习题课1 功和功率的计算
(教师用书独具)
[学习目标] 1.掌握变力做功的计算方法.2.进一步加强对功率的理解和计算．
变力做功的计算
求变力做功的四种常用方法
1．平均值法：当力F的大小发生变化，且F、l成线性关系时，F的平均值＝，用计算F做的功．
2．图象法：变力做的功W可用F-l图线与l轴所围成的面积表示．l轴上方的面积表示力对物体做正功的多少，l轴下方的面积表示力对物体做负功的多少．
3．分段法(或微元法)：当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可，力做的总功W＝Fs路或W＝－Fs路．空气阻力和滑动摩擦力做功可以写成力与路程的乘积就是这个原理．
4．等效替换法：若某一变力做的功和某一恒力做的功相等，则可以用求得的恒力的功来替代变力做的功．
【例1】 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比．在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1 cm.问击第二次时，能击入多深？(设铁锤每次做功相等)
思路点拨：根据阻力与深度成正比的关系，将变力求功转化为平均力求功．达到化变力为恒力的目的．
[解析] 法一：铁锤每次击打都用来克服铁钉阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F＝kx，可用平均阻力来代替．
如图所示，第一次击入深度为x1，平均阻力1＝kx1，做功为W1＝1x1＝kx.
第二次击入深度为x1到x2，平均阻力2＝k(x2＋x1)，位移为x2－x1，做功为W2＝2(x2－x1)＝k(x－x)．
两次做功相等，W1＝W2，
可解得：x2＝x1≈1.41 cm，
Δx＝x2－x1＝0.41 cm.
法二：(图象法)因为阻力F＝kx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F-x图象(如图所示)，图线与横轴所围成的面积的值等于F对铁钉做的功．
由于两次做功相等，故有：
S1＝S2(面积)，即：
kx＝k(x2＋x1)(x2－x1)，
所以Δx＝x2－x1≈0.41 cm.
[答案] 0.41 cm
求变力做功的方法很多，不同方法各有优点.同一道题目可用的方法并非一样.要在训练中掌握求解变力做功的基本方法，并将这些方法融会贯通，做到举一反三.
1．如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道，槽道由半径分别为和R的两个半圆构成．现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力F所做的功为( )
A．0 B．FR
C.πFR D．2πFR
C [在拉动的过程中，力F的方向总是与速度同向，用微元法的思想，在很小的一段位移内力F可以看成恒力，小球路程为，由此得W＝πFR，C正确．]
功率的理解和计算
公式P＝与P＝Fυ的理解与应用
定义式P＝
计算式P＝Fv
(1)P＝是功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，既适用于合力或某个力做功时功率的计算，也适用于恒力或变力做功时功率的计算
(2)P＝表示时间t内的平均功率，只有当物体做匀速运动时，才等于瞬时功率
(1)P＝Fv是由W＝Fs及P＝联立导出的，体现了P、F、v三个量的制约关系
(2)P＝Fv通常用来计算某一时刻或某一位置的瞬时功率，此时v是瞬时速度；若v是某段时间内的平均速度，则计算的是该段时间内的平均功率
(3)该式成立的条件是F、v同向，若不同向，应用P＝Fvcos α进行计算，其中α是F与v之间的夹角
【例2】 质量m＝3 kg的物体，在水平力F＝6 N的作用下，在光滑水平面上从静止开始运动，运动时间t＝3 s，求：
(1)力F在t＝3 s内对物体所做功的平均功率；
(2)在3 s末力F对物体做功的瞬时功率．
[解析] (1)物体的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2
t＝3 s内物体的位移s＝at2＝×2×32 m＝9 m
3 s内力F所做的功W＝Fs＝6×9 J＝54 J
力F做功的平均功率P＝＝ W＝18 W
(2)3 s末物体的速度v＝at＝2×3 m/s＝6 m/s
此时力F做功的瞬时功率P＝Fv＝6×6 W＝36 W.
[答案] (1)8 W (2)36 W
2．质量为2 kg的物体做自由落体运动，经过2 s落地．取g＝10 m/s2.关于重力做功的功率，下列说法正确的是( )
A．下落过程中重力的平均功率是400 W
B．下落过程中重力的平均功率是100 W
C．落地前的瞬间重力的瞬时功率是400 W
D．落地前的瞬时重力的瞬时功率是200 W
C [物体2 s内下落的高度为h＝gt2＝20 m，落地时的速度为v＝gt＝20 m/s，所以下落过程中重力的平均功率是＝mg＝200 W，落到地面前的瞬间重力的瞬时功率是P＝mgv＝400 W，选项C正确．]
1．汽车上坡的时候，司机一般需要换挡，其目的是( )
A．减小速度，得到较小的牵引力
B．增大速度，得到较小的牵引力
C．减小速度，得到较大的牵引力
D．增大速度，得到较大的牵引力
C [汽车上坡时，汽车的牵引力除了需要克服阻力以外，还要克服重力沿斜坡向下的分力，所以需要增大牵引力，由F＝知，在P一定时，要增大牵引力，必须减小速度，故C正确．]
2．如图所示，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F，与磨杆始终垂直，作用点到轴心的距离为r，磨盘绕轴缓慢转动．则在转动一周的过程中推力F做的功为( )
A．0 B．2πrF
C．2Fr D．－2πrF
B [磨盘转动一周，力的作用点的位移为0，但不能直接套用W＝Fscos α求解，因为在转动过程中推力F为变力．我们可以用微元的方法来分析这一过程．由于F的方向在每时刻都保持与作用点的速度方向一致，因此可把圆周划分成很多小段来研究，如图所示，当各小段的弧长Δsi足够小(Δsi→0)时，F的方向与该小段的位移方向一致，所以有：WF＝F·Δs1＋F·Δs2＋F·Δs3＋…＋F·Δsi＝F·2πr＝2πrF(这等效于把曲线拉直)．]
3．某车以相同功率在两种不同的水平路面上行驶，受到的阻力分别为车重的k1和k2倍，最大速率分别为v1和v2，则( )
A．v2＝k1v1 B．v2＝v1
C．v2＝v1 D．v2＝k2v1
B [以相同功率在两种不同的水平路面上行驶达最大速度时，有F＝Ff＝kmg；由P＝Fv可知最大速度vm＝＝，则＝＝，故v2＝v1，选项B正确．]
4．质量为M的木板放在光滑水平面上，如图所示，一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至B点，在木板上前进了l，同时木板前进了x，若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，求摩擦力对滑块、对木板所做的功各为多少？滑动摩擦力对滑块、木板做的总功为多少？
[解析] 由题图可知，木板的位移为lM＝x时，滑块的位移为lm＝l＋x，m与M之间的滑动摩擦力Ff＝μmg.
由公式W＝Flcos α可得，摩擦力对滑块所做的功为Wm＝μmglmcos 180°＝－μmg(l＋x)，负号表示做负功．摩擦力对木板所做的功为WM＝μmglM＝μmgx.
滑动摩擦力做的总功为W＝Wm＋WM＝－μmg(l＋x)＋μmgx＝－μmgl.
[答案] －μmg(l＋x) μmgx －μmgl
重难强化训练(一)
(教师用书独具)
(时间：40分钟 分值：100分)
一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分．第1～6题为单选题，第7～10题为多选题．)
1．一个小球做自由落体运动，在第1 s内重力做功为W1，在第2 s内重力做功为W2；在第1 s末重力的瞬时功率为P1，在第2 s末重力的瞬时功率为P2，则W1∶W2及P1∶P2分别等于( )
A．1∶1,1∶1 B．1∶2,1∶3
C．1∶3,1∶2 D．1∶4,1∶2
C [由W＝Fscos α知，W1＝mgh1＝mg·gt，W2＝mg所以W1∶W2＝1∶3；由P＝Fv知P1＝mgv1＝mg·gt1，P2＝mgv2＝mg·gt2，所以P1∶P2＝1∶2，选项C正确．]
2．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在力F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(g取10 m/s2)( )
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．4 s末F的功率大小为42 W
C．F的大小为21 N
D．4 s内F做功的平均功率为42 W
B [由速度—时间图象可得加速度a＝0.5 m/s2；由牛顿第二定律：2F－mg＝ma，F＝＝10.5 N；4 s末F的功率P＝F·2v＝10.5×2×2 W＝42 W；4 s内F做功的平均功率 ＝＝＝ W＝21 W．]
3．一辆汽车在水平公路上行驶，设汽车在行驶过程中所受阻力不变，汽车的发动机始终以额定功率输出．关于牵引力和汽车速度，下列说法中正确的是( )
A．汽车加速行驶时，牵引力不变，速度增大
B．汽车加速行驶时，牵引力增大，速度增大
C．汽车匀速行驶时，牵引力减小，速度不变
D．当牵引力等于阻力时，速度达到最大值
D [汽车的发动机输出功率恒定，即P一定，则由公式P＝Fv可得出v增大，此时F减小，但由于合外力方向与汽车运动方向一致，因此汽车速度仍在增大；当汽车受到的牵引力和阻力相等时，汽车速度达到最大值，而后做匀速直线运动．故D正确．]
4．如图甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆，则小物块运动到x0处时F做的总功为( )
A．0 B.Fmx0
C.Fmx0 D.x
C [F为变力，但F-x图象包围的面积在数值上表示拉力做的总功．由于图线为半圆，又因在数值上Fm＝x0，故W＝πF＝π·Fm·x0＝Fmx0.]
5．一根质量为M的直木棒，悬挂在O点，有一只质量为m的猴子抓着木棒，如图所示．剪断悬挂木棒的细绳，木棒开始下落，同时猴子开始沿木棒向上爬．设在一段时间内木棒沿竖直方向下落，猴子对地的高度保持不变，忽略空气阻力，则如图所示的四个图象中能正确反映在这段时间内猴子做功的功率随时间变化的关系的是( )
B [猴子对地的高度不变，所以猴子受力平衡．设猴子的质量为m，木棒对猴子的作用力为F，则有F＝mg，设木棒重力为Mg，则木棒受合外力为F＋Mg＝Mg＋mg，根据牛顿第二定律得Mg＋mg＝Ma，可见a是恒量，t时刻木棒速度v＝at，猴子做功的功率P＝mgv＝mgat，P与t为正比例关系，故B正确．]
6．物体在水平拉力F作用下，沿x轴方向由坐标原点开始运动，设拉力F随x的变化分别如图甲、乙、丙所示，其中图甲为一半圆图形，对应拉力做功分别为W甲、W乙、W丙，则以下说法正确的是( )
A．W甲＞W乙＞W丙 B．W甲＞W乙＝W丙
C．W甲＝W乙＝W丙 D．无法比较它们的大小
B [拉力F为变力，其对物体做的功一定等于F-x图线与x轴所围的面积，由图可以看出，W甲＝Fmx0，W乙＝Fmx0，W丙＝Fmx0，所以W甲＞W乙＝W丙，B正确．]
7．竖直上抛一球，球又落回原处， 已知空气阻力的大小正比于球的速度，下列说法中正确的是( )
A．上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功
B．上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功
C．上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力做功的平均功率
D．上升过程中克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力做功的平均功率
BC [假设物体质量为m，上升的高度为h，物体上升过程中克服重力做的功以及下降过程中重力做的功相等．由于空气阻力的作用，物体上升过程的加速度大于下降过程的加速度，根据匀变速直线运动的规律可得t＝，所以上升过程用的时间比较少，故上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力做功的平均功率．B、C正确．]
8．一辆质量为m的轿车，在平直公路上运行，启动阶段轿车牵引力保持不变，而后以额定功率继续行驶，经过一定时间，其速度由零增大到最大值vm，若所受阻力恒为Ff.则关于轿车的速度v、加速度a、牵引力F、功率P的图象正确的是( )
ACD [由于启动阶段轿车受到的牵引力不变，加速度不变，所以轿车在开始阶段做匀加速运动，当实际功率达到额定功率时，功率不增加了，再增加速度，就须减小牵引力，当牵引力减小到等于阻力时，加速度等于零，速度达到最大值vm＝＝，所以A、C、D正确，B错误．]
9．如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块当中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为l，木块与子弹间的摩擦力大小为F，则( )
A．F对木块做功为Fl
B．F对木块做功为F(l＋d)
C．F对子弹做功为－Fd
D．F对子弹做功为－F(l＋d)
AD [木块的位移为l，由W＝Flcos α得，F对木块做功为Fl，子弹的位移为l＋d，木块对子弹的摩擦力的方向与位移方向相反，故木块对子弹的摩擦力做负功，W＝－F(l＋d)．故A、D正确．]
10．汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车质量为5 t．汽车在水平面上行驶时，阻力与车重成正比，g取10 m/s2，当汽车以额定功率匀速行驶时速度为12 m/s.突然减小油门，使发动机功率减小到40 kW，对接下来汽车的运动情况的描述正确的有( )
A．先做匀减速运动，再做匀加速运动
B．先做加速度增大的减速运动，再做匀速运动
C．先做加速度减小的减速运动，再做匀速运动
D．最后的速度大小是8 m/s
CD [根据P＝Fv知，功率减小，则牵引力减小，牵引力小于阻力，根据牛顿第二定律知，汽车产生加速度，加速度的方向与速度方向相反，汽车做减速运动，速度减小，则牵引力增大，知汽车做加速度减小的减速运动，当牵引力再次等于阻力时，汽车做匀速运动，故A、B错误，C正确；当功率为60 kW时，匀速直线运动的速度为12 m/s，则Ff＝＝ N＝5 000 N，当牵引力再次等于阻力时，又做匀速直线运动，v2＝＝ m/s＝8 m/s，故D正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共40分)
11．(18分)如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连的绳和水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角变为β.已知图中的高度h，求绳的拉力T对物体所做的功．(绳的质量、滑轮的质量及绳与滑轮间的摩擦不计)
[解析] 设绳的拉力T对物体做的功为WT，人的拉力F对绳做的功为WF，由题意知T＝F，WT＝WF
在绳与水平面间的夹角由α变为β的过程中，拉力F的作用点的位移大小为Δs＝l1－l2.由W＝Fs，得
WF＝FΔs＝Fh
故绳子的拉力T对物体做的功
WT＝WF＝Fh.
[答案] Fh
12．(22分)一台起重机将静止在地面上、质量为m＝1×103 kg的货物匀加速地竖直吊起，在2 s末货物的速度v＝4 m/s.(取g＝10 m/s2，不计额外功)求：
(1)起重机在这2 s内的平均功率；
(2)起重机在2 s末的瞬时功率．
[解析] 设货物所受的拉力为Ff加速度为a，则
(1)由a＝得a＝2 m/s2
F＝mg＋ma＝1.0×103×10 N＋1.0×103×2 N＝1.2×104 N
2 s内的平均功率＝F＝F·＝1.2×104× W＝2.4×104 W
(2)2 s末的瞬时功率P＝Fv＝1.2×104×4 W＝4.8×104 W.
[答案] (1)2.4×104 W (2)4.8×104 W
