地球的质量为M，卫星的质量为m，地球表面某物体的质量为m′，卫星在近地轨道Ⅰ上的速度为v1，在近地轨道Ⅰ上： ＝m ①
在地球表面：G＝m′g②
由①②得：v1＝
(2)设B点距地面高度是h2.
在同步轨道Ⅲ上：G＝m2(R＋h2)③
由②③得h2＝－R
[答案] (1) (2)－R
人造卫星的变轨问题
两类运动——稳定运行和变轨运行
卫星绕天体稳定运行时，＝m.当卫星速度v突然变化时，F万和m不再相等．当F万＞m时，卫星做近心运动；当F万＜m时，卫星做离心运动．
【例2】 (多选)如图所示，发射同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为同步圆轨道上的Q点)，到达远地点Q时再次变轨，进入同步轨道．设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆形转移轨道的近地点P点的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在同步轨道上的速率为v4，三个轨道上运动的周期分别为T1、T2、T3, 则下列说法正确的是( )
A．在P点变轨时需要加速，Q点变轨时要减速
B．在P点变轨时需要减速，Q点变轨时要加速
C．T1＜T2＜T3
D．v2＞v1＞v4＞v3
CD [卫星在椭圆形转移轨道的近地点P时做离心运动，所受的万有引力小于所需要的向心力，即G＜m，而在圆轨道时万有引力等于向心力，即G＝m，所以v2＞v1；同理，由于卫星在转移轨道上Q点做近心运动，可知v3＜v4，又由人造卫星的线速度v＝可知v1＞v4，由以上所述可知选项D正确；由于轨道半径R1＜R2＜R3，由开普勒第三定律＝k(k为常量)得T1＜T2＜T3，故选项C正确．]
由于人造地球卫星在轨道上运行时，所需要的向心力是由万有引力提供的，若由于某种原因，使卫星的速度增大，则所需要的向心力也必然会增加，而万有引力在轨道不变的时候，是不可能增加的，这样卫星由于所需要的向心力大于外界所提供的向心力而做离心运动.
2．如图所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．则( )
A．飞船在轨道Ⅰ上的运行速度为
B．飞船在A点处点火时，速度增加
C．飞船在轨道Ⅰ上运行时通过A点的加速度大于在轨道Ⅱ上运行时通过A点的加速度
D．飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为2π
D [据题意，飞船在轨道Ⅰ上运动时有：G＝m，经过整理得：v＝，而GM＝g0R2，代入上式计算得v＝，所以A选项错误；飞船在A点处点火使速度减小，飞船做靠近圆心的运动，所以飞船速度减小，B选项错误；据a＝可知，飞船两条运动轨迹的A点距地心的距离均相等，所以加速度相等，C选项错误；飞船在轨道Ⅲ上运行一周的时间为：G＝mR经过整理得T＝2π，所以D选项正确．]
1．我国四川汶川地区发生的里氏8.0级大地震，给四川人民造成了巨大的损失，同时由于道路损毁，通信中断，给救援工作带来了极大的困难，我国的“北斗一号”在抗震救灾工作中时刻发挥了定位通信等巨大作用，关于我国的“北斗一号”导航定位卫星，下列说法正确的是( )
A．定位于四川汶川震区正上方固定高度处
B．定位于赤道正上方固定高度处，是地球同步卫星
C．是极地轨道卫星，每天可多次经过震区上空
D．也能给美国提供卫星导航服务
B [我国的“北斗一号”导航定位卫星属于地球同步卫星，不可能定位于四川正上方，并且只能给我国及周边地区提供服务，没有能力给美国提供服务，故选项B正确，A、C、D均错误．]
2．探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( )
A．轨道半径变小 B．向心加速度变小
C．线速度变小 D．角速度变小
A [万有引力提供匀速圆周运动的向心力，由＝m＝mr2＝mrω2＝ma，得a＝，v＝，ω＝，T＝2π，所以轨道半径r变小，周期T变小，向心加速度a变大，线速度v变大，角速度ω变大，因此选项A正确．]
3．两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为TA∶TB＝1∶8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为( )
A．RA∶RB＝4∶1，vA∶vB＝1∶2
B．RA∶RB＝4∶1，vA∶vB＝2∶1
C．RA∶RB＝1∶4，vA∶vB＝1∶2
D．RA∶RB＝1∶4，vA∶vB＝2∶1
D [因为＝k，所以R∝由TA∶TB＝1∶8得RA∶RB＝1∶4又v＝所以vA∶vB＝·＝·＝2∶1故选D.]
4．一物体在地球表面重16 N，它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9 N，求此火箭离地球表面的距离为地球半径的多少倍？
[解析] 设此时火箭离地球表面高度为h
由牛顿第二定律得N－mg′＝ma①
在地球表面mg＝G＝16 ②
由此得m＝1.6 kg，代入 ①
得g′＝ ③
又因h处mg′＝G ④
由②④，得＝
代入数据，得h＝3R.
[答案] 3
重难强化训练(五)
(时间：40分钟 分值：90分)
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分．第1～6题为单选题，第7～10题为多选题．)
1．一颗小行星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径是地球公转半径的4倍，则这颗小行星的运行速率是地球运行速率的( )
A．4倍 B．2倍
C. D．16倍
C [小行星和地球绕太阳做匀速圆周运动的向心力都是由太阳对它们的引力提供的，由＝得，v＝，由此得＝，又r1＝4r2，所以C正确．]
2．“静止”在赤道上空的地球同步气象卫星把广阔视野内的气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料．设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法中正确的是( )
A．同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的倍
B．同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得的速度的倍
C．同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的倍
D．同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的倍
C [同步卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则G＝ma＝m＝mrω2＝mr，得同步卫星的运行速度v＝，又第一宇宙速度v1＝，所以＝＝，故A错误，C正确；a＝，g＝，所以＝＝，故D错误；同步卫星与地球自转的角速度相同，则v＝rω，v自＝Rω，所以＝＝n，故B错误．]
3．三颗人造地球卫星A、B、C在同一平面内沿不同的轨道绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，已知RA C [由G＝mω2r得ω＝，可知：ωA＞ωB＞ωC，在相同的时间内转过的角度θA＞θB＞θC，故C项正确．]
4．如图所示，宇宙飞船A在低轨道上飞行，为了给更高轨道的空间站B输送物资，它可以采用喷气的方法改变速度，从而达到改变轨道的目的，则以下说法正确的是( )
A．它应沿运行速度方向喷气，与B对接后运行周期变小
B．它应沿运行速度的反方向喷气，与B对接后运行周期变大
C．它应沿运行速度方向喷气，与B对接后运行周期变大
D．它应沿运行速度的反方向喷气，与B对接后运行周期变小
B [飞船由低轨道向高轨道运行时，需要提高在轨道上的运行速度，增加轨道高度才能使宇宙飞船A到达更高轨道与空间站B对接；由G＝mr可知，r增大，T变大，故B正确．]
5．如图所示，一飞行器围绕地球沿半径为r的圆轨道1运动．经P点时，启动推进器短时间向前喷气使其变轨，2、3是与轨道1相切于P点的可能轨道．则飞行器( )
A．变轨后将沿轨道2运动
B．相对于变轨前运行周期变长
C．变轨前、后在两轨道上经P点的速度大小相等
D．变轨前、后在两轨道上经P点的加速度大小相等
D [推进器短时间向前喷气，飞行器将被减速，故选项C错误；此时有G＞m，所以飞行器将做向心运动，即变轨后将沿较低轨道3运动，故选项A错误；根据开普勒第三定律可知，公转周期将变短，故选项B错误；由于变轨前、后在两轨道上经P点时，所受万有引力不变，因此加速度大小不变，故选项D正确．]
6．两个行星各有一个卫星绕其表面运行，已知两个卫星的周期之比为1∶2，两行星半径之比为2∶1，则下列选项正确的是( )
①两行星密度之比为4∶1 ②两行星质量之比为16∶1
③两行星表面处重力加速度之比为8∶1 ④两卫星的速率之比为4∶1
A．①② B．①②③
C．②③④ D．①③④
D [由T＝2π 、球体体积V＝πR3和质量公式M＝ρV，可知两卫星的轨道半径之比r1∶r2＝＝1∶2，且R1∶R2＝2∶1；故由v＝可得v1∶v2＝4∶1；ρ1∶ρ2＝4∶1；g1∶g2＝8∶1.]
7．一行星绕恒星做圆周运动，由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．恒星的质量为
B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为
D．行星运动的加速度为
ACD [由＝＝mr得M＝＝，A对；无法计算行星的质量，B错；r＝＝＝，C对；a＝ω2r＝ωv＝v，D对．]
8．土卫十和土卫十一是土星的两颗卫星，都沿近似为圆周的轨道绕土星运动，其参数如表：
卫星半径(m)
卫星质量(kg)
轨道半径(m)
土卫十
8.90×104
2.01×1018
1.51×108
土卫十一
5.70×104
5.60×1017
1.51×108
两卫星相比，土卫十( )
A．受土星的万有引力较大
B．绕土星做圆周运动的周期较大
C．绕土星做圆周运动的向心加速度较大
D．动能较大
AD [由G＝mr可知在二者轨道半径r相等的情况下，周期T也相等，而向心加速度a＝r，故a相等．较土卫十一而言，土卫十质量大，因此其受土星的万有引力G大，动能mv2也大．]
9．在太阳系中有一颗行星的半径为R，若在该星球表面以初速度v0竖直向上抛出一物体，则该物体上升的最大高度为H.已知该物体所受的其他力与行星对它的万有引力相比较可忽略不计，万有引力常量为G.则根据这些条件，可以求出的物理量是( )
A．该行星的密度
B．该行星的自转周期
C．该星球表面的重力加速度
D．该行星表面附近运行的卫星的周期
ACD [根据物体竖直上抛的运动规律得v＝2gH，由此可求出该星球表面的重力加速度g，选项C正确．行星表面物体的重力等于万有引力G＝mg，所以可求行星的质量M＝，由行星的半径可求行星的体积，所以可进一步求得密度，选项A正确．对行星表面附近运行的卫星，重力等于万有引力，又等于其圆周运动的向心力，即G＝mg＝mR，所以可求出卫星的运动周期，选项D正确．行星的自转周期没有依据可求，故本题正确选项为A、C、D.]
10．我国自主研制的探月卫星在奔月旅途中，先后完成了一系列高难度的技术动作．探月卫星沿地月转移轨道到达月球附近，在P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道绕月飞行，如图所示，若卫星的质量为m，远月点Q距月球表面的高度为h，运行到Q点时它的角速度为ω、加速度为a，月球的质量为M、半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则卫星在远月点时，月球对卫星的万有引力大小为( )
A. B．ma
C. D．m(R＋h)ω2
BC [由万有引力定律得，月球对卫星的万有引力F＝，又因GM＝gR2，所以，有F＝，选项C对、A错．由牛顿第二定律得万有引力F＝ma，选项B对．对椭圆轨道向心力公式F＝mω2r不成立，选项D错．]
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11．(14分)已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T、轨道半径为r，地球表面的重力加速度大小为g，试求出地球的密度(引力常量G为已知量)．
[解析] 由月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，可分析得：G＝mr，解得地球质量M＝
由地球表面重力加速度g＝G，解得R＝
又地球密度为ρ＝，V＝πR3
从而由各式联立解得：ρ＝.
[答案]
12．(16分)某宇宙飞船由运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道，在B点实施变轨后，再进入预定圆轨道，如图所示．已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，近地点A距地面高度为h1，地球表面重力加速度为g，地球半径为R.求：
(1)飞船在近地点A的加速度aA为多大？
(2)远地点B距地面的高度h2为多少？
[解析] (1)设地球质量为M，飞船的质量为m，在A点飞船受到的地球引力为F＝G，地球表面的重力加速度g＝G
由牛顿第二定律得aA＝＝＝.
(2)飞船在预定圆轨道飞行的周期T＝
由牛顿第二定律得G＝m2(R＋h2)
解得h2＝－R.
[答案] (1) (2)－R
