第3节 功率
学 习 目 标
知 识 脉 络(教师用书独具)
1.理解功率的概念．(重点)
2．理解功率的导出公式P＝Fv的物理意义，并能利用导出公式解释有关现象，分析解决简单的机车起动问题．(重点、难点)
3．了解平均功率和瞬时功率的区别和联系．(重点)
一、功率的含义
1．定义：物体所做的功W与完成这些功所用时间t的比值．
2．公式：定义式为P＝.
3．物理意义：功率是表示做功快慢的物理量，功率大表示做功快，即单位时间内做功多．
4．单位：功率在国际单位制中用瓦特表示，简称瓦，符号为W,1 W＝ 1 J/s.
二、功率与力、速度的关系
1．关系式
当力的方向与物体的运动方向相同时，P＝Fv.
2．公式P＝Fv中各物理量间的关系
(1)功率P一定时，物体的运动速度v与牵引力F成反比．
(2)物体的运动速度v一定时，功率P与牵引力F成正比．
(3)牵引力F一定时，功率P与物体的运动速度v成正比．
3．四种功率
平均功率
P＝求的是t时间内的平均功率；P＝Fvcos α中，若v为平均速度，则P就是平均功率
瞬时功率
P＝Fvcos α中，若v为瞬时速度，则P为瞬时功率
额定功率
机械长时间工作时的最大允许功率
实际功率
机械实际工作时消耗的功率，实际功率可小于或等于额定功率，但不能大于额定功率
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)功率大表示做功快，做的功一定多． (×)
(2)功率小的机器做功慢． (√)
(3)速度大的运动物体功率一定大． (×)
(4)汽车的速度越大，功率一定越大． (×)
(5)机械发动机铭牌上的功率指实际功率． (×)
(6)机车发动机的功率是指牵引力的功率． (√)
2．下列关于功率的说法，正确的是( )
A．力对物体做的功越多，功率就越大
B．做功时间短的机械功率大
C．完成相同的功，用的时间越长，功率越大
D．功率大的机械在单位时间内做的功会更多
D [功率与做功多少没有必然的联系，选项A、B错误；完成相同的功，用时越长，功率越小，选项C错误；故选D.]
3．下列关于功率的说法中正确的是( )
A．由P＝知，力做的功越多，功率越大
B．由P＝Fv知，物体运动得越快，功率越大
C．由W＝Pt知，功率越大，力做的功越多
D．由P＝Fvcos α知，某一时刻，即使力和速度都很大，但功率不一定大
D [在公式P＝中，只有P、W、t中两个量确定后，第三个量才能确定，故选项A、C错误；在P＝Fv中，P与F、v有关，故选项B错误；在P＝Fvcos α中，P还与α有关，故选项D正确．]
功率的含义
1.功是能量转化的量度，而功率表示做功的快慢，所以从能量转化的角度看，功率也是反映能量转化快慢的物理量．
2．功率是标量，虽然功率也有正负之分，但功率的正负只是用来表示是动力做功的功率还是阻力做功的功率，在应用中一般不强调功率的正负．
3．功率的计算公式P＝适用于任何情况下的功率计算，求得的功率是这段时间t内的平均功率，但在这段时间内功率可能是变化的．
【例1】 如图所示，在光滑的水平面上，质量m＝3 kg的物体，在水平拉力F＝6 N的作用下，从静止开始运动，经过3 s运动了9 m．求：
(1)力F在3 s内对物体所做的功；
(2)力F在3 s内对物体做功的平均功率；
(3)在3 s末，力F对物体做功的瞬时功率．
思路点拨：解答本题可按以下思路分析：
(1)确定力F作用下对应的物体位移．
(2)求解3 s末物体的瞬时速度，由瞬时功率计算式求瞬时功率．
[解析] (1)根据功的定义式W＝Fs得，
力F在3 s内对物体做的功为W＝6×9 J＝54 J.
(2)由功率的定义式P＝得，力F在3 s内对物体做功的平均功率为P＝ W＝18 W.
(3)在3 s末，物体的速度为v，由运动学公式s＝·t可知，v＝＝6 m/s.因此，力F在3 s末对物体做功的瞬时功率为P＝Fv＝6×6 W＝36 W.
[答案] (1)54 J (2)18 W (3)36 W
功率的理解
1．功率表示做功的快慢，与做功的多少没有关系．
2．应用公式P＝求得的功率一般是平均功率．
3．如果Δt时间内做的功是ΔW，那么当Δt很短很短时，P＝表示瞬时功率．
1．如图所示，质量m＝2 kg的物块在倾角α＝37°的光滑固定斜面顶端由静止滑下，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)前2 s内重力做的功；
(2)前2 s内重力的平均功率；
(3)2 s末重力的瞬时功率．
[解析] (1)对物块受力分析如图所示，F合＝mgsin α
由牛顿第二定律F＝ma得：
a＝gsin α＝10×0.6 m/s2＝6 m/s2
前2 s内物块的位移
s＝at2＝×6×22 m＝12 m
前2 s内重力做的功W＝mgs·sin α＝2×10×12×0.6 J＝144 J.
(2)重力在前2 s内的平均功率＝＝ W＝72 W.
(3)物块2 s末的速度v＝at＝6×2 m/s＝12 m/s，
重力在2 s末的瞬时功率
P＝mgvsin α＝2×10×12×0.6 W＝144 W.
[答案] (1)144 J (2)72 W (3)144 W
功率与力、速度的关系
1.关系式P＝Fv中各物理量间的关系
(1)同体关系．关系式P＝Fv中的P、F、v是对应于同一个物体的三个物理量，对于不在同一物体上的情况没有意义．
(2)同时关系．P、F、v三个量中任意一个物理量都是可以变化的，应用关系式P＝Fv进行分析时，这三个物理量一定要对应于运动物体的同一时刻．
(3)同向关系．F、v是两个矢量，必须具有相同的方向，若二者方向不同，成一定夹角α时，该关系式变形为P＝Fvcos α.
2．机车启动的两种方式
(1)机车以恒定功率起动的运动过程
这一起动过程的v-t关系图象如图所示．
①只有当机车的牵引力与所受阻力大小相等时，机车才能达到最大速度，即vmax＝＝.
②在加速过程中，加速度是逐渐减小的，如果知道某时刻的速度，就可求得此时刻的加速度．
(2)机车以恒定加速度起动的运动过程
这一起动过程的v-t关系图象如图所示．
①由牛顿第二定律得F－f＝ma，所以牵引力F＝f＋ma定，当P＝P额时，匀加速运动的最大速度vmax′＝＝.
②由vmax′＝a定t′得，匀加速运动持续的时间t′＝＝.
【例2】 某汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车质量为5 t，汽车在运动中所受阻力的大小恒为车重的0.1倍，g取10 m/s2.
(1)若汽车以额定功率启动，则汽车所能达到的最大速度是多少？当汽车的速度为5 m/s时，其加速度是多少？
(2)若汽车以恒定的加速度0.5 m/s2启动，则这一过程能维持多长时间？
思路点拨：解答有关机车的启动问题，关键是能够正确理解机车启动过程中各个物理量的相互制约关系．
[解析] (1)当汽车的加速度为零时，汽车的速度v达到最大值vm，故最大速度为vm＝＝ m/s＝12 m/s
由P＝Fv，F－f＝ma可得速度v＝5 m/s时加速度为
a＝＝－＝ m/s2＝1.4 m/s2.
(2)汽车以0.5 m/s2的加速度做匀加速运动所能达到的最大速度为
vm′＝＝＝ m/s＝8 m/s
由于这一过程中汽车做匀加速直线运动，满足vm′＝v0＋a′t，
故这一过程能维持的时间为t＝＝ s＝16 s.
[答案] (1)12 m/s 1.4 m/s2 (2)16 s
机车起动的几个问题
1．机车的最大速度vmax的求法，机车达到匀速前进时速度最大，此时牵引力F等于阻力f，故vmax＝＝.
2．匀加速启动最长时间的求法，牵引力F＝ma＋f，匀加速的最后速度vmax′＝，时间t＝.
3．瞬时加速度的求法，据F＝求出牵引力，则加速度a＝.
2．在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW，质量为10 t，设阻力恒定，且为车重的0.1倍，求：(g取10 m/s2)
(1)汽车在运动过程中所能达到的最大速度．
(2)若汽车以0.5 m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
(3)若汽车以额定功率从静止启动后，当汽车的加速度为2 m/s2时，速度多大？
[解析] (1)当汽车速度最大时，a1＝0，F1＝f，P＝P额
故vmax＝＝ m/s＝10 m/s.
(2)汽车从静止开始做匀加速直线运动的过程中，a2不变，v变大，P也变大，当P＝P额时，此过程结束．
F2＝f＋ma2＝(0.1×104×10＋104×0.5) N＝1.5×104 N
v2＝＝ m/s≈6.7 m/s
则t＝＝ s＝13.4 s.
(3)F3＝f＋ma3＝(0.1×104×10＋104×2) N＝3×104 N
v3＝＝ m/s≈3.3 m/s.
[答案] (1)10 m/s (2)13.4 s (3)3.3 m/s
1．当两台机器正常工作时，相同时间内，功率大的机器一定比功率小的机器( )
A．做功多 B．做功少
C．效率高 D．以上都不对
A [功率反映了机器做功的快慢．在数值上等于单位时间内机器所做的功，功率与功之间满足关系式W＝Pt，若时间t相同，则功率P大的机器做功多，选项A正确，其他选项均错．]
2．(多选)有关额定功率和实际功率的理解，正确的是 ( )
A．动力机械铭牌上标明的是该机械的实际功率
B．额定功率是动力机械工作时必须保持的稳定功率
C．在较短的时间内，实际功率可以大于额定功率
D．在较长的时间内，实际功率可以小于额定功率
CD [动力机械铭牌上标明的是机械的额定功率，A错误．额定功率是机械正常工作时的最大功率，但机械工作时实际功率可以小于额定功率，B错误．在工作时，机械可以短时间超过额定功率工作，长时间工作必须小于或等于额定功率，C、D正确．]
3．如图所示，在光滑的水平面上放着一个质量为10 kg的木箱，拉力F与水平方向成60°角，F＝2 N．木箱从静止开始运动，4 s末拉力的瞬时功率为( )
A．0.2 W B．0.4 W
C．0.8 W D．1.6 W
B [木箱的加速度a＝＝0.1 m/s2,4 s末的速度v＝at＝0.4 m/s，则瞬时功率P＝Fvcos α＝0.4 W，B正确．]
4．假定额定功率为80 kW的汽车，在平直的公路上行驶的最大速度为20 m/s，汽车质量为2×103 kg，如果汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度为2 m/s2，运动过程中阻力不变，求：
(1)汽车所受的恒定阻力大小；
(2)汽车匀加速运动的最长时间．
[解析] (1)依题意：当汽车达到最大速度时，F牵＝f
则：P额＝fvm
得：f＝＝4×103 N.
(2)在匀加速阶段：据牛顿第二定律有：
F牵－f＝ma
得：F牵＝f＋ma＝8×103 N
当汽车达到额定功率时：P额＝F牵v
得：v＝＝10 m/s
匀加速时间：t＝＝5 s.
[答案] (1)4×103 N (2)5 s
课件46张PPT。第1章 功和功率第3节 功率W比值快慢瓦特瓦Fv反比正比正比等于平均功率平均速度瞬时速度最大小于 √×√×××功率的含义功率与力、速度的关系点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三)
[基础达标练]
(时间：15分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．某同学进行体能训练，用100 s跑上了20 m高的高楼，试估测他登楼时的平均功率最接近的数值是( )
A．10 W B．100 W
C．1 kW D．10 kW
B [本题是一道实际生活中求平均功率的估算题，要求对该同学的质量大小要有比较切合实际的估计，设人的质量m＝50 kg，则有＝＝ W＝100 W．故正确答案为B.]
2．(多选)质量为3 kg的物体，从高45 m处自由落下(g取10 m/s2)，那么在下落的过程中( )
A．前2 s内重力做功的功率为300 W
B．前2 s内重力做功的功率为675 W
C．第2 s末重力做功的功率为600 W
D．第2 s末重力做功的功率为900 W
AC [前2 s物体下落h＝ gt2＝20 m，重力做功的功率P1＝＝300 W，A对，B错；2 s末物体的速度v＝gt＝20 m/s，此时重力的功率P2＝mgv＝600 W，C对，D错．]
3．某人用同一水平力F先后两次拉同一物体，第一次使此物体沿光滑水平面前进l距离，第二次使此物体沿粗糙水平面也前进l距离，若先后两次拉力做的功为W1和W2，拉力做功的功率是P1和P2，则( )
A．W1＝W2，P1＝P2 B．W1＝W2，P1＞P2
C．W1＞W2，P1＞P2 D．W1＞W2，P1＝P2
B [由于拉力相同而又通过相同的位移，根据W＝Fl可知拉力对物体做的功一样多，但由于沿光滑水平面前进l距离所用时间短，所以P1＞P2，故B正确．]
4．一个质量为m的小球做自由落体运动，那么，在前t秒内重力对它做功的平均功率P及在t秒末重力做功的瞬时功率P分别为(t秒末小球未着地)( )
A．P＝mg2t2，P＝mg2t2
B．P＝mg2t2，P＝mg2t2
C．P＝mg2t，P＝mg2t
D．P＝mg2t，P＝2mg2t
C [前t秒内重力做功的平均功率
P＝＝＝mg2t
t秒末重力做功的瞬时功率
P＝Fv＝mg·gt＝mg2t.
故C正确．]
5．一辆小车在水平面上做匀速直线运动，从某时刻起，小车所受牵引力和阻力随时间变化的规律如图所示，则作用在小车上的牵引力F的功率随时间变化的规律是下图中的( )
D [车所受的牵引力和阻力恒定，所以车做匀加速直线运动，牵引力的功率P＝Fv＝F(v0＋at)，故选项D正确．]
6．汽车由静止开始运动，若要使汽车在开始运动后一小段时间内保持匀加速直线运动，则( )
A．不断增大牵引力和牵引力的功率
B．不断减小牵引力和牵引力的功率
C．保持牵引力不变，不断增大牵引力功率
D．不能判断牵引力功率怎样变化
C [汽车保持匀加速直线运动，所受合力不变，其中牵引力也不变，但速度增大，牵引力的功率增大，C对，A、B、D错．]
二、非选择题(14分)
7．质量为m＝5×103 kg的汽车在水平公路上行驶，阻力是车重的0.1倍．让汽车保持额定功率为60 kW，从静止开始行驶．
(1)若以额定功率起动，求汽车达到的最大速度vm，及汽车车速v1＝2 m/s时的加速度；
(2)若汽车以v2＝6 m/s的速度匀速行驶，求汽车的实际功率．(g取10 m/s2)
[解析] (1)由P＝Fv＝fvm得
vm＝＝＝ m/s＝12 m/s.
由P＝Fv得F＝，当v1＝2 m/s时
F1＝＝ N＝3×104 N
由牛顿第二定律得F1－f＝ma，所以
a＝＝ m/s2
＝5 m/s2.
(2)P＝fv2＝μmgv2＝0.1×5×103×10×6 W
＝3×104 W＝30 kW.
[答案] (1)12 m/s 5 m/s2 (2)30 kW
[能力提升练]
(时间：25分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．从同一高度将质量相等的A、B两小球以大小不同的初速度水平抛出．A、B两小球抛出后落至同一水平地面，若落地瞬间，两小球所受重力的功率分别为PA、PB，不计空气阻力，则( )
A．PA>PB B．PA
C．PA＝PB D．无法判断
C [根据P＝Fvcos α，注意到落地瞬间的vcos α可以理解成平抛运动瞬时速度的竖直分速度，由于两球质量相同，因此重力相同；两球下落高度相同，落地时的竖直分速度相同，因此重力的瞬时功率相等，C正确．]
2．一质量为m的木块静止在光滑的水平面上，从t＝0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上，在t＝T时刻F的功率是( )
A. B.
C. D.
B [木块加速度a＝，t＝T时速度v＝aT＝，瞬时功率P＝Fv＝.]
3．飞行员进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，到达竖直状态的过程中(如图所示)，飞行员所受重力的瞬时功率的变化情况是( )
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
C [对飞行员受力及运动分析如图所示，在A位置，飞行员受重力但速度为零，所以P＝mgv＝0；在B位置，飞行员受重力mg，速度为v，α＝90°，所以P＝Fvcos α＝0；在A、B之间的任意位置C,0°<α<90°.由P＝Fvcos α知P为一个大于零的数值，所以运动员所受重力的瞬时功率的变化情况是先增大后减小．
]
4．(多选)如图所示为汽车在水平路面上起动过程中的速度图象，Oa为过原点的倾斜直线，ab段表示以额定功率行驶时的加速阶段，bc段是与ab段相切的水平直线，则下述说法正确的是( )
A．0～t1时间内汽车做匀加速运动且功率恒定
B．t1～t2时间内汽车牵引力逐渐减小
C．t1～t2时间内的平均速度为(v1＋v2)
D．在全过程中t1时刻的牵引力及其功率都是最大值，t2～t3时间内牵引力最小
BD [由题图可知，0～t1时间内汽车做匀加速直线运动，牵引力恒定，由P＝F·v可知，汽车的功率均匀增大，A错误；t1～t2时间内汽车以额定功率行驶，速度逐渐增大，牵引力逐渐减小，B正确；因t1～t2时间内，ab图线与t轴所围面积大于ab直线与t轴所围面积，故该过程中的平均速度大于(v1＋v2)，C错误；0～t1时间内，牵引力恒定，功率均匀增大，t1时刻以后牵引力逐渐减小，到t2时刻牵引力等于阻力，达到最小，而t1时刻达到额定功率后，功率保持不变，D正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)如图所示，质量为2 kg的物体在大小为24 N、沿斜面向上的力F作用下，由静止开始沿光滑斜面体向上运动，斜面的倾角为30°，斜面足够长(g取10 m/s2)．求：
(1)5 s内拉力对物体做功的功率；
(2)5 s末拉力对物体做功的功率；
(3)5 s末物体克服重力做功的功率．
[解析] 物体在斜面上运动的加速度大小
a＝＝ m/s2＝7 m/s2
5 s内发生的位移s＝at2＝×7×52 m
＝87.5 m
5 s末物体的速度v1＝at＝35 m/s
5 s内拉力做的功
W＝F·s＝24×87.5 J＝2 100 J
5 s内拉力做功的功率P＝＝420 W
5 s末拉力做功的功率P5＝F·v1＝24×35 W＝840 W
5 s末物体克服重力做功的功率P′＝mgv1sin 30°＝20×35× W＝350 W.
[答案] (1)420 W (2)840 W (3)350 W
6．(14分)近年来，被称为“绿色环保车”的电动车成了不少市民购买的首选，电动车在出厂时都要进行检测，在检测某款电动车性能的实验中，质量为8×102 kg的电动车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为15 m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻电动车的牵引力F与对应的速度v，并描绘出F-图象，如图所示(图中AB、BO均为直线)．假设电动车行驶中所受阻力恒定，求此过程中：
(1)电动车的额定功率；
(2)电动车由静止开始运动，经过多长时间，速度达到2 m/s?
[解析] 由F-图象知，AB段对应电动车加速过程中保持牵引力F＝2 000 N恒定不变，即做匀加速直线运动；BO段中直线的斜率k＝＝Fv保持恒定不变，对应电动车在这一阶段以额定功率加速行使．
(1)当电动车达到最大速度vmax＝15 m/s时，电动车的牵引力F＝f＝400 N，其中f为地面对电动车的阻力．
所以电动车的额定功率
P＝fvmax＝400×15 W＝6 000 W.
(2)电动车匀加速行使过程中的加速度
a＝＝ m/s2＝2 m/s2，
电动车刚达到额定功率时，其速度
v＝＝ m/s＝3 m/s，
之后它将做加速度减小的变加速运动．
故当电动车的速度v′＝2 m/s时，正处于匀加速阶段，则这一过程所用时间t＝＝ s＝1 s.
[答案] (1)6 000 W (2)1 s
