习题课3 平抛运动的规律和应用
(教师用书独具)
[学习目标] 1.掌握平抛运动的特点和性质.2.掌握研究平抛运动的方法，并能应用解题．
对平抛运动的规律的理解
1.飞行时间：由t＝知，时间取决于下落高度h1与初速度v0无关．
2．水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．
3．落地速度：vt＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关．
4．速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示．
【例1】 一演员表演飞刀绝技，由O点先后抛出完全相同的三把飞刀，分别垂直打在竖直木板上M、N、P三点，如图所示．假设不考虑飞刀的转动，并可将其看作质点，已知O、M、N、P四点距水平地面高度分别为h、4h、3h、2h，以下说法正确的是( )
A．三把飞刀在击中木板时动能相同
B．三次飞行时间之比为1∶∶
C．三次初速度的竖直分量之比为3∶2∶1
D．设三次抛出飞刀的初速度与水平方向夹角分别为θ1、θ2、θ3，则有θ1＞θ2＞θ3
D [初速度为零的匀变速直线运动推论：(1)静止起通过连续相等位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶…＝1∶(－1)∶(－)∶…(2)前h、前2h、前3h…所用的时间之比为1∶∶∶…，对末速度为零的匀变速直线运动，也可以运用这些规律倒推．三把飞刀在击中木板时速度不等，动能不相同，选项A错误；飞刀击中M点所用时间长一些，选项B错误；三次初速度的竖直分量之比等于∶∶1，选项C错误．只有选项D正确．]
平抛运动的分析方法
用运动的合成与分解方法研究平抛运动，要根据运动的独立性理解平抛运动的两分运动，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．分析方法通常有两种：若已知位移的大小或方向就分解位移；若已知速度的大小和方向就分解速度．
1．(多选)a、b两个物体做平抛运动的轨迹如图所示，设它们抛出的初速度分别为va、vb，从抛出至碰到台上的时间分别为ta、tb，则( )
A．va＞vb B．va＜vb
C．ta＞tb D．ta＜tb
AD [由题图知，hb＞ha，因为h＝gt2，所以ta＜tb，又因为x＝v0t，且xa＞xb，所以va＞vb，选项A、D正确．]
平抛运动规律的应用
1.做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示．
2．做平抛运动的物体在任意时刻、任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
【例2】 如图所示，在足够高的竖直墙壁MN的左侧某点O，以不同的初速度将小球水平抛出，其中OA沿水平方向，则所有抛出的小球在碰到墙壁前瞬间，其速度的反向延长线( )
A．交于OA上的同一点
B．交于OA上的不同点，初速度越大，交点越靠近O点
C．交于OA上的不同点，初速度越小，交点越靠近O点
D．因为小球的初速度和OA距离未知，所以无法确定
A [小球虽然以不同的初速度抛出，但小球碰到墙壁时在水平方向的位移均相等，为OA间距离，由平抛运动的推论易知，所有小球在碰到墙壁前瞬间，其速度的反向延长线必交于水平位移OA的中点，选项A正确．]
平抛运动的规律及其推论中所应用的方法同样适用于类平抛运动.
2．如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( )
A．tan φ＝sin θ B．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θ D．tan φ＝2tan θ
D [如图所示，
tan θ＝＝＝ ①
tan φ＝＝ ②
联立①②两式，可得tan φ＝2tan θ.]
1．人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，下列选项中能表示出速度矢量的演变过程的是( )
C [物体做平抛运动时，在水平方向上做匀速直线运动，其水平方向的分速度不变，故选项C正确．]
2．刀削面是西北人喜欢的面食之一，因其风味独特，驰名中外．刀削面全凭刀削，因此得名．如图所示，将一锅水烧开，拿一块面团放在锅旁边较高处，用一刀片飞快地削下一片片很薄的面片儿，面片便飞向锅里，若面团到锅的上沿的竖直距离为0.8 m，最近的水平距离为0.5 m，锅的半径为0.5 m．要想使削出的面片落入锅中，则面片的水平速度不符合条件的是(g取10 m/s2)( )
A．1.5 m/s B．2.5 m/s
C．3.5 m/s D．4.5 m/s
D [由h＝gt2得t＝0.4 s，
v1＝＝1.25 m/s，v2＝＝3.75 m/s，
所以1.25 m/s＜v0＜3.75 m/s.故选D.]
3．如图所示，两小球a、b从直角三角形斜面的顶端以相同大小的水平速率v0向左、向右水平抛出，分别落在两个斜面上，三角形的两底角分别为30°和60°，则两小球a、b运动时间之比为( )
A．1∶ B．1∶3
C.∶1 D．3∶1
B [设a、b两球运动的时间分别为ta和tb，则tan 30°＝＝，tan 60°＝＝，两式相除得：＝＝.]
4．如图所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在平台前一倾角为α＝53°的斜面顶端，并刚好沿斜面下滑，已知平台到斜面顶端的高度为h＝0.8 m，求小球水平抛出的初速度v0和斜面与平台边缘的水平距离x各为多少？(取sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g＝10 m/s2)
[解析] 小球从平台到斜面顶端的过程中做平抛运动，由平抛运动规律有：x＝v0t，h＝gt2，vy＝gt
由题图可知：tan α＝＝
代入数据解得：v0＝3 m/s，x＝1.2 m.
[答案] 3 m/s 1.2 m
重难强化训练(三)
(时间：40分钟 分值：100分)
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分．第1～6题为单选题，第7～10题为多选题．)
1．在同一水平直线上的两个位置分别沿同方向水平抛出两个小球A和B，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力．要使两球在空中相遇，则必须( )
A．同时抛出两球
B．先抛出A球
C．先抛出B球
D．使两球质量相等
A [在同一水平直线上的两个位置分别抛出两球，根据平抛运动的飞行时间只与下落高度有关，要使两球在空中相遇，必须同时抛出两球，选项A正确．]
2．下列选项所示，关于物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角θ的正切tan θ随时间t的变化图象正确的是( )
B [如图，tan θ＝＝，可见tan θ与t成正比，选项B正确．]
3．某同学站立于地面上，朝着地面正前方的小洞水平抛出一个小球，球出手时的高度为h，初速度为v0，结果球越过小洞，没有进入．为了将球水平抛出后恰好能抛入洞中，下列措施可行的是(不计空气阻力)( )
A．保持v0不变，减小h
B．保持v0不变，增大h
C．保持h不变，增大v0
D．同时增大h和v0
A [小球水平运动的距离x＝v0t＝v0，球越过小洞，没有进入，说明小球水平运动的距离偏大，可以减小t，A对，B错；选项C、D都使小球水平运动的距离变大，C、D错．]
4．物体以初速度v0水平抛出，当抛出后竖直位移是水平位移的2倍时，则物体抛出的时间是( )
A. B. C. D.
C [物体做平抛运动，其水平方向的位移为：x＝v0t，竖直方向的位移y＝gt2且y＝2x，解得：t＝，故选项C正确．]
5．某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以25 m/s的速度沿水平方向反弹，落地点到墙面的距离在10 m至15 m之间．忽略空气阻力，g取10 m/s2，球在墙面上反弹点的高度范围是( )
A．0.8 m至1.8 m B．0.8 m至1.6 m
C．1.0 m至1.6 m D．1.0 m至1.8 m
A [设球从反弹到落地的时间为t，球在墙面上反弹点的高度为h.球反弹后做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动．故 s6.一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为( )
A．tan θ B．2tan θ
C. D.
D [小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比即为平抛运动合位移方向与水平方向夹角的正切值．小球落在斜面上速度方向与斜面垂直，故速度方向与水平方向夹角为，由平抛运动推论：平抛运动速度方向与水平方向夹角正切值为位移方向与水平方向夹角正切值的2倍，可知：小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比为tan＝，D正确．]
7．(多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验．小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落．关于该实验，下列说法中正确的有( )
A．两球的质量应相等
B．两球应同时落地
C．改变装置的高度，多次实验
D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
BC [小锤打击弹性金属片后，A球做平抛运动，B球做自由落体运动．A球在竖直方向上的运动情况与B球相同，做自由落体运动，因此两球同时落地．实验时，需A、B两球从同一高度开始运动，对质量没有要求，但两球的初始高度及击打力度应该有变化，实验时要进行3～5次得出结论．本实验不能说明A球在水平方向上的运动性质，故选项B、C正确，选项A、D错误．]
8．如图所示，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出( )
A．轰炸机的飞行高度
B．轰炸机的飞行速度
C．炸弹的飞行时间
D．炸弹击中目标A时的动能
ABC [根据几何关系可知炸弹的水平位移为x＝，当炸弹以初速度v0水平抛出后，垂直击中山坡上的目标A，则有tan θ＝＝＝，可得炸弹的竖直位移为y＝，又y＝gt2，由此可求得炸弹的飞行时间t，选项C正确；轰炸机的飞行高度为y＋h，飞行速度为v0＝，故选项A、B正确；因炸弹质量未知，故无法确定其动能大小，故D错误．]
9．如图所示，滑板运动员以速度v0从离地高度为h的平台末端水平飞出，落在水平地面上．忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点，下列表述正确的是( )
A．v0越大，运动员在空中运动时间越长
B．v0越大，运动员落地瞬间速度越大
C．运动员落地瞬间速度与高度h有关
D．运动员落地位置与v0大小无关
BC [在平抛运动中，飞行时间仅由高度决定，所以A错误；水平位移、落地速度(末速度)由高度和初速度共同决定，所以B、C对，D错误．]
10．(多选)如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的．不计空气阻力，则( )
A．a的飞行时间比b的长
B．b和c的飞行时间相同
C．a的水平速度比b的小
D．b的初速度比c的大
BD [平抛运动的竖直分运动为自由落体运动，根据h＝gt2可知，ta＜tb＝tc，选项A错误B正确；平抛运动的水平分运动为匀速直线运动，由x＝v0t＝v0，得v0＝x，因xa＞xb，ha＜hb，所以水平速度v0a＞v0b，选项C错误；因xb＞xc，hb＝hc，所以水平速度v0b＞v0c，选项D正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11．(14分)如图所示，设光滑斜面长为L1，宽为L2，倾角为θ.一物体沿斜面上方顶点P水平射入，而后从右下方顶点Q离开斜面，求物体射入时的初速度为多少？
[解析] 物体沿斜面向下的加速度a＝＝gsin θ
在水平方向上有L2＝v0t
在沿斜面向下的方向上有L1＝at2
解得v0＝＝L2.
[答案] L2
12．(16分)如图所示，一小球从倾角θ为37°的足够长的斜面顶端做平抛运动，初速度为8 m/s，A点是小球离斜面最远点．
(1)求小球从抛出点到再次落到斜面上的时间．
(2)求A点离斜面的距离．(g取10 m/s2)
[解析] (1)设小球从抛出到落回斜面所用的时间为t，由平抛运动规律得
x＝v0t
y＝gt2
根据平行四边形定则及几何知识得：
tan θ＝
联立以上三式可得：t＝
则t＝1.2 s.
(2)小球到达离斜面最远点A时，小球的速度平行于斜面向下，如图所示，
在时间t1内小球在垂直于斜面方向做匀减速运动，当垂直于斜面方向的速度为零时，小球在垂直于斜面方向的位移的大小就是A点离斜面的距离．
垂直斜面向上的初速度为v⊥＝v0sin θ
垂直斜面向下的合外力为F＝mgcos θ＝ma
由运动学公式得
2gcos 37°hm＝(v0sin 37°)2
代入数值解得：hm＝1.44 m.
[答案] (1)1.2 s (2)1.44 m
