(教师用书独具)
[体系构建]
[核心速填]
一、基本概念
1．运动的合成：由已知的分运动求合运动的过程．
2．运动的分解：由已知的合运动求分运动的过程．
3．竖直下抛运动：物体以初速度v0竖直向下抛出后，只在重力作用下所做的运动．
4．竖直上抛运动：只在重力作用下，具有与重力方向相反的初速度的物体的运动．
5．平抛运动：把物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动．
6．斜抛运动：以一定的初速度将物体与水平方向成一定角度斜向上抛出，物体仅在重力作用下所做的曲线运动．
二、基本规律
1．运动的独立性：一个物体同时参与几个运动，各方向上的运动互不影响，各自独立，都遵守各自相应的规律．
2．抛体运动均是仅在重力作用下的运动，则它们运动的加速度a＝g，都属于匀变速运动．
3．对平抛运动的研究，可分解为：水平方向的匀速直线运动，其运动规律：vx＝v0，x＝v0t；竖直方向的自由落体运动，其运动规律：vy＝gt，y＝gt2.
4．斜抛运动的射高与射程均由初速度大小和抛射角决定．
“关联”速度的分解问题
1.“关联”速度的特点
绳、杆等相牵连的物体，在运动过程中，两端点的速度通常是不同的，但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等．
2．解决“关联”速度问题的关键
(1)物体的实际运动是合运动，要按实际运动效果分解速度．
(2)沿杆(或绳)方向的速度分量大小是相等的．
【例1】 如图所示，用细绳跨过定滑轮拉水平面上的物体，某时刻，拉绳的速度为v1，物体在水平面上运动的速度为v2，此时拉物体的绳与水平面的夹角为α，则v1与v2的关系为 ．
[解析] 物体的实际速度为v2，将其分解为垂直绳和沿绳两个方向的分量，沿绳的分量v绳＝v2·cos α，由于沿绳速度大小相等，则v1＝v绳＝v2cos α.
[答案] v1＝v2cos α
[一语通关]
正确地进行速度分解必须解决好两个问题
①确认合速度，它应是物体的实际速度．
②确定合速度的实际运动效果，从而确定分速度的方向．常常根据产生的位移来确定运动效果．
1．(多选)如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时( )
A．人拉绳行走的速度为vcos θ
B．人拉绳行走的速度为
C．船的加速度为
D．船的加速度为
AC [船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v人＝v∥＝vcos θ，选项A正确，B错误；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此Fcos θ－f＝ma，解得a＝，选项C正确，D错误．]
与斜面相关联的平抛运动问题
平抛运动中经常出现与斜面相关联的物理问题，解决此类问题的关键是充分挖掘题目中隐含的几何关系．有以下两种常见的模型：
1．物体从斜面平抛后又落到斜面上．如图甲所示，则平抛运动的位移大小为沿斜面方向抛出点与落点之间的距离，位移偏向角为斜面倾角α，且tan α＝(y是平抛运动的竖直位移，x是平抛运动的水平位移)．
2．物体做平抛运动时以某一角度θ落到斜面上，如图乙所示．则其速度偏向角为(θ－α)，且tan(θ－α)＝.
【例2】 如图所示，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速为v0的平抛运动，恰落在b点．若小球初速变为v，其落点位于c，则( )
A．v0＜v＜2v0 B．v＝2v0
C．2v0＜v＜3v0 D．v＞3v0
A [过b点作一水平线MN，分别过a点和c点作出MN的垂线分别交MN于a′、c′点，由几何关系得：a′b＝bc′，作出小球以初速度v抛出落于c点的轨迹如图中虚线所示，必交b、c′之间的一点d，设a′、b间的距离为x，α′、d间的距离为x′，则研究小球从抛出至落至MN面上的运动可知，时间相同，x＜x′＜2x，故v0＜v＜2v0，选项A正确，B、C、D错误．]
2．如图所示，在足够长的斜面上的A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t1；若将此球改用2v0抛出，落到斜面上所用时间为t2，则t1与t2之比为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
B [因小球落在斜面上，所以两次位移与水平方向的夹角相等，由平抛运动规律知tan θ＝＝，所以＝.]
抛体运动分析
竖直下抛、竖直上抛、平抛运动和斜上抛运动均为抛体运动，它们的受力特点相同，且初速度均不为零，具体特性如下：
名称
项目
竖直下抛
竖直上抛
平抛运动
斜上抛运动
异
v0方向、轨迹
运动时间
由v0、h决定
由v0决定
由h决定
由v0、θ决定
同
(1)初速度v0≠0
(2)a＝g，匀变速运动
(3)遵守机械能守恒定律
【例3】 如图所示，从高H处以水平速度v1抛出小球甲，同时从地面以速度v2竖直上抛一小球乙，两球恰好在空中相遇，求：
(1)两小球从抛出到相遇的时间．
(2)讨论小球乙在上升阶段或下降阶段与小球甲在空中相遇的速度条件．
[解析] (1)两球从抛出到相遇，在竖直方向上甲的位移与乙的位移之和等于H
即gt2＋＝H
解得t＝
这一结果与小球乙是上升阶段还是下降阶段与小球甲在空中相遇无关．
(2)设小球甲从抛出到落地的时间为t甲，则有t甲＝
设小球乙从抛出到最高点所用的时间为t乙，则有t乙＝
①两球在小球乙上升阶段相遇，则相遇时间
t≤t乙，即≤，解得v2≥
式中的等号表示小球甲、乙恰好在小球乙上升的最高点相遇．
②两球在小球乙下降阶段相遇，则相遇时间
t乙[答案] (1)
(2)小球乙上升阶段两球相遇的条件：v2≥
小球乙下降阶段两球相遇的条件： [一语通关]
抛体运动的分析方法
(1)各种抛体运动中，物体都只受重力作用，加速度均为重力加速度g，均为匀变速运动．
(2)对于轨迹是直线的竖直方向上的抛体运动往往直接应用运动学公式分析求解．
(3)对于轨迹是曲线的平抛运动和斜抛运动往往分解为两个直线运动进行分析求解．
3．经国际奥委会执委会上确认，女子跳台滑雪等6个新项目已加入冬奥会．如图所示，运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上(未画出)获得一速度后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动非常惊险．设一位运动员由斜坡顶端A点沿水平方向飞出的速度v0＝20 m/s，落点在斜坡上的B点，斜坡倾角θ为37°，斜坡可以看成一斜面．(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)运动员在空中飞行的时间；
(2)A、B间的距离；
(3)运动员从A点飞出后，经多长时间离斜坡的距离最远．
[解析] (1)运动员由A点到B点做平抛运动，水平方向的位移x＝v0t，竖直方向的位移y＝gt2
又＝tan 37°
联立以上三式得运动员在空中的飞行时间
t＝＝3 s.
(2)由题意知sin 37°＝＝
得A、B间的距离s＝＝75 m.
(3)如图所示，当运动员的速度与斜面平行时，运动员离斜面最远，设所用时间为t1，则vy1＝gt1，vy1＝v0tan 37°
所以t1＝＝1.5 s.
[答案] (1)3 s (2)75 m (3)1.5 s
课件27张PPT。第3章 抛体运动章末复习课“关联”速度的分解问题与斜面相关联的平抛运动问题抛体运动分析Thank you for watching !章末综合测评(三)
(时间：90分钟 分值：100分)
一、选择题(本题共12小题，每小题4分．在每小题给出的四个选项中，第1～7题只有一项符合题目要求，第8～12题有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．对于物体做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．其转速与角速度成反比，其周期与角速度成正比
B．运动的快慢可用线速度描述，也可用角速度来描述
C．匀速圆周运动的速度保持不变
D．做匀速圆周运动的物体，其加速度保持不变
B [由公式ω＝2πn可知，转速和角速度成正比，由ω＝可知，其周期与角速度成反比，故A错误；运动的快慢可用线速度描述，也可用角速度来描述，所以B正确；匀速圆周运动的速度大小不变，但速度方向在变，所以C错误；匀速圆周运动的加速度大小不变，方向在变，所以D错误．]
2．如图所示，一辆卡车在水平路面上行驶，已知该车轮胎半径为R，轮胎转动的角速度为ω，关于各点的线速度大小，下列说法错误的是( )
A．相对于地面，轮胎与地面的接触点的速度为0
B．相对于地面，车轴的速度大小为ωR
C．相对于地面，轮胎上缘的速度大小为ωR
D．相对于地面，轮胎上缘的速度大小为2ωR
C [因为轮胎不打滑，相对于地面，轮胎与地面接触处保持相对静止，该点相当于转动轴，它的速度为零，车轴的速度为ωR，而轮胎上缘的速度大小为2ωR，故选项A、B、D正确，C错误．]
3．一小球沿半径为2 m的轨道做匀速圆周运动，若周期T＝4 s，则( )
A．小球的线速度大小是0.5 m/s
B．经过4 s，小球的位移大小为4π m
C．经过1 s，小球的位移大小为2 m
D．若小球的速度方向改变了 rad，经过时间一定为1 s
C [小球的周期为T＝4 s，则小球运动的线速度为v＝＝π m/s，选项A错误；经过4 s后，小球完成一个圆周运动后回到初始位置，位移为零，选项B错误；经过1 s后，小球完成个圆周，小球的位移大小为s＝R＝2 m，选项C正确；圆周运动是周期性运动，若方向改变弧度，经历的时间可能为t＝(n＋1)·＝(n＋1) s或t＝(n＋3)·＝(n＋3) s，选项D错误．]
4.荡秋千是儿童喜爱的一项体育运动，当秋千荡到最高点时，小孩的加速度方向是图中的( )
A．竖直向下a方向
B．沿切线b方向
C．水平向左c方向
D．沿绳向上d方向
B [如图，将重力分解，沿绳子方向T－Gcos θ＝m，当在最高点时，v＝0，故T＝Gcos θ，故合力方向沿G2方向，即沿切线b方向，由牛顿第二定律知，加速度方向沿切线b方向．]
5．如图所示，一圆盘可绕通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针)．某段时间内圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受合力F的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是( )
C [橡皮块做加速圆周运动，合力不指向圆心，但一定指向圆周的内侧．由于做加速圆周运动，动能不断增加，故合力与速度的夹角小于90°，故选C.]
6．在水平传送带上被传送的小物体(可视为质点)质量为m，A为终端皮带轮，如图所示，已知皮带轮半径为r，传送带与皮带轮间不会打滑．当m可被水平抛出时，A轮每秒的转数最少是( )
A. B.
C. D.
A [物体恰在终端被水平抛出时，物体与皮带间没有力的作用，则有mg＝m，得v＝，则n＝＝.]
7．如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是( )
A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B．人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力
C．人在最低点时对座位的压力等于mg
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
D [过山车是竖直面内杆系小球圆周运动模型的应用．人在最低点时，由向心力公式可得：F－mg＝m，即F＝mg＋m＞mg，故选项C错误，选项D正确；人在最高点，若v＞时，向心力由座位对人的压力和人的重力的合力提供，若v＝时，向心力由人的重力提供，若v＜时，人才靠保险带拉住，选项A错误；F＞0，人对座位产生压力，压力大小F＝m－mg，当v2＝2Rg时F＝mg，选项B错误．]
8．如图所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是 ( )
A．从动轮做顺时针转动
B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为n
D．从动轮的转速为n
BC [因为皮带不打滑，两轮边缘上各点的线速度等大，各点做圆周运动的速度方向为该点切线方向，则皮带上的M、N点均沿MN方向运动，从动轮沿逆时针方向转动，A错，B对．根据线速度与角速度的关系式：v＝rω，ω＝2πn，
得n∶n2＝r2∶r1，n2＝n，C对，D错．]
9．有一水平的转盘在水平面内匀速转动，在转盘上放一质量为m的物块恰能随转盘一起匀速转动，则下列关于物块的运动正确的是( )
A．如果将转盘的角速度增大，则物块可能沿切线方向飞出
B．如果将转盘的角速度增大，物块将沿曲线逐渐远离圆心
C．如果将转盘的角速度减小，物块将沿曲线逐渐靠近圆心
D．如果将转盘的角速度减小，物块仍做匀速圆周运动
BD [物块恰能随转盘一起转动，说明此时充当向心力的摩擦力恰好能够保证物块做圆周运动．如果增大角速度ω，则需要的向心力要增大，而摩擦力不能再增大了，因此，物块就会逐渐远离圆心，A错误，B正确；若减小角速度ω，则需要的向心力减小，而摩擦力也可以减小，因此物块仍做匀速圆周运动，C错误，D正确．]
10．如图所示，长0.5 m的轻质细杆，一端固定有一个质量为3 kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为2 m/s.g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时，对杆的拉力大小是24 N
B．小球通过最高点时，对杆的压力大小是6 N
C．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24 N
D．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54 N
BD [设小球在最高点时受杆的弹力向上，则mg－N＝m，得N＝mg－m＝6 N，故小球对杆的压力大小是6 N，A错误，B正确；小球通过最低点时N－mg＝m，得N＝mg＋m＝54 N，小球对杆的拉力大小是54 N，C错误，D正确．]
11．如图所示，半径为R的光滑圆弧槽固定在小车上，有一小球静止在圆弧槽的最低点．小车和小球一起以速度v向右匀速运动，当小车遇到障碍物突然停止后，小球上升的高度可能( )
A．等于 B．大于
C．小于 D．与小车的速度v无关
AC [设小球的质量为m，上升的高度为h.如果v较小，小车停止运动后，小球还没有脱离圆弧槽，则根据机械能守恒定律有mv2＝mgh，可得h＝，选项A正确；如果v较大，小车停止运动后，小球能够跑出圆弧槽，那么小球出了圆弧槽后将做斜抛运动，当小球到达最高点时，其还有水平方向上的速度，所以mv2＞mgh，可得h＜，选项C正确．]
12．质量为m的小球由轻绳a、b分别系于一轻质木架上的A和C点，绳长分别为la、lb，如图所示，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时，轻杆停止转动，则( )
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B．在绳b被烧断瞬间，绳a中张力突然增大
C．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动
D．绳b未被烧断时，绳a的拉力大于mg，绳b的拉力为mω2lb
BC [根据题意，在绳b被烧断之前，小球绕BC轴做匀速圆周运动，竖直方向上受力平衡，绳a的拉力等于mg，D错误；绳b被烧断的同时轻杆停止转动，此时小球具有垂直平面ABC向外的速度，小球将在垂直于平面ABC的平面内运动，若ω较大，则在该平面内做圆周运动，若ω较小，则在该平面内来回摆动，C正确，A错误；绳b被烧断瞬间，绳a的拉力与重力的合力提供向心力，所以拉力大于小球的重力，绳a中的张力突然变大了，B正确．]
三、计算题(共6小题，共52分)
13．(8分)如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体，当物体到转轴的距离为r时，连接物体和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为零)．物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的μ倍．求：
(1)当转盘的角速度ω1＝时，细绳的拉力T1；
(2)当转盘的角速度ω2＝时，细绳的拉力T2.
[解析] 设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为ω0，则μmg＝mωr，解得ω0＝.
(1)因为ω1＝＜ω0，所以物体所需向心力小于物体与盘间的最大摩擦力，则物体与盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即T1＝0.
(2)因为ω2＝＞ω0，所以物体所需向心力大于物体与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力T2，由牛顿第二定律得T2＋μmg＝mωr，解得T2＝.
[答案] (1)T1＝0 (2)T2＝
14．(8分)如图所示，两根长度相同的轻绳，连接着相同的两个小球，让它们穿过光滑的杆在水平面内做匀速圆周运动，其中O为圆心，两段细绳在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比为多少？
[解析] 设每段绳子长为l，对球2有F2＝2mlω2，对球1有F1－F2＝mlω2，由以上两式得F1＝3mlω2
故F1∶F2＝3∶2.
[答案] 3∶2
15．(8分)质量为103 kg的小汽车驶过一座半径为50 m的圆形拱桥，到达桥顶时的速度为5 m/s.求：
(1)汽车在桥顶时对桥的压力；
(2)如果要求汽车到达桥顶时对桥的压力为零，且车不脱离桥面，到达桥顶时的速度应是多大？
[解析] (1)汽车在最高点时重力与支持力的合力提供向心力．
mg－N＝m
N＝mg－m＝9 500 N
由牛顿第三定律可知，汽车对桥的压力
N′＝9 500 N(竖直向下)．
(2)当汽车对桥面压力恰好为0时，有：mg＝m
v＝＝10 m/s.
[答案] (1)9 500 N 竖直向下 (2)10 m/s
16．(8分)有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m.
(1)试计算铁轨受到的侧压力；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值．
[解析] (1)72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有N＝m＝ N＝105 N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于105 N.
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的弹力的合力正好提供向心力，如图所示，则
mgtan θ＝m
由此可得tan θ＝＝0.1.
[答案] (1)105 N (2)0.1
17．(10分)如图所示，在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1 g的小球，试管的开口端与水平轴O连接．试管底与O相距5 cm，试管在转轴带动下在竖直平面内做匀速圆周运动．g取10 m/s2，求：
(1)转轴的角速度达到多大时，试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍？
(2)转轴的角速度满足什么条件时，会出现小球与试管底脱离接触的情况？
[解析] (1)当试管匀速转动时，小球在最高点对试管的压力最小，在最低点对试管的压力最大．
在最高点：F1＋mg＝mω2r
在低高点：F2－mg＝mω2r
F2＝3F1
联立以上方程解得ω＝＝20 rad/s.
(2)小球随试管转到最高点，当mg＞mω2r时，小球会与试管底脱离，即ω＜.
[答案] (1)20 rad/s (2)ω＜
18．(10分)我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一．如图所示，质量m＝60 kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a＝3.6 m/s2匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度vB＝24 m/s，A与B的竖直高度差H＝48 m．为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆孤．助滑道末端B与滑道最低点C的高度差h＝5 m，运动员在B、C间运动时阻力做功W＝－1 530 J，取g＝10 m/s2.
(1)求运动员在AB段下滑时受到阻力Ff的大小；
(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C点所在圆弧的半径R至少应为多大．
[解析] (1)运动员在AB段做初速度为零的匀加速运动，设AB的长度为x，则有
v＝2ax ①
由牛顿第二定律有
mg－Ff＝ma ②
联立①②式，代入数据解得
Ff＝144 N． ③
(2)设运动员到达C点时的速度为vC，在由B到达C的过程中，由动能定理有
mgh＋W＝mv－mv ④
设运动员在C点所受的支持力N，由牛顿第二定律有N－mg＝m ⑤
由运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，联立④⑤式，代入数据解得
R＝12.5 m.
[答案] (1)144 N (2)12.5 m
