习题课2 动能定理和机械能守恒定律
(教师用书独具)
[学习目标] 1.进一步理解动能定理及其应用.2.深刻理解机械能守恒定律，会利用机械能守恒定律处理多过程问题．
动能定理的理解
1.动能定理公式中体现的三个关系
(1)数量关系：即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系．可以通过计算物体动能的变化，求合力的功，进而求得某一力的功．
(2)单位关系：等式两侧物理量的国际单位都是焦耳．
(3)因果关系：合外力的功是物体动能变化的原因．
2．动能定理叙述中外力的含意：定理中所说的“外力”既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力、磁场力或其他力．
3．应用动能定理的注意事项：
(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系．
(2)应用动能定理时，必须明确各力做功的正、负．
(3)应用动能定理解题，关键是对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出物体运动过程的草图，借助草图理解物理过程和各量关系．
【例1】 如图所示，质量为m的物体静置在水平光滑的平台上，系在物体上的绳子跨过光滑的定滑轮，由地面上的人以速度v0向右匀速拉动，设人从地面上平台的边缘开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人所做的功为( )
A. B.
C. D．mv
C [人从地面上平台的边缘开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处的过程中，当绳与水平方向夹角为45°时，沿绳方向的速度v＝v0cos 45°＝，故此时质量为m的物体速度等于，对物体由动能定理可知，在此过程中人所做的功为，选项C正确．]
运用动能定理应注意的事项：?1?动能定理的研究对象可以是单一物体，或者是可以看作单一物体的物体系统；?2?当题目中涉及位移和速度而不涉及时间时可优先考虑动能定理；处理曲线运动中的速率问题时也要优先考虑动能定理；?3?求变力做功问题优先考虑动能定理.
1．如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一物体向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设物体在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则从A到C的过程中弹簧弹力做功是( )
A．mgh－mv2 B.mv2－mgh
C．－mgh D．－(mgh＋mv2)
A [由A到C的过程运用动能定理可得：－mgh＋W＝0－mv2，所以W＝mgh－mv2，所以A正确．]
机械能守恒定律的表达式及应用
1.机械能守恒定律的表达式：
(1)守恒观点：Ek＋Ep＝Ek′＋Ep′(一定要选零势能面)
(2)转化观点：ΔEk＝－ΔEp(不需要选零势能面)
(3)转移观点：ΔE增＝ΔE减(不需要选零势能面)
2．应用机械能守恒的一般步骤
(1)选取研究对象
(2)根据受力分析和各力做功情况分析，确定是否符合机械能守恒条件．
(3)确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况．
(4)选择合适的表达式列出方程，进行求解．
(5)对计算结果进行必要的讨论和说明．
【例2】 如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上．若以地面为零势能面而且不计空气阻力，则( )
①物体到海平面时的势能为mgh
②重力对物体做的功为mgh
③物体在海平面上的动能为mv＋mgh
④物体在海平面上的机械能为mv
其中正确的是( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②④
B [以地面为零势能面，海平面低于地面h，所以物体在海平面上时的重力势能为－mgh，故①错误；重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关，抛出点与海平面的高度差为h，并且重力做正功，所以整个过程重力对物体做功为mgh，故②正确；由动能定理W＝Ek2－Ek1，有Ek2＝Ek1＋W＝mv＋mgh，故③正确；整个过程机械能守恒，即初末状态的机械能相等，以地面为零势能面，抛出时的机械能为mv，所以物体在海平面时的机械能也为mv，故④正确．故B正确，A、C、D错．]
用机械能守恒定律解题应注意的两个问题：?1?列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同；?2?应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同.
2．一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是( )
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
ABC [运动员到达最低点前，重力一直做正功，重力势能始终减小，A正确；蹦极绳张紧后的下落过程中，运动员所受蹦极绳的弹性力方向向上，所以弹性力做负功，弹性势能增加，B正确；蹦极过程中，由于只有重力和蹦极绳的弹性力做功，因而运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒，C正确；重力势能的改变只与高度差有关，与重力势能零点的选取无关，D错误．]
1．如图所示，从竖直面上大圆(直径d)的最高点A，引出两条不同的光滑轨道，端点都在大圆上，同一物体由静止开始，从A点分别沿两条轨道滑到底端，则( )
A．所有的时间相同
B．重力做功都相同
C．机械能不相同
D．到达底端时的动能相等
A [对物体在倾斜轨道上受力分析，设轨道与竖直方向夹角为α，由牛顿第二定律可求得a＝gcos α又x＝2Rcos α，根据运动学公式x＝at2，有2Rcos α＝gcos at2，得t＝2，因此下滑时间只与圆的半径及重力加速度有关，故A正确；同一物体从不同的光滑轨道下滑，重力做功的多少由下滑高度决定，由于下滑高度不同，所以重力做功也不相同，故B错误；同一物体由静止开始从A点分别沿两条轨道滑到底端，由于均是光滑轨道，所以只有重力做功，因此机械能守恒，故C错误；由动能定理可知，因重力做的功不一样，所以到达不同轨道底端时的动能不同，故D错误．]
2．如图所示，长为L的木板水平放置，在木板的A端放置一个质量为m的小物块，现缓慢地抬高A端，使木板以左端为轴转动，当木板转到与水平面的夹角为a时小物块开始滑动，此时停止转动木板，小物块滑到底端的速度为v，则在整个过程中，下列说法不正确的是( )
A．木板对小物块做功为mv2
B．摩擦力对小物块做功为mgLsin α
C．支持力对小物块做功为mgLsin α
D．滑动摩擦力对小物块做功为mv2－mgLsin α
B [在抬高A端的过程中，小物块受到的摩擦力为静摩擦力，其方向和小物块的运动方向时刻垂直，故在抬高阶段，摩擦力并不做功，这样在抬高小物块的过程中，由动能定理得：WFN＋WG＝0，即WFN－mgLsin α＝0，所以WFN＝mgLsin α.在小物块下滑的过程中，支持力不做功，滑动摩擦力和重力做功，由动能定理得：WG＋Wf＝mv2，即Wf＝mv2－mgLsin α，B错，C、D正确．在整个过程中，设木板对小物块做的功为W，对小物块在整个过程由动能定理得W＝mv2，A正确．]
3．(2019·全国卷Ⅱ)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和．取地面为重力势能零点，该物体的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图所示．重力加速度取10 m/s2.由图中数据可得( )
A．物体的质量为2 kg
B．h＝0时，物体的速率为20 m/s
C．h＝2 m时，物体的动能Ek＝40 J
D．从地面至h＝4 m，物体的动能减少100 J
AD [根据题给图像可知h＝4 m时物体的重力势能mgh＝80 J，解得物体质量m＝2 kg，抛出时物体的动能为Ek＝100 J，由动能公式Ek＝mv2，可知h＝0时物体的速率为v＝10 m/s，选项A正确，B错误；由功能关系可知fh＝|ΔE|＝20 J，解得物体上升过程中所受空气阻力f＝5 N，从物体开始抛出至上升到h＝2 m的过程中，由动能定理有－mgh－fh＝Ek－100 J，解得Ek＝50 J，选项C错误；由题给图像可知，物体上升到h＝4 m时，机械能为80 J，重力势能为80 J，动能为零，即物体从地面上升到h＝4 m，物体动能减少100 J，选项D正确．]
4．如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
B [圆环沿杆下滑的过程中，圆环与弹簧组成的系统动能、弹性势能、重力势能之和守恒，选项A、D错误；弹簧长度为2L时，圆环下落的高度h＝L，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能增加了ΔEp＝mgh＝mgL，选项B正确；圆环释放后，圆环向下先做加速运动，后做减速运动，当速度最大时，合力为零，下滑到最大距离时，具有向上的加速度，合力不为零，选项C错误．]
重难强化训练(二)
(时间：40分钟 分值：100分)
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分．第1～6题为单选题，第7～10题为多选题．)
1．一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图所示，则力F所做的功为( )
A．mglcos θ
B．Flsin θ
C．mgl(1－cos θ)
D．Fl
C [小球缓慢由P→Q过程中，F大小变化，为变力做功．
设力F做功为WF，对小球由P→Q应用动能定理
WF－mgl(1－cos θ)＝0
所以WF＝mgl(1－cos θ)，故选C.]
2．物体在合外力作用下做直线运动的v-t图象如图3所示，下列表述正确的是( )
A．在0～1 s内，合外力做正功
B．在0～2 s内，合外力总是做负功
C．在1 s～2 s内，合外力不做功
D．在0～3 s内，合外力总是做正功
A [由v-t图象知0～1 s内，v增加，动能增加，由动能定理可知合外力做正功，A对，B错；1 s～2 s内v减小，动能减小，合外力做负功，可见C、D错．]
3．木块静止挂在绳子下端，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起共同摆到一定高度，如图所示，从子弹开始入射到共同上摆到最大高度的过程中，下面说法正确的是( )
A．子弹的机械能守恒
B．木块的机械能守恒
C．子弹和木块的总机械能守恒
D．以上说法都不对
D [子弹打入木块的过程中，子弹克服摩擦力做功产生热能，故系统机械能不守恒．]
4．如图所示，在高1.5 m的光滑平台上有一个质量为2 kg的小球被一细线拴在墙上，球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧．当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度大小为2 m/s，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g取10 m/s2)( )
A．10 J B．15 J C．20 J D．25 J
A [弹簧与小球组成的系统机械能守恒，以水平地面为零势能面，Ep＋mgh＝mv2，解得Ep＝10 J，A正确．]
5．如图所示，一根很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b，a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧，从静止开始释放b球后，a可能达到的最大高度为( )
A．h B．1.5h
C．2h D．2.5h
B [释放b后，在b到达地面之前，a向上加速运动，b向下加速运动，a、b系统的机械能守恒，若b落地瞬间速度为v，则3mgh＝mgh＋mv2＋(3m)v2，可得v＝.b落地后，a向上做匀减速运动，设能够继续上升的高度为h′，由机械能守恒得mv2＝mgh′，h′＝.所以a达到的最大高度为1.5h，B正确．]
6．如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度为g，此物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中，物体( )
A．重力势能增加了mgh B．动能损失了mgh
C．动能损失了mgh D．动能损失了mgh
D [重力做功WG＝－mgh，故重力势能增加了mgh，A错．物体所受合力F＝ma＝mg，合力做功W合＝－F＝－mg×2h＝－mgh，由动能定理知，动能损失了mgh，B、C错，D对．]
7．某人用手将1 kg的物体由静止向上提起1 m，这时物体的速度为2 m/s(g取10 m/s2)，则下列说法正确的是( )
A．手对物体做功12 J B．合力做功2 J
C．合力做功12 J D．物体克服重力做功10 J
ABD [WG＝－mgh＝－10 J，D对；由动能定理W合＝ΔEk＝mv2－0＝2 J，B对，C错；又因W合＝W手＋WG，故W手＝W合－WG＝12 J，A对．]
8．如图所示，一轻弹簧的一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由下摆，不计空气阻力，则在重物由A点摆向最低点B的过程中( )
A．弹簧与重物的总机械能守恒
B．弹簧的弹性势能增加
C．重物的机械能守恒
D．重物的机械能增加
AB [对于弹簧和重物组成的系统，在重物由初位置下落到最低点B的过程中，系统内弹簧弹力和重物重力做功，系统的机械能守恒，选项A正确；初位置时弹簧处于原长、弹性势能等于零，下落到最低点时，弹簧被拉伸，具有弹性势能，弹簧的弹性势能增加，则必有重物的机械能减少，选项B正确，选项C、D均错误．]
9．质量为m的汽车在平直公路上行驶，发动机的功率P和汽车受到的阻力f均恒定不变，在时间t内，汽车的速度由v0增加到最大速度vm，汽车前进的距离为x，则此段时间内发动机所做的功W可表示为( )
A．W＝Pt
B．W＝fx
C．W＝mv－mv＋fx
D．W＝mv＋fx
AC [由题意知，发动机功率不变，故t时间内发动机做功W＝Pt，所以A正确；车做加速运动，故牵引力大于阻力f，故B错误；根据动能定理W－fx＝mv－mv，所以C正确，D错误．]
10．如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上，其正上方A位置处有一个小球，小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零．关于小球下落阶段，下列说法中正确的是( )
A．在B位置小球动能最大
B．在C位置小球动能最大
C．从A→C位置小球重力势能的减少量大于小球动能的增加量
D．从A→D位置小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
BCD [小球动能的增加量用合外力做功来量度，A→C过程中小球受到的合力一直向下，对小球做正功，使其动能增加；C→D过程中小球受到的合力一直向上，对小球做负功，使其动能减少；从A→C位置小球重力势能的减少量等于小球动能的增加量和弹性势能增加量之和；小球在A、D两位置动能均为零，而重力做的正功等于弹力做的负功，即小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量．]
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11．(14分)如图所示，斜面长为s，倾角为θ，一物体质量为m，从斜面底端的A点开始以初速度v0沿斜面向上滑行，斜面与物体间的动摩擦因数为μ，物体滑到斜面顶端B点时飞出斜面，最后落在与A点处于同一水平面上的C处，则物体落地时的速度大小为多少？
[解析] 对物体运动的全过程，由动能定理可得：
－μmgscos θ＝mv－mv
所以vC＝.
[答案]
12．(16分)质量为m＝4 kg的小物块静止于水平地面上的A点，现用F＝10 N的水平恒力拉动物块一段时间后撤去，物块继续滑动一段位移停在B点，A、B两点相距x＝20 m，物块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g取10 m/s2，求：
(1)物块在力F作用过程发生位移s1的大小；
(2)撤去力F后物块继续滑动的时间t.
[解析] (1)设物块受到的滑动摩擦力为F1，则
F1＝μmg
根据动能定理，对物块由A到B整个过程，有
Fs1－F1x＝0
代入数据，解得
s1＝16 m.
(2)设刚撤去力F时物块的速度为v，此后物块的加速度为a，滑动的位移为s2，则
s2＝x－s1
由牛顿第二定律得
a＝
由匀变速直线运动公式得
v2＝2as2
v＝at
代入数据，解得
t＝2 s.
[答案] (1)16 m (2)2 s
