第1节 匀速圆周运动快慢的描述
学 习 目 标
知 识 脉 络(教师用书独具)
1.知道匀速圆周运动，理解匀速圆周运动是一种变速运动．
2．理解线速度、角速度、周期、频率、转速等概念及它们之间的关系，并会应用公式进行计算．(重点、难点)
3．掌握线速度、角速度的关系及传动问题．(重点)
一、线速度和角速度
1．匀速圆周运动
在任意相等时间内通过的弧长都相等的圆周运动
2．线速度
(1)大小：做匀速圆周运动的物体通过的弧长与所用时间的比值．
(2)方向：其方向是沿圆周的切线方向．
(3)公式：v＝.单位：国际单位为m/s.
3．角速度
(1)定义：做匀速圆周运动的物体，连接物体和圆心的半径转过角度与所用时间的比值．
(2)公式：ω＝.
(3)国际单位是弧度每秒，符号rad/s.
(4)匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动．
二、周期、频率和转速；线速度、角速度、周期的关系
1．周期、频率和转速
周期
周期性运动每重复一次所需要的时间，符号T，单位：s
频率
单位时间内运动重复的次数，f＝，单位：Hz
转速
单位时间内转动的次数，符号n，单位：r/min或r/s
2.线速度、角速度、周期的关系
(1)线速度和角速度关系：v＝rω.
(2)线速度和周期的关系：v＝.
(3)角速度和周期的关系：ω＝.
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)匀速圆周运动是变速曲线运动． (√)
(2)匀速圆周运动的线速度恒定不变． (×)
(3)匀速圆周运动的角速度恒定不变． (√)
(4)匀速圆周运动的周期相同，角速度大小及转速都相同．(√)
(5)匀速圆周运动的物体周期越长，转动的越快． (×)
(6)做匀速圆周运动的物体在角速度不变的情况下，线速度与半径成正比． (√)
2．(多选)关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．匀速圆周运动是匀速运动
B．匀速圆周运动是变速运动
C．匀速圆周运动是线速度不变的运动
D．匀速圆周运动是线速度大小不变的运动
BD [这里的“匀速”，不是“匀速度”，也不是“匀变速”，而是速率不变，匀速圆周运动实际上是一种速度大小不变、方向时刻改变的变速运动，故B、D正确．]
3．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长．某国产轿车的车轮半径约为30 cm，当该型号的轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车轮的转速约为( )
A．1 000 r/s B．1 000 r/min
C．1 000 r/h D．2 000 r/s
B [由公式ω＝2πn，得v＝rω＝2πrn，其中r＝30 cm＝0.3 m，v＝120 km/h＝ m/s，代入得n＝ r/s，约为1 000 r/min.]
线速度和角速度
1.匀速圆周运动线速度的大小不变，而线速度的方向不断变化，因此匀速圆周运动是变速曲线运动．
2．要准确全面地描述匀速圆周运动的快慢仅用一个量是不够的，线速度侧重于描述质点通过弧长快慢的程度，角速度侧重于描述质点转过角度快慢的程度．
【例1】 (多选)质点做匀速圆周运动，则( )
A．在任何相等的时间里，质点的位移都相等
B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
D．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
BD [如图所示，由于线速度大小不变，根据线速度的定义Δs＝v·Δt，所以相等时间内通过的路程相等，B对；但位移xAB、xBC大小相等，方向并不相同，平均速度不同，A、C错；由角速度的定义ω＝知Δt相同，Δφ＝ωΔt相同，D对．]
?1?圆周运动一定是变速运动.因为速度是矢量，只要方向改变就说明速度发生了改变，而圆周运动的速度方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变速运动.
?2?线速度描述圆周运动质点通过弧长的快慢程度，匀速圆周运动线速度大小不变，方向时刻变化.
?3?角速度描述质点转过角度的快慢，匀速圆周运动的角速度恒定不变.
1．如图所示，一质点做半径为R的匀速圆周运动，经过时间t，质点从A点第一次运动到同一直径上的B点，求：
(1)质点做匀速圆周运动的线速度大小；
(2)质点在时间t内的平均速度大小．
[解析] (1)质点沿圆弧从A到B的线速度大小
v＝＝.
(2)质点运动的平均速度大小＝＝.
[答案] (1) (2)
周期、频率和转速；线速度、角速度、周期的关系
1．描述圆周运动的各物理量之间的关系
2．常见转动装置及特点
(1)同轴转动
同轴的圆盘上各点
图示
相同量
角速度：ωA＝ωB
周期：TA＝TB
不同量
线速度：＝
(2)皮带传动
两轮边缘或皮带上各点
图示
相同量
边缘点线速度：vA＝vB
不同量
角速度：＝
周期：＝
(3)齿轮传动
两齿轮啮合传动
图示
相同量
边缘点线速度：vA＝vB
A、B为两齿轮边缘点
不同量
角速度：＝
周期：＝
【例2】 如图所示的皮带传动装置中，右边两轮固定在一起同轴转动，图中A、B、C三轮的半径关系为3rA＝2rC＝4rB，设皮带不打滑，求三轮边缘上的点A、B、C的线速度之比、角速度之比、周期之比．
思路点拨：解答本题时应注意以下两点：
(1)皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等；
(2)同轴转动的两轮上所有点的角速度相等．
[解析] 由题意可知，A、B两轮由皮带传动，皮带不打滑，故vA＝vB，B、C在同一轮轴上，同轴转动，故ωB＝ωC.由v＝ωr得vB∶vC＝rB∶rC＝2∶4＝1∶2，所以vA∶vB∶vC＝1∶1∶2；由ω＝得ωA∶ωB＝rB∶rA＝3∶4，所以ωA∶ωB∶ωC＝3∶4∶4；由ω＝可知，周期与角速度成反比，即TA∶TB∶TC＝4∶3∶3.
[答案] vA∶vB∶vC＝1∶1∶2 ωA∶ωB∶ωC＝3∶4∶4 TA∶TB∶TC＝4∶3∶3
三种传动问题的求解方法
1．绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v＝ωr，即v∝r；
2．在皮带不打滑的情况下，传动皮带和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝，即ω∝；
3．齿轮传动与皮带传动具有相同的特点．
2．如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，求A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的角速度之比和线速度之比．
[解析] a、b两点比较：va＝vb
由v＝ωr得：ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2
b、c两点比较ωb＝ωc
由v＝ωr得：vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2
所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
va∶vb∶vc＝1∶1∶2.
[答案] 1∶2∶2 1∶1∶2
1．(多选)做匀速圆周运动的物体，下列不变的物理量是( )
A．速度 B．速率
C．角速度 D．周期
BCD [物体做匀速圆周运动时，速度的大小虽然不变，但它的方向在不断变化，选项B、C、D正确．]
2．(多选)如图所示，静止在地球上的物体都要随地球一起转动，a是位于赤道上的一点，b是位于北纬30°的一点，则下列说法正确的是( )
A．a、b两点的运动周期都相同
B．它们的角速度是不同的
C．a、b两点的线速度大小相同
D．a、b两点线速度大小之比为2∶
AD [如题图所示，地球绕自转轴转动时，地球上各点的周期及角速度都是相同的．地球表面物体做圆周运动的平面是物体所在纬度线平面，其圆心分布在整条自转轴上，不同纬度处物体做圆周运动的半径是不同的，b点半径rb＝，由v＝ωr，可得va∶vb＝2∶.]
3．如图所示，两个小球a和b用轻杆连接，并一起在水平面内做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．a球的线速度比b球的线速度小
B．a球的角速度比b球的角速度小
C．a球的周期比b球的周期小
D．a球的转速比b球的转速大
A [两个小球在同一平面上一起转动，周期相同，所以它们的转速、角速度都相等，B、C、D错误；而由v＝ωr可知b的线速度大于a的线速度，所以A正确．]
4．如图所示，若钟表的指针都做匀速圆周运动，秒针和分针的周期各是多少？角速度之比是多少？
[解析] 秒针的周期T秒＝
1 min＝60 s，
分针的周期T分＝1 h＝3 600 s.
由ω＝得 ＝＝.
[答案] 60 s；3 600 s；60∶1
课件37张PPT。第4章 匀速圆周运动第1节 匀速圆周运动快慢的描述m/s弧长弧长时间比值沿圆周的切线方向角速度角度时间弧度每秒rad/s次数时间次数rω √√×√√×线速度和角速度周期、频率和转速；线速度、角速度、周期的关系点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十二)
[基础达标练]
(时间：15分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法正确的是( )
A．它们的运动周期都是相同的
B．它们的线速度都是相同的
C．它们的线速度大小都是相同的
D．它们的角速度是不同的
A [如图所示，地球绕自转轴转动时，地球上所有点的周期及角速度都是相同的(除极点外)．地球表面物体做圆周运动的平面是物体所在纬线平面，其圆心分布在整条自转轴上，不同纬度处的物体做圆周运动的半径是不同的，只有同一纬度处的物体转动半径相等，线速度的大小才相等，但方向各不相同．]
2．(多选)甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，则下列说法中正确的是( )
A．它们的半径之比为2∶9 B．它们的半径之比为1∶2
C．它们的周期之比为2∶3 D．它们的周期之比为1∶3
AD [由v＝ωr，得r＝，＝＝，A对，B错；由T＝，得T甲∶T乙＝∶＝，C错，D对．]
3．如图所示的齿轮传动装置中，主动轮的齿数z1＝24，从动轮的齿数z2＝8，当主动轮以角速度ω顺时针转动时，从动轮的运动情况是( )
A．顺时针转动，周期为 B．逆时针转动，周期为
C．顺时针转动，周期为 D．逆时针转动，周期为
B [主动轮顺时针转动时，从动轮逆时针转动，两轮边缘的线速度大小相等，由齿数关系知，主动轮转一周时从动轮转三周，故T从＝，B正确．]
4．如图所示是一个玩具陀螺．a、b和c是陀螺边缘上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )
A．a、b和c三点的线速度大小相等
B．a、b和c三点的角速度相等
C．a、b的角速度比c的大
D．c的线速度比a、b的大
B [a、b和c均是同一陀螺上的点，它们做圆周运动的角速度都是陀螺旋转的角速度ω，B对，C错；三点的运动半径关系ra＝rb>rc，据v＝ωr可知，三点的线速度关系va＝vb＞vc，A、D错．]
5．如图所示，两个摩擦传动的靠背轮，左边是主动轮，右边是从动轮，它们的半径不相等，转动时不打滑．则下列说法中正确的是( )
A．两轮的角速度相等
B．两轮转动的周期相同
C．两轮边缘的线速度相等
D．两轮边缘的线速度大小相等
D [靠摩擦传动的两轮转动不打滑时，边缘的线速度大小相等，而方向不同，故C错误，D正确；由v＝ωr得ω＝，故两轮的角速度不相等，周期也不相同，A、B错误．]
6．如图所示为一皮带传动装置，A、C在同一大轮上，B在小轮边缘上，在传动过程中皮带不打滑，已知R＝2r，rC＝R，则( )
A．ωC＝ωB B．vC＝vB
C．vC＝vB D．ωC＝2ωB
C [A、B为皮带传动，有vA＝vB即ωA·2r＝ωB·r，所以ωB＝2ωA.A、C为同轴转动，有ωC＝ωA＝所以选项A、D错误．又因为vC＝ωC·r，vB＝vA＝ωA·2r＝2vC所以选项B错误，选项C正确．]
二、非选择题(14分)
7．做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动了100 m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小．
[解析] (1)依据线速度的定义式
v＝可得v＝＝ m/s＝10 m/s.
(2)依据v＝ωr可得
ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s.
(3)T＝＝ s＝4π s.
[答案] (1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s
[能力提升练]
(时间：25分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度．如图是某一变速车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则( )
A．该车可变换两种不同挡位
B．该车可变换五种不同挡位
C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4
D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝4∶1
C [由题意知，A轮通过链条分别与C、D连接，自行车可有两种速度，B轮分别与C、D连接，又可有两种速度，所以该车可变换四种挡位；当A与D组合时，两轮边缘线速度大小相等，A转一圈，D转4圈，即＝，选项C对．]
2．为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角θ＝30°，如图所示．则该子弹的速度可能是( )
A．360 m/s B．720 m/s
C．1 440 m/s D．108 m/s
C [子弹从A盘运动到B盘的过程中，B盘转过的角度θ＝2πn＋(n＝0,1,2，…)，B盘转动的角速度ω＝＝2πf＝2πn＝2π× rad/s＝120π rad/s，子弹在A、B盘间运动的时间等于B盘转动的时间，即＝，所以v＝＝ m/s(n＝0,1,2，…)，n＝0时，v＝1 440 m/s；n＝1时，v≈110.77 m/s；n＝2时，v＝57.6 m/s；…故C正确．]
3．无级变速是指在变速范围内任意连续地变换速度，其性能优于传统的挡位变速器，很多高档汽车都应用了“无级变速”．图所示为一种“滚轮—平盘无级变速器”的示意图，它由固定在主动轴上的平盘和可随从动轴移动的圆柱形滚轮组成．由于摩擦的作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动，如果认为滚轮不会打滑，那么主动轴的转速n1、从动轴的转速n2、滚轮半径r以及滚轮中心距离主动轴轴线的距离x之间的关系是( )
A．n2＝n1 B．n1＝n2
C．n2＝n1 D．n2＝n1
A [由滚轮不会打滑可知，主动轴上的平盘与可随从动轴转动的圆柱形滚轮在接触点处的线速度相同，即v1＝v2，由此可得x·2πn1＝r·2πn2，所以n2＝n1，选项A正确．]
4．某品牌电动自行车的铭牌参数如下：
车型：20英寸(车轮直径：508 mm)
电池规格：36 V12 Ah(蓄电池)
整车质量：40 kg
额定转速：210 r/min
外形尺寸：1 800 mm×650 mm×1 100 mm
充电时间：2～8 h
电机：后轮驱动、直流永磁式电机
额定工作电压/电流：36 V/5 A
根据此铭牌中的有关数据，可知该车的额定速度约为( )
A．15 km/h B．18 km/h
C．20 km/h D．25 km/h
C [由题意可知车轮半径为R＝254 mm＝0.254 m，车轮额定转速为n＝210 r/min＝ r/s＝ r/s，车轮转动的角速度ω＝2nπ，则车轮轮缘上的点的线速度为v＝ωR＝2nπR＝2××3.14×0.254×3.6 km/h≈20 km/h.]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)已知砂轮的半径为40 cm，转速是1 200 r/min.求：
(1)砂轮转动的周期；
(2)砂轮转动的角速度；
(3)砂轮边缘上的点线速度的大小．
[解析] (1)转速n＝1 200 r/min＝20 r/s.
所以T＝＝ s＝0.05 s.
(2)ω＝＝ rad/s＝40π rad/s.
(3)v＝ωr＝40π×0.4 m/s＝16π m/s.
[答案] (1)0.05 s (2)40π rad/s (3)16π m/s
6．(14分)如图所示，小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求：
(1)B球抛出时的水平初速度；
(2)A球运动线速度的最小值．
[解析] (1)小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，则R＝v0t①
在竖直方向上做自由落体运动，则h＝gt2②
由①②得v0＝＝R.
(2)设相碰时，A球转了n圈，则A球的线速度
vA＝＝＝2πRn
当n＝1时，其线速度有最小值，即
vmin＝2πR.
[答案] (1)R (2)2πR
